Question

Dentro del triángulo equilátero $ABC$ hay un punto $P$ tal que $PA=8,$ $PB=6,$ y $PC=10.$ Al entero más cercano, el área del triángulo $ABC$ es:

Located inside equilateral triangle $ABC$ is a point $P$ such that $PA=8,$ $PB=6,$ and $PC=10.$ To the nearest integer the area of triangle $ABC$ is:

$159$

$131$

$95$

$79$

$50$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero transformación Terna pitagórica ley de los cosenos área

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Gira $P$ $60^\circ$ alrededor de $A$ , en el sentido que lleva $C$ a $B$

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ so that $C$ maps to $B$

Pista grande:

El triángulo $6$ - $8$ - $10$ resultante determina $\angle APB$

The resulting $6$ - $8$ - $10$ triangle determines $\angle APB$

Solución:

Gira $P$ $60^\circ$ alrededor de $A$ hasta $P'.$ Como esta rotación lleva $C$ a $B,$ se tiene $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ y $PB=6.$ Así, el triángulo $PP'B$ es rectángulo. Además, el triángulo $APP'$ es equilátero, por lo que $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

Si el triángulo equilátero tiene lado $s,$ la ley de los cosenos en el triángulo $APB$ da $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Su área es $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ cuyo entero más cercano es $79.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ to $P'.$ Since this rotation sends $C$ to $B,$ we have $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ and $PB=6.$ Thus triangle $PP'B$ is right. Also triangle $APP'$ is equilateral, so $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

If the equilateral triangle has side $s,$ the law of cosines in triangle $APB$ gives $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Its area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ whose nearest integer is $79.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 Problema 40

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años