Question

Si $b\ne d,$ las fracciones $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ y $\dfrac bd$ son desiguales si:

If $b\ne d,$ the fractions $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ and $\dfrac bd$ are unequal if:

$a=c=1$ y $x\ne0$

$a=c=1$ and $x\ne0$

$a=b=0$

$a=c=0$

$x=0$

$ad=bc$

Respuesta: A

Conceptos:rational expressions cross multiplication inequalities

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Multiplica en cruz la igualdad $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}$

Cross-multiply the equality $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}$

Pista grande:

Después de simplificar, la igualdad queda determinada por $x(ad-bc)=0$

After cancellation, equality is governed by $x(ad-bc)=0$

Solución:

Donde las fracciones están definidas, la igualdad exigiría $d(ax+b)=b(cx+d),$ que se simplifica a $x(ad-bc)=0.$ En la opción A, $a=c=1$ da $ad-bc=d-b\ne0,$ y $x\ne0,$ por lo que la igualdad es imposible. Cada una de las opciones B a E, en cambio, fuerza directamente la igualdad.

Por lo tanto, las fracciones son desiguales bajo la condición de la opción A.

Where the fractions are defined, equality would require $d(ax+b)=b(cx+d),$ which simplifies to $x(ad-bc)=0.$ Under choice A, $a=c=1$ gives $ad-bc=d-b\ne0,$ and $x\ne0,$ so equality is impossible. Each of B through E instead forces equality directly.

Thus, the fractions are unequal under choice A.

1955 AMC 12 Problema 40

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años