Question

Sea $n$ el número de valores enteros de $x$ tales que $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ es el cuadrado de un entero. Entonces $n$ es:

Let $n$ be the number of integer values of $x$ such that $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ is the square of an integer. Then $n$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado perfecto polinomio acotación a casos límite enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Reescribe $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

Rewrite $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

Pista grande:

Dos cuadrados enteros distintos $U^2$ y $V^2$ difieren al menos en $2\max(|U|,|V|)-1$

Distinct integer squares $U^2$ and $V^2$ differ by at least $2\max(|U|,|V|)-1$

Solución:

Sea $N=x^2+3x+1.$ Entonces $P=N^2-3(x-10).$ Para $x=10,\ P=N^2=131^2,$ así que un valor funciona.

Si $x\gt10$ y $P=y^2,$ entonces $N^2-y^2=3(x-10).$ Dos cuadrados enteros distintos, uno de ellos $N^2$ , difieren al menos en $2|N|-1,$ que ya es mayor que $3(x-10),$ una contradicción. Si $x\lt10,$ la cota análoga $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ solo puede cumplirse para $-6\leq x\leq2.$ La sustitución directa de estos nueve enteros no da ningún cuadrado. Por tanto, $x=10$ es la única solución y $n=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $N=x^2+3x+1.$ Then $P=N^2-3(x-10).$ At $x=10,\ P=N^2=131^2,$ so one value works.

If $x\gt10$ and $P=y^2,$ then $N^2-y^2=3(x-10).$ Distinct integer squares differing from $N^2$ differ by at least $2|N|-1,$ which is already greater than $3(x-10),$ a contradiction. If $x\lt10,$ the analogous bound $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ can hold only for $-6\leq x\leq2.$ Direct substitution for these nine integers gives no square. Hence $x=10$ is the unique solution and $n=1.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 Problema 40

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años