Soluciones del 1965 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El número de valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación $2^{2x^2-7x+5}=1$ es:

The number of real values of $x$ satisfying the equation $2^{2x^2-7x+5}=1$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:exponente cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Una base positiva distinta de $1$ tiene valor $1$ únicamente cuando el exponente es $0$

A positive base other than $1$ has value $1$ only at exponent $0$

Pista grande:

Resuelve $2x^2-7x+5=0$

Solve $2x^2-7x+5=0$

Solución:

Como la base es $2,$ el exponente debe ser cero. Al factorizar se obtiene $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0. \end{gathered}$ Por tanto, $x=\frac{5}{2}$ o $x=1,$ lo que da dos valores reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the base is $2,$ the exponent must be zero. Factoring gives $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0. \end{gathered}$ Thus $x=\frac{5}{2}$ or $x=1,$ giving two real values.

Therefore, the correct answer is C.

2.

Un hexágono regular está inscrito en un círculo. La razón entre la longitud de un lado del hexágono y la longitud del menor de los arcos interceptados por ese lado es:

A regular hexagon is inscribed in a circle. The ratio of the length of a side of the hexagon to the length of the shorter of the arcs intercepted by the side is:

$1:1$

$1:6$

$1:\pi$

$3:\pi$

$6:\pi$

Conceptos:polígono regular arco circunferencia razón y proporción

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Cada lado de un hexágono regular inscrito es igual al radio del círculo

Each side of an inscribed regular hexagon equals the circle’s radius

Pista grande:

El arco menor es la sexta parte de la circunferencia

The shorter arc is one sixth of the circumference

Solución:

Si el radio es $r,$ el lado del hexágono es $r.$ El arco menor que intercepta tiene longitud $\frac{2\pi r}{6}=\frac{\pi r}{3}.$ La razón es $r:(\frac{\pi r}{3})=3:\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the radius is $r,$ the hexagon side is $r.$ Its intercepted minor arc has length $\frac{2\pi r}{6}=\frac{\pi r}{3}.$ The ratio is $r:(\frac{\pi r}{3})=3:\pi.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

La expresión $81^{-(2^{-2})}$ tiene el mismo valor que:

The expression $81^{-(2^{-2})}$ has the same value as:

$\dfrac1{81}$

$\dfrac13$

$3$

$81$

$81^4$

Conceptos:exponente radical orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Evalúa primero el exponente $2^{-2}$

Evaluate the exponent $2^{-2}$ first

Pista grande:

Escribe $81$ como $3^4$

Write $81$ as $3^4$

Solución:

Como $2^{-2}=\frac{1}{4},$ $\begin{aligned} 81^{-(2^{-2})} &=81^{-\frac{1}{4}}\\ &=(3^4)^{-\frac{1}{4}}=\frac13. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $2^{-2}=\frac{1}{4},$ $\begin{aligned} 81^{-(2^{-2})} &=81^{-\frac{1}{4}}\\ &=(3^4)^{-\frac{1}{4}}=\frac13. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

4.

La recta $l_2$ corta a la recta $l_1$ y la recta $l_3$ es paralela a $l_1.$ Las tres rectas son distintas y están en un mismo plano. El número de puntos equidistantes de las tres rectas es:

Line $l_2$ intersects line $l_1$ and line $l_3$ is parallel to $l_1.$ The three lines are distinct and lie in a plane. The number of points equidistant from all three lines is:

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Conceptos:rectas paralelas bisectriz conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Los puntos equidistantes de las dos rectas paralelas están sobre la paralela situada a igual distancia de ambas

Points equidistant from the two parallel lines lie on their midway parallel

Pista grande:

Interseca esa recta intermedia con las dos bisectrices de los ángulos formados por $l_1$ y $l_2$

Intersect that midway line with the two angle bisectors of $l_1$ and $l_2$

Solución:

Los puntos equidistantes de las rectas paralelas $l_1$ y $l_3$ están sobre la única recta paralela situada a igual distancia de ambas. Los puntos equidistantes de las rectas secantes $l_1$ y $l_2$ están sobre una de sus dos bisectrices. Cada bisectriz corta una vez a la paralela intermedia, lo que da dos puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Points equidistant from parallel lines $l_1$ and $l_3$ lie on the unique line midway between them. Points equidistant from intersecting lines $l_1$ and $l_2$ lie on either of their two angle bisectors. Each angle bisector meets the midway parallel once, giving two points.

Therefore, the correct answer is C.

5.

Cuando el decimal periódico $0.363636\ldots$ se escribe como fracción irreducible, la suma del numerador y el denominador es:

When the repeating decimal $0.363636\ldots$ is written in simplest fractional form, the sum of the numerator and denominator is:

$15$

$45$

$114$

$135$

$150$

Conceptos:decimal periódico fracción

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Multiplica el decimal por $100$ y resta el número original

Multiply the decimal by $100$ and subtract the original number

Pista grande:

Simplifica $\frac{36}{99}$

Simplify $\frac{36}{99}$

Solución:

Sea $z=0.363636\ldots.$ Entonces $100z-z=36,$ por lo que $z=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}.$ La suma pedida es $4+11=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $z=0.363636\ldots.$ Then $100z-z=36,$ so $z=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}.$ The requested sum is $4+11=15.$

Therefore, the correct answer is A.

6.

Si $10^{\log_{10}9}=8x+5,$ entonces $x$ es igual a:

If $10^{\log_{10}9}=8x+5,$ then $x$ equals:

$0$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac98$

$\dfrac{2\log_{10}3-5}{8}$

Conceptos:logaritmo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa $10^{\log_{10}9}=9$

Use $10^{\log_{10}9}=9$

Pista grande:

Resuelve la ecuación lineal resultante $9=8x+5$

Solve the resulting linear equation $9=8x+5$

Solución:

La exponencial y el logaritmo se cancelan, de modo que $10^{\log_{10}9}=9.$ Así, $8x+5=9,$ y se obtiene $x=\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The exponential and logarithm cancel, so $10^{\log_{10}9}=9.$ Thus $8x+5=9,$ giving $x=\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

La suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es:

The sum of the reciprocals of the roots of the equation $ax^2+bx+c=0$ is:

$\dfrac1a+\dfrac1b$

$-\dfrac cb$

$\dfrac bc$

$-\dfrac ab$

$-\dfrac bc$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Si las raíces son $r,s,$ entonces $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

If the roots are $r,s,$ then $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

Pista grande:

Usa $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

8.

Un lado de cierto triángulo mide $18$ pulgadas. Dentro del triángulo se traza un segmento paralelo a este lado, formando un trapecio cuya área es un tercio de la del triángulo. La longitud de este segmento, en pulgadas, es:

One side of a given triangle is $18$ inches. Inside the triangle a line segment is drawn parallel to this side forming a trapezoid whose area is one-third of that of the triangle. The length of this segment, in inches, is:

$6\sqrt6$

$9\sqrt2$

$12$

$6\sqrt3$

$9$

Conceptos:semejanza razón de áreas rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

El triángulo menor situado sobre el segmento tiene dos tercios del área original

The smaller triangle above the segment has two-thirds of the original area

Pista grande:

Los factores de escala lineales son las raíces cuadradas de los factores de escala de área

Linear scale factors are square roots of area scale factors

Solución:

El trapecio ocupa un tercio del área, así que el triángulo menor semejante ocupa dos tercios. Su factor de escala lineal es $\sqrt{\frac{2}{3}}.$ Por tanto, el segmento paralelo tiene longitud $18\sqrt{\frac23}=6\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The trapezoid occupies one third of the area, so the smaller similar triangle occupies two thirds. Its linear scale factor is $\sqrt{\frac{2}{3}}.$ Hence the parallel segment has length $18\sqrt{\frac23}=6\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

El vértice de la parábola $y=x^2-8x+c$ será un punto del eje $x$ si el valor de $c$ es:

The vertex of the parabola $y=x^2-8x+c$ will be a point on the $x$ -axis if the value of $c$ is:

$-16$

$-4$

$4$

$8$

$16$

Conceptos:parábola completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $x^2-8x+c$

Complete the square in $x^2-8x+c$

Pista grande:

La coordenada $y$ del vértice debe ser igual a $0$

The vertex’s $y$ -coordinate must equal $0$

Solución:

Al completar el cuadrado se obtiene $y=(x-4)^2+c-16.$ El vértice es $(4,c-16),$ por lo que está sobre el eje $x$ cuando $c=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square gives $y=(x-4)^2+c-16.$ The vertex is $(4,c-16),$ so it lies on the $x$ -axis when $c=16.$

Therefore, the correct answer is E.

10.

La afirmación $x^2-x-6\lt0$ equivale a la afirmación:

The statement $x^2-x-6\lt0$ is equivalent to the statement:

$-2\lt x\lt3$

$x\gt-2$

$x\lt3$

$x\gt3$ y $x\lt-2$

$x\gt3$ and $x\lt-2$

$x\gt3$ o $x\lt-2$

$x\gt3$ or $x\lt-2$

Conceptos:cuadrática factorización desigualdad

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Factoriza $x^2-x-6$

Factor $x^2-x-6$

Pista grande:

Una cuadrática con coeficiente principal positivo es negativa entre sus dos raíces

A positive-leading quadratic is negative between its two roots

Solución:

Tenemos $x^2-x-6=(x-3)(x+2).$ Este producto es negativo exactamente entre sus raíces, de modo que $-2\lt x\lt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $x^2-x-6=(x-3)(x+2).$ This product is negative exactly between its roots, so $-2\lt x\lt3.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

Considera las afirmaciones:

$\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}$

$\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},$

y

$\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.$

De ellas, son incorrectas:

Consider the statements:

$\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}$

$\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},$

and

$\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.$

Of these the following are incorrect:

ninguna

none

solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

Conceptos:radical número complejo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La regla del producto de raíces cuadradas requiere radicandos reales no negativos

The product rule for square roots requires nonnegative real radicands

Pista grande:

Evalúa directamente las afirmaciones II y III

Evaluate statements II and III directly

Solución:

La afirmación I aplica indebidamente $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ a radicandos negativos; sobre los reales su lado izquierdo no está definido, y con raíces complejas principales es igual a $-8,$ no a $8.$ Las afirmaciones II y III se simplifican correctamente a $8.$ Por tanto, solo I es incorrecta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Statement I improperly applies $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ to negative radicands; over the reals its left side is undefined, and with principal complex roots it equals $-8,$ not $8.$ Statements II and III both correctly simplify to $8.$ Thus only I is incorrect.

Therefore, the correct answer is B.

12.

Se inscribe un rombo en el triángulo $ABC$ de modo que uno de sus vértices sea $A$ y dos de sus lados estén sobre $AB$ y $AC.$ Si $AC=6$ pulgadas, $AB=12$ pulgadas y $BC=8$ pulgadas, el lado del rombo, en pulgadas, es:

A rhombus is inscribed in triangle $ABC$ in such a way that one of its vertices is $A$ and two of its sides lie along $AB$ and $AC.$ If $AC=6$ inches, $AB=12$ inches, and $BC=8$ inches, the side of the rhombus, in inches, is:

$2$

$3$

$3\dfrac12$

$4$

$5$

Conceptos:rombo semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Sea $s$ el lado del rombo; sus vértices adyacentes están a una fracción $\frac{s}{12}$ del recorrido desde el vértice común sobre $AB$ y $\frac{s}{6}$ sobre $AC$

Let the rhombus side be $s$ , with adjacent vertices $\frac{s}{12}$ of the way along $AB$ and $\frac{s}{6}$ along $AC$

Pista grande:

El vértice opuesto del rombo está sobre $BC$ , así que sus dos coeficientes afines suman $1$

The opposite rhombus vertex lies on $BC$ , so its two affine coefficients sum to $1$

Solución:

Toma $A$ como origen y sean $u,v$ los vectores desde el origen hacia $B,C.$ Si el lado del rombo es $s,$ su vértice opuesto es $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.$ Un punto está sobre $BC$ cuando estos coeficientes suman $1.$ Así, $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,$ de donde $s=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Use $A$ as the origin and let the vectors to $B,C$ be $u,v.$ If the rhombus side is $s,$ its opposite vertex is $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.$ A point lies on $BC$ when these coefficients sum to $1.$ Thus $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,$ giving $s=4.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

Sea $n$ el número de pares $(x,y)$ que satisfacen $5y-3x=15$ y $x^2+y^2\leq16.$ Entonces $n$ es:

Let $n$ be the number of number-pairs $(x,y)$ which satisfy $5y-3x=15$ and $x^2+y^2\leq16.$ Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

mayor que dos, pero finito

more than two, but finite

mayor que cualquier número finito

greater than any finite number

Conceptos:círculo fórmula de la distancia desigualdad

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

La desigualdad describe el disco de radio $4$ centrado en el origen

The inequality describes the disk of radius $4$ centered at the origin

Pista grande:

Compara la distancia $\frac{15}{\sqrt{34}}$ de la recta al origen con $4$

Compare the line’s distance $\frac{15}{\sqrt{34}}$ from the origin with $4$

Solución:

La distancia de la recta al origen es $\frac{15}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{15}{\sqrt{34}}\lt4.$ Por ello atraviesa el interior del disco $x^2+y^2\leq16$ en un segmento que contiene infinitos puntos.

Así, la respuesta correcta es E.

The line’s distance from the origin is $\frac{15}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{15}{\sqrt{34}}\lt4.$ It therefore crosses the interior of the disk $x^2+y^2\leq16$ in a segment containing infinitely many points.

Thus, the correct answer is E.

14.

La suma de los coeficientes numéricos en el desarrollo completo de $(x^2-2xy+y^2)^7$ es:

The sum of the numerical coefficients in the complete expansion of $(x^2-2xy+y^2)^7$ is:

$0$

$7$

$14$

$128$

$128^2$

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Iguala ambas variables a $1$ para obtener la suma de los coeficientes

Set both variables equal to $1$ to obtain the coefficient sum

Pista grande:

La expresión dentro de la séptima potencia se convierte en $1-2+1$

The expression inside the seventh power becomes $1-2+1$

Solución:

Al tomar $x=y=1$ , cada monomio vale $1,$ así que el valor es la suma de los coeficientes numéricos. Es $(1-2+1)^7=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $x=y=1$ makes every monomial equal $1,$ so the value is the sum of the numerical coefficients. It is $(1-2+1)^7=0.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

El símbolo $25_b$ representa un número de dos cifras en base $b.$ Si el número $52_b$ es el doble del número $25_b,$ entonces $b$ es:

The symbol $25_b$ represents a two-digit number in the base $b.$ If the number $52_b$ is double the number $25_b,$ then $b$ is:

$7$

$8$

$9$

$11$

$12$

Conceptos:base numérica valor posicional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Expresa $25_b$ como $2b+5$ y $52_b$ como $5b+2$

Translate $25_b$ as $2b+5$ and $52_b$ as $5b+2$

Pista grande:

Resuelve $5b+2=2(2b+5)$

Solve $5b+2=2(2b+5)$

Solución:

En notación ordinaria, $25_b=2b+5$ y $52_b=5b+2.$ Así, $5b+2=2(2b+5),$ de donde $b=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In ordinary notation, $25_b=2b+5$ and $52_b=5b+2.$ Thus $5b+2=2(2b+5),$ so $b=8.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

Sea la recta $AC$ perpendicular a la recta $CE.$ Une $A$ con el punto medio $D$ de $CE,$ y une $E$ con el punto medio $B$ de $AC.$ Si $AD$ y $EB$ se cortan en el punto $F,$ y $BC=CD=15$ pulgadas, entonces el área del triángulo $DFE,$ en pulgadas cuadradas, es:

Let line $AC$ be perpendicular to line $CE.$ Connect $A$ to the midpoint $D$ of $CE,$ and connect $E$ to the midpoint $B$ of $AC.$ If $AD$ and $EB$ intersect in point $F,$ and $BC=CD=15$ inches, then the area of triangle $DFE,$ in square inches, is:

$50$

$50\sqrt2$

$75$

$\dfrac{15}{2}\sqrt{105}$

$100$

Conceptos:mediana (geometría)baricentro geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Como $B,D$ son puntos medios y $BC=CD=15,$ ambos catetos perpendiculares miden $30$

Since $B,D$ are midpoints and $BC=CD=15,$ both perpendicular legs have length $30$

Pista grande:

Usa las coordenadas $C=(0,0), A=(0,30)$ y $E=(30,0)$ ; las dos medianas se cortan en el baricentro

Use coordinates $C=(0,0), A=(0,30)$ and $E=(30,0)$ ; the two medians meet at the centroid

Solución:

Toma $C=(0,0),\ A=(0,30),$ y $E=(30,0).$ Entonces $B=(0,15)$ y $D=(15,0).$ Las rectas $AD$ y $EB$ son medianas del triángulo $ACE,$ así que se cortan en el baricentro $F=(10,10).$ El segmento $DE$ mide $15$ y $F$ está $10$ unidades por encima de su recta. Por tanto, $[DFE]=\frac12(15)(10)=75.$

Así, la respuesta correcta es C.

Put $C=(0,0),\ A=(0,30),$ and $E=(30,0).$ Then $B=(0,15)$ and $D=(15,0).$ Lines $AD$ and $EB$ are medians of triangle $ACE,$ so they meet at the centroid $F=(10,10).$ Segment $DE$ has length $15$ and $F$ is $10$ units above its line. Therefore $[DFE]=\frac12(15)(10)=75.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Dada la afirmación verdadera: El pícnic del domingo no se celebrará solo si no hace buen tiempo. Podemos concluir que:

Given the true statement: The picnic on Sunday will not be held only if the weather is not fair. We can then conclude that:

Si se celebra el pícnic, sin duda el domingo hará buen tiempo.

If the picnic is held, Sunday’s weather is undoubtedly fair.

Si no se celebra el pícnic, es posible que el domingo no haga buen tiempo.

If the picnic is not held, Sunday’s weather is possibly unfair.

Si el domingo no hace buen tiempo, no se celebrará el pícnic.

If it is not fair Sunday, the picnic will not be held.

Si el domingo hace buen tiempo, puede celebrarse el pícnic.

If it is fair Sunday, the picnic may be held.

Si el domingo hace buen tiempo, se celebrará el pícnic.

If it is fair Sunday, the picnic will be held.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Traduce « $P$ solo si $Q$ » como $P\to Q$

Translate “ $P$ only if $Q$ ” as $P\to Q$

Pista grande:

Toma la contrapositiva de «no celebrado implica mal tiempo»

Take the contrapositive of “not held implies not fair”

Solución:

La afirmación dice que, si no se celebra el pícnic, entonces no hace buen tiempo. Su contrapositiva es que, si hace buen tiempo, entonces se celebrará el pícnic.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The statement says: if the picnic is not held, then the weather is not fair. Its contrapositive is: if the weather is fair, then the picnic will be held.

Therefore, the correct answer is E.

18.

Si se usa $1-y$ como aproximación del valor de $\dfrac1{1+y},$ con $|y|\lt1,$ la razón entre el error cometido y el valor correcto es:

If $1-y$ is used as an approximation to the value of $\dfrac1{1+y},$ $|y|\lt1,$ the ratio of the error made to the correct value is:

$y$

$y^2$

$\dfrac1{1+y}$

$\dfrac y{1+y}$

$\dfrac{y^2}{1+y}$

Conceptos:estimación manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Resta la aproximación $1-y$ del valor correcto

Subtract the approximation $1-y$ from the correct value

Pista grande:

Divide ese error entre $\frac{1}{1+y}$

Divide that error by $\frac{1}{1+y}$

Solución:

El error es $\frac1{1+y}-(1-y)=\frac{y^2}{1+y}.$ Al dividirlo entre el valor correcto $\frac{1}{1+y}$ , se obtiene la razón $y^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The error is $\frac1{1+y}-(1-y)=\frac{y^2}{1+y}.$ Dividing by the correct value $\frac{1}{1+y}$ gives the ratio $y^2.$

Therefore, the correct answer is B.

19.

Si $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ es divisible exactamente por $x^3+3x^2+9x+3,$ el valor de $(p+q)r$ es:

If $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ is exactly divisible by $x^3+3x^2+9x+3,$ the value of $(p+q)r$ is:

$-18$

$12$

$15$

$27$

$45$

Conceptos:polinomio divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El cociente debe ser mónico y lineal

The quotient must be monic and linear

Pista grande:

Resta $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ y compara coeficientes

Subtract $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ and compare coefficients

Solución:

Los términos principales obligan a que el cociente sea $x+1.$ Al desarrollar, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Así, $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ de modo que $p=2,\ q=3$ y $(p+q)r=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The leading terms force quotient $x+1.$ Expanding, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Thus $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ so $p=2,\ q=3$ and $(p+q)r=15.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

Para todo $n$ , la suma $S_n$ de $n$ términos de una progresión aritmética es $2n+3n^2.$ El término $r$ -ésimo es:

For every $n$ the sum $S_n$ of $n$ terms of an arithmetic progression is $2n+3n^2.$ The $r$ th term is:

$3r^2$

$3r^2+2r$

$6r-1$

$5r+5$

$6r+2$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El término $r$ -ésimo es igual a $S_r-S_{r-1}$

The $r$ th term equals $S_r-S_{r-1}$

Pista grande:

Calcula la diferencia de las dos expresiones cuadráticas

Compute the difference of the two quadratic expressions

Solución:

El término $r$ -ésimo es la diferencia de dos sumas parciales consecutivas. Al sustituir y simplificar se obtiene $S_r-S_{r-1}=6r-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $r$ th term is the difference of consecutive partial sums. Substitution and simplification give $S_r-S_{r-1}=6r-1.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

Es posible elegir $x\gt\dfrac23$ de modo que el valor de

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

sea:

It is possible to choose $x\gt\dfrac23$ in such a way that the value of

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

is:

negativo

negative

cero

zero

uno

one

menor que cualquier número positivo que se especifique

smaller than any positive number that might be specified

mayor que cualquier número positivo que se especifique

greater than any positive number that might be specified

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Combina los logaritmos para obtener $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

Combine the logarithms into $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

Pista grande:

Haz que $x$ crezca sin límite

Let $x$ grow without bound

Solución:

La expresión es $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}$ Siempre es positiva, pero tiende a $0$ cuando $x$ crece. Por tanto, puede hacerse menor que cualquier número positivo especificado.

Así, la respuesta correcta es D.

The expression is $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}$ It is always positive, but tends to $0$ as $x$ grows. Therefore it can be made smaller than any specified positive number.

Thus, the correct answer is D.

22.

Si $a_2\ne0$ y $r,$ $s$ son las raíces de $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ entonces la igualdad

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

se cumple:

If $a_2\ne0$ and $r,$ $s$ are the roots of $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ then the equality

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

holds:

para todos los valores de $x,$ si $a_0\ne0$

for all values of $x,$ $a_0\ne0$

para todos los valores de $x$

for all values of $x$

solo cuando $x=0$

only when $x=0$

solo cuando $x=r$ o $x=s$

only when $x=r$ or $x=s$

solo cuando $x=r$ o $x=s,$ si $a_0\ne0$

only when $x=r$ or $x=s,$ $a_0\ne0$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta factorización

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

El lado derecho requiere que ambas raíces sean distintas de cero

The right side requires both roots to be nonzero

Pista grande:

Usa $rs=\frac{a_0}{a_2}$ para comparar los coeficientes principales

Use $rs=\frac{a_0}{a_2}$ to compare the leading coefficients

Solución:

Si $a_0\ne0,$ entonces $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ y $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ que es el polinomio original para todo $x.$ Si $a_0=0,$ al menos un denominador del lado derecho es cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $a_0\ne0,$ then $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ and $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ which is the original polynomial for every $x.$ If $a_0=0,$ at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

23.

Si escribimos $|x^2-4|\lt N$ para todo $x$ tal que $|x-2|\lt0.01,$ el menor valor que podemos usar para $N$ es:

If we write $|x^2-4|\lt N$ for all $x$ such that $|x-2|\lt0.01,$ the smallest value we can use for $N$ is:

$0.0301$

$0.0349$

$0.0399$

$0.0401$

$0.0499$

Conceptos:valor absoluto desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Factoriza $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Factor $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Pista grande:

La mayor cota unilateral se alcanza cuando $x$ se aproxima a $2.01$

The larger one-sided bound occurs as $x$ approaches $2.01$

Solución:

Para $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Los valores de $x$ arbitrariamente próximos a $2.01$ hacen que la expresión se aproxime arbitrariamente a $0.0401,$ por lo que ninguna cota menor sirve.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Values with $x$ arbitrarily close to $2.01$ make the expression arbitrarily close to $0.0401,$ so no smaller bound works.

Therefore, the correct answer is D.

24.

Dada la sucesión $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ el menor valor de $n$ para el cual el producto de los primeros $n$ términos de esta sucesión excede $100{,}000$ es:

Given the sequence $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ the smallest value of $n$ such that the product of the first $n$ members of this sequence exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:exponente sumatoria desigualdad

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Suma los exponentes del producto

Add the exponents in the product

Pista grande:

Exige que $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Solución:

El producto es $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ Para exceder $100{,}000=10^5,$ necesitamos $n(n+1)\gt110.$ Para $n=10$ hay igualdad, mientras que $n=11$ la supera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ To exceed $100{,}000=10^5,$ we need $n(n+1)\gt110.$ At $n=10$ equality holds, while $n=11$ exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

25.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero en el que $AB$ se prolonga hasta $E$ de modo que $AB=BE.$ Se trazan $AC$ y $CE$ para formar el ángulo $ACE.$ Para que este ángulo sea recto, es necesario que el cuadrilátero $ABCD$ tenga:

Let $ABCD$ be a quadrilateral with $AB$ extended to $E$ so that $AB=BE.$ Lines $AC$ and $CE$ are drawn to form angle $ACE.$ For this angle to be a right angle it is necessary that quadrilateral $ABCD$ have:

todos los ángulos iguales

all angles equal

todos los lados iguales

all sides equal

dos pares de lados iguales

two pairs of equal sides

un par de lados iguales

one pair of equal sides

un par de ángulos iguales

one pair of equal angles

Conceptos:triángulo rectángulo punto medio circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Como $AB=BE,$ el punto $B$ es el punto medio de $AE$

Because $AB=BE,$ point $B$ is the midpoint of $AE$

Pista grande:

En un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices

In a right triangle, the midpoint of the hypotenuse is equidistant from all three vertices

Solución:

Si $\angle ACE=90^\circ,$ entonces $AE$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $ACE.$ Su punto medio $B$ equidista de $A,C,E.$ Así, $AB=BC,$ por lo que el cuadrilátero $ABCD$ tiene necesariamente al menos un par de lados iguales. No se deduce ninguna condición sobre $D$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $\angle ACE=90^\circ,$ then $AE$ is the hypotenuse of right triangle $ACE.$ Its midpoint $B$ is equidistant from $A,C,E.$ Thus $AB=BC,$ so quadrilateral $ABCD$ necessarily has at least one pair of equal sides. No condition involving $D$ follows.

Therefore, the correct answer is D.

26.

Para los números $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ , define $m$ como la media aritmética de los cinco números; $k$ como la media aritmética de $a$ y $b;$ $l$ como la media aritmética de $c,$ $d,$ y $e;$ y $p$ como la media aritmética de $k$ y $l.$ Entonces, sin importar cómo se elijan $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ , siempre tendremos:

For the numbers $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ define $m$ to be the arithmetic mean of all five numbers; $k$ to be the arithmetic mean of $a$ and $b;$ $l$ to be the arithmetic mean of $c,$ $d,$ and $e;$ and $p$ to be the arithmetic mean of $k$ and $l.$ Then, no matter how $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ are chosen, we shall always have:

$m=p$

$m\geq p$

$m\gt p$

$m\lt p$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:media media ponderada contraejemplo

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Expresa $m$ en función de las medias de los subgrupos $k$ y $l$

Express $m$ in terms of the subgroup means $k$ and $l$

Pista grande:

Compara $m=\frac{2k+3l}{5}$ con $p=\frac{k+l}{2}$

Compare $m=\frac{2k+3l}{5}$ with $p=\frac{k+l}{2}$

Solución:

Tenemos $m=\frac{2k+3l}{5}$ y $p=\frac{k+l}{2},$ de modo que $m-p=\frac{l-k}{10}.$ Esta diferencia puede ser positiva, cero o negativa según los números elegidos. Ninguna de las primeras cuatro relaciones se cumple siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $m=\frac{2k+3l}{5}$ and $p=\frac{k+l}{2},$ so $m-p=\frac{l-k}{10}.$ This difference may be positive, zero, or negative depending on the chosen numbers. None of the first four relations always holds.

Therefore, the correct answer is E.

27.

Al dividir $y^2+my+2$ entre $y-1$ , el cociente es $f(y)$ y el residuo es $R_1.$ Al dividir $y^2+my+2$ entre $y+1$ , el cociente es $g(y)$ y el residuo es $R_2.$ Si $R_1=R_2,$ entonces $m$ es:

When $y^2+my+2$ is divided by $y-1$ the quotient is $f(y)$ and the remainder is $R_1.$ When $y^2+my+2$ is divided by $y+1$ the quotient is $g(y)$ and the remainder is $R_2.$ If $R_1=R_2,$ then $m$ is:

$0$

$1$

$2$

$-1$

una constante indeterminada

an undetermined constant

Conceptos:polinomio sustitución ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Usa el teorema del residuo en $y=1$ y $y=-1$

Use the remainder theorem at $y=1$ and $y=-1$

Pista grande:

Iguala $m+3=3-m$

Set $m+3=3-m$

Solución:

El teorema del residuo da $R_1=1+m+2=m+3$ y $R_2=1-m+2=3-m.$ La igualdad implica $m=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The remainder theorem gives $R_1=1+m+2=m+3$ and $R_2=1-m+2=3-m.$ Equality implies $m=0.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

Una escalera mecánica con $n$ peldaños uniformes visibles en todo momento desciende a velocidad constante. Dos chicos, $A$ y $Z,$ bajan de manera constante mientras la escalera se mueve; $A$ recorre el doble de peldaños por minuto que $Z.$ $A$ llega al final después de dar $27$ pasos, mientras que $Z$ llega después de dar $18$ pasos. Entonces $n$ es:

An escalator (moving staircase) of $n$ uniform steps visible at all times descends at constant speed. Two boys, $A$ and $Z,$ walk down the escalator steadily as it moves, $A$ negotiating twice as many escalator steps per minute as $Z.$ $A$ reaches the bottom after taking $27$ steps while $Z$ reaches the bottom after taking $18$ steps. Then $n$ is:

$63$

$54$

$45$

$36$

$30$

Conceptos:velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea $v$ la cadencia de pasos de $Z$ y $e$ la velocidad de la escalera

Let $Z$ ’s stepping rate be $v$ and the escalator rate be $e$

Pista grande:

Iguala $27+\frac{27e}{2v}$ y $18+\frac{18e}{v}$

Equate $27+\frac{27e}{2v}$ and $18+\frac{18e}{v}$

Solución:

Sea $v$ el número de pasos por minuto que da $Z$ , de modo que $A$ da $2v,$ y sea $e$ el número de peldaños por minuto que aporta la escalera. Sus tiempos de recorrido son $\frac{27}{2v}$ y $\frac{18}{v}.$ Así, $n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}.$ Esto da $\frac{e}{v}=2,$ y luego $n=18+18(2)=54.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $Z$ take $v$ steps per minute, so $A$ takes $2v,$ and let the escalator contribute $e$ steps per minute. Their travel times are $\frac{27}{2v}$ and $\frac{18}{v}.$ Thus $n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}.$ This gives $\frac{e}{v}=2,$ and then $n=18+18(2)=54.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

De $28$ estudiantes que cursan al menos una asignatura, el número que cursa solo Matemáticas e Inglés es igual al que cursa solo Matemáticas. Ningún estudiante cursa solo Inglés ni solo Historia, y seis estudiantes cursan Matemáticas e Historia, pero no Inglés. El número que cursa solo Inglés e Historia es cinco veces el número que cursa las tres asignaturas. Si el número que cursa las tres es par y distinto de cero, el número que cursa solo Inglés y Matemáticas es:

Of $28$ students taking at least one subject the number taking Mathematics and English only equals the number taking Mathematics only. No student takes English only or History only, and six students take Mathematics and History, but no English. The number taking English and History only is five times the number taking all three subjects. If the number taking all three subjects is even and non-zero, the number taking English and Mathematics only is:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:Diagrama de Venn conteo básico Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Sea $t$ el número que cursa las tres y $x$ tanto el que cursa solo Matemáticas como el que cursa solo Matemáticas e Inglés

Let $t$ be the all-three count and $x$ both the Math-only and Math-English-only count

Pista grande:

El total se convierte en $2x+6+6t=28$

The total becomes $2x+6+6t=28$

Solución:

Sea $t$ el número que cursa las tres asignaturas y $x$ el número que cursa solo Matemáticas e Inglés, que también es igual al que cursa solo Matemáticas. El total de las regiones disjuntas es $x+x+6+5t+t=28,$ por lo que $x=11-3t.$ Como $t$ es positivo y par, $t=2$ es el único valor que da una cantidad no negativa, y $x=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $t$ be the number taking all three and $x$ the number taking Mathematics and English only, which also equals the Mathematics-only count. The disjoint-region total is $x+x+6+5t+t=28,$ so $x=11-3t.$ Since $t$ is positive and even, $t=2$ is the only value giving a nonnegative listed count, and $x=5.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

Sea $BC$ , lado del triángulo rectángulo $ABC$ , el diámetro de un círculo que corta la hipotenusa $AB$ en $D.$ En $D$ se traza una tangente que corta el cateto $CA$ en $F.$ Esta información no es suficiente para demostrar que:

Let $BC$ of right triangle $ABC$ be the diameter of a circle intersecting hypotenuse $AB$ in $D.$ At $D$ a tangent is drawn cutting leg $CA$ in $F.$ This information is not sufficient to prove that:

$DF$ biseca $CA$

$DF$ bisects $CA$

$DF$ biseca $\angle CDA$

$DF$ bisects $\angle CDA$

$DF=FA$

$\angle A=\angle BCD$

$\angle CFD=2\angle A$

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo teorema de la bisectriz contraejemplo

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Usa las coordenadas $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

Use coordinates $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

Pista grande:

La tangente corta $CA$ en su punto medio; comprueba la afirmación sobre la bisectriz con el teorema de la bisectriz

The tangent meets $CA$ at its midpoint; test the angle-bisector claim with the angle-bisector theorem

Solución:

Toma $C=(0,0),\ A=(a,0),$ y $B=(0,b).$ La segunda intersección de $AB$ con el círculo de diámetro $BC$ es $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right).$ La tangente en $D$ corta $CA$ en $F=(\frac{a}{2},0).$ Por tanto, $DF$ biseca $CA;$ además, $FC=FD=FA$ por la igualdad de los segmentos tangentes desde $F,$ lo que proporciona las opciones C y E, y los ángulos del círculo y del triángulo rectángulo proporcionan la opción D.

Si $DF$ bisecara $\angle CDA,$ el teorema de la bisectriz en el triángulo $CDA$ exigiría $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}.$ El lado izquierdo es $1,$ mientras que $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba,$ que no tiene por qué ser $1.$ Por tanto, la opción B no puede demostrarse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Put $C=(0,0),\ A=(a,0),$ and $B=(0,b).$ The second intersection of $AB$ with the circle of diameter $BC$ is $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right).$ The tangent at $D$ meets $CA$ at $F=(\frac{a}{2},0).$ Hence $DF$ bisects $CA;$ also $FC=FD=FA$ by equal tangents from $F,$ which supplies choices C and E, and the circle/right-triangle angles supply choice D.

If $DF$ bisected $\angle CDA,$ the angle-bisector theorem in triangle $CDA$ would require $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}.$ The left side is $1,$ while $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba,$ which need not be $1.$ Thus choice B is not provable.

Therefore, the correct answer is B.

31.

El número de valores reales de $x$ que satisfacen la igualdad $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ donde $a$ y $b$ son constantes positivas distintas de $1,$ es:

The number of real values of $x$ satisfying the equality $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ where $a$ and $b$ are positive constants different from $1,$ is:

$0$

$1$

$2$

un entero mayor que $2$

an integer greater than $2$

no finito

not finite

Conceptos:logaritmo cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Escribe cada logaritmo con logaritmos naturales

Write every logarithm with natural logs

Pista grande:

La ecuación se reduce a $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

The equation reduces to $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

Solución:

El cambio de base da $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Como los denominadores no son cero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Así, $x=b$ o $x=\frac{1}{b}.$ Estos valores son distintos porque $b\ne1,$ por lo que hay dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Change of base gives $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Since the denominators are nonzero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Thus $x=b$ or $x=\frac{1}{b}.$ These are distinct because $b\ne1,$ so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.

32.

Un artículo que cuesta $C$ dólares se vende por $\$100$ con una pérdida del $x$ por ciento del precio de venta. Luego se revende con una ganancia del $x$ por ciento del nuevo precio de venta $S'.$ Si la diferencia entre $S'$ y $C$ es $1\dfrac19$ dólares, entonces $x$ es:

An article costing $C$ dollars is sold for $\$100$ at a loss of $x$ percent of the selling price. It is then resold at a profit of $x$ percent of the new selling price $S'.$ If the difference between $S'$ and $C$ is $1\dfrac19$ dollars, then $x$ is:

indeterminado

undetermined

$\dfrac{80}{9}$

$10$

$\dfrac{95}{9}$

$\dfrac{100}{9}$

Conceptos:porcentaje dinero cuadrática

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

La primera pérdida da $C=100+x$

The first loss makes $C=100+x$

Pista grande:

La condición de reventa da $S'=\frac{10000}{100-x}$

The resale condition gives $S'=\frac{10000}{100-x}$

Solución:

Una pérdida del $x\%$ del precio de venta de $\$100$ significa que $C=100+x.$ En la reventa, $S'-100=(\frac{x}{100})S',$ por lo que $S'=\frac{10000}{100-x}.$ Por tanto, $\begin{gathered} \frac{10000}{100-x}-(100+x)\\ =\frac{x^2}{100-x} =\frac{10}{9}. \end{gathered}$ Así, $9x^2+10x-1000=0,$ cuya raíz positiva es $x=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A loss of $x\%$ of the $\$100$ selling price means $C=100+x.$ On resale, $S'-100=(\frac{x}{100})S',$ so $S'=\frac{10000}{100-x}.$ Therefore $\begin{gathered} \frac{10000}{100-x}-(100+x)\\ =\frac{x^2}{100-x} =\frac{10}{9}. \end{gathered}$ Thus $9x^2+10x-1000=0,$ whose positive root is $x=10.$

Therefore, the correct answer is C.

33.

Si el número $15!,$ es decir, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ termina en $k$ ceros cuando se expresa en base $12$ y en $h$ ceros cuando se expresa en base $10,$ entonces $k+h$ es igual a:

If the number $15!,$ that is, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ ends with $k$ zeros when given to the base $12$ and ends with $h$ zeros when given to the base $10,$ then $k+h$ equals:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:factorial ceros finales factorización en primos base numérica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Cuenta las potencias de $2,$ $3,$ y $5$ en $15!$

Count the powers of $2,$ $3,$ and $5$ in $15!$

Pista grande:

Un cero en base $12$ usa $2^2\cdot3$ , mientras que un cero en base $10$ usa $2\cdot5$

A base- $12$ zero uses $2^2\cdot3$ , while a base- $10$ zero uses $2\cdot5$

Solución:

Las valuaciones primas son $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Por tanto, $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ en base $12,$ y $h=\min(11,3)=3$ en base $10.$ Así, $k+h=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime valuations are $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Hence $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ in base $12,$ and $h=\min(11,3)=3$ in base $10.$ Thus $k+h=8.$

Therefore, the correct answer is D.

34.

Para $x\geq0,$ el menor valor de $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ es:

For $x\geq0,$ the smallest value of $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ is:

$1$

$2$

$\dfrac{25}{12}$

$\dfrac{13}{6}$

$\dfrac{34}{5}$

Conceptos:optimización Desigualdad MA-MG sustitución

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Toma $t=x+1\geq1$

Set $t=x+1\geq1$

Pista grande:

Reescribe la expresión como $\frac23t+\frac{3}{2t}$

Rewrite the expression as $\frac23t+\frac{3}{2t}$

Solución:

Sea $t=x+1\geq1.$ Como $4x^2+8x+13=4t^2+9,$ la expresión es $\frac23t+\frac{3}{2t}.$ Por la desigualdad media aritmética-media geométrica, esto es al menos $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,$ con igualdad en $t=\frac{3}{2},$ que está permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $t=x+1\geq1.$ Since $4x^2+8x+13=4t^2+9,$ the expression is $\frac23t+\frac{3}{2t}.$ By AM-GM this is at least $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,$ with equality at $t=\frac{3}{2},$ which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.

35.

Un rectángulo mide $5$ pulgadas de largo y menos de $4$ pulgadas de ancho. Se dobla de modo que dos vértices opuestos coincidan. Si la longitud del pliegue es $\sqrt6,$ entonces el ancho es:

The length of a rectangle is $5$ inches and its width is less than $4$ inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is $\sqrt6,$ then the width is:

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$\sqrt{\frac{11}{2}}$

Conceptos:plegado de papel mediatriz geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz de una diagonal del rectángulo

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

Pista grande:

Si el ancho es $w\lt4,$ sus intersecciones con los lados largos difieren horizontalmente en $\frac{w^2}{5}$

If the width is $w\lt4,$ its intersections with the long sides differ horizontally by $\frac{w^2}{5}$

Solución:

Coloca el rectángulo en $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ y $(0,w).$ El pliegue que lleva $(0,0)$ a $(5,w)$ es $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Como $w\lt4,$ corta los dos lados horizontales. Entre esas intersecciones, el cambio vertical es $w$ y el horizontal es $\frac{w^2}{5}.$ Así, $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Tomando $z=w^2$ se obtiene $z^2+25z-150=0,$ de modo que $z=5$ y $w=\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ and $(0,w).$ The crease sending $(0,0)$ to $(5,w)$ is $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Because $w\lt4,$ it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is $w$ and the horizontal change is $\frac{w^2}{5}.$ Thus $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Setting $z=w^2$ gives $z^2+25z-150=0,$ so $z=5$ and $w=\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is D.

36.

Sean $OA$ y $OB$ dos rectas distintas. Desde un punto de $OA$ se traza una perpendicular a $OB;$ desde el pie de esta perpendicular se traza una recta perpendicular a $OA.$ Desde el pie de esta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a $OB;$ y así sucesivamente de manera indefinida. Las longitudes de la primera y la segunda perpendicular son $a$ y $b,$ respectivamente. La suma de las longitudes de las perpendiculares se aproxima a un límite cuando su número crece sin cota. Este límite es:

Given distinct straight lines $OA$ and $OB.$ From a point in $OA$ a perpendicular is drawn to $OB;$ from the foot of this perpendicular a line is drawn perpendicular to $OA.$ From the foot of this second perpendicular a line is drawn perpendicular to $OB;$ and so on indefinitely. The lengths of the first and second perpendiculars are $a$ and $b,$ respectively. Then the sum of the lengths of the perpendiculars approaches a limit as the number of perpendiculars grows beyond all bounds. This limit is:

$\dfrac b{a-b}$

$\dfrac a{a-b}$

$\dfrac{ab}{a-b}$

$\dfrac{b^2}{a-b}$

$\dfrac{a^2}{a-b}$

Conceptos:sucesión geométrica semejanza sumatoria

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Los triángulos rectángulos sucesivos formados por las dos rectas fijas son semejantes

Successive right triangles formed by the two fixed lines are similar

Pista grande:

Las longitudes de las perpendiculares forman una sucesión geométrica de primer término $a$ y razón $\frac{b}{a}$

The perpendicular lengths form a geometric sequence with first term $a$ and ratio $\frac{b}{a}$

Solución:

Cada nuevo triángulo rectángulo tiene el mismo ángulo agudo, así que las longitudes de las perpendiculares forman una sucesión geométrica. Como las dos primeras longitudes son $a,b,$ la razón común es $\frac{b}{a}.$ La convergencia implica $0\lt \frac{b}{a}\lt1,$ y la suma es $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each new right triangle has the same acute angle, so the perpendicular lengths form a geometric sequence. Since the first two lengths are $a,b,$ the common ratio is $\frac{b}{a}.$ Convergence implies $0\lt \frac{b}{a}\lt1,$ and the sum is $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}.$

Therefore, the correct answer is E.

37.

Se elige el punto $E$ sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$ de modo que $AE:EB=1:3,$ y el punto $D$ sobre el lado $BC$ de modo que $CD:DB=1:2.$ El punto de intersección de $AD$ y $CE$ es $F.$ Entonces

$\frac{EF}{FC}+\frac{AF}{FD}$

es:

Point $E$ is selected on side $AB$ of triangle $ABC$ in such a way that $AE:EB=1:3,$ and point $D$ is selected on side $BC$ so that $CD:DB=1:2.$ The point of intersection of $AD$ and $CE$ is $F.$ Then

$\frac{EF}{FC}+\frac{AF}{FD}$

is:

$\dfrac45$

$\dfrac54$

$\dfrac32$

$2$

$\dfrac52$

Conceptos:puntos de masa razón y proporción

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Asigna las masas $m_A=3,$ $m_B=1,$ y $m_C=2$

Assign masses $m_A=3,$ $m_B=1,$ and $m_C=2$

Pista grande:

Usa las masas combinadas en $E$ y $D$ para obtener las dos razones sobre las cevianas

Use the combined masses at $E$ and $D$ to read the two cevian ratios

Solución:

Las razones de los lados se representan con masas $m_A=3,$ $m_B=1,$ y $m_C=2.$ Entonces $m_E=m_A+m_B=4$ y $m_D=m_B+m_C=3.$ Sobre $CE,$ $\frac{EF}{FC}=\frac{m_C}{m_E}=\frac12,$ mientras que sobre $AD,$ $\frac{AF}{FD}=\frac{m_D}{m_A}=1.$ Su suma es $\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The side ratios are represented by masses $m_A=3,$ $m_B=1,$ and $m_C=2.$ Then $m_E=m_A+m_B=4$ and $m_D=m_B+m_C=3.$ Along $CE,$ $\frac{EF}{FC}=\frac{m_C}{m_E}=\frac12,$ while along $AD,$ $\frac{AF}{FD}=\frac{m_D}{m_A}=1.$ Their sum is $\frac{3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

38.

$A$ tarda $m$ veces lo que tardan $B$ y $C$ juntos en realizar un trabajo; $B$ tarda $n$ veces lo que tardan $C$ y $A$ juntos; y $C$ tarda $x$ veces lo que tardan $A$ y $B$ juntos. Entonces $x,$ en función de $m$ y $n,$ es:

$A$ takes $m$ times as long to do a piece of work as $B$ and $C$ together; $B$ takes $n$ times as long as $C$ and $A$ together; and $C$ takes $x$ times as long as $A$ and $B$ together. Then $x,$ in terms of $m$ and $n,$ is:

$\dfrac{2mn}{m+n}$

$\dfrac1{2(m+n)}$

$\dfrac1{m+n-mn}$

$\dfrac{1-mn}{m+n+2mn}$

$\dfrac{m+n+2}{mn-1}$

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sean $a,$ $b,$ y $c$ las tasas de trabajo de $A,$ $B,$ y $C$

Let the work rates of $A,$ $B,$ and $C$ be $a,$ $b,$ and $c$

Pista grande:

Expresa las dos primeras condiciones como $b+c=ma$ y $c+a=nb$

Translate the first two conditions as $b+c=ma$ and $c+a=nb$

Solución:

Sean $a,$ $b,$ y $c$ las tasas de trabajo. Las relaciones de tiempo dan $\begin{gathered} b+c=ma,\\ c+a=nb,\\ a+b=xc. \end{gathered}$ De las dos primeras, $\frac ba=\frac{m+1}{n+1}$ y $\frac ca=\frac{mn-1}{n+1}.$ Por tanto, $x=\frac{a+b}{c} =\frac{m+n+2}{mn-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the work rates be $a,$ $b,$ and $c.$ The time statements give $\begin{gathered} b+c=ma,\\ c+a=nb,\\ a+b=xc. \end{gathered}$ From the first two, $\frac ba=\frac{m+1}{n+1}$ and $\frac ca=\frac{mn-1}{n+1}.$ Hence $x=\frac{a+b}{c} =\frac{m+n+2}{mn-1}.$

Therefore, the correct answer is E.

39.

Un capataz observó a un inspector comprobando un orificio de $3$ pulgadas con un tapón de $2$ pulgadas y otro de $1$ pulgada, y sugirió insertar dos calibradores más para asegurar un ajuste ceñido. Si los nuevos calibradores son iguales, el diámetro $d$ de cada uno, redondeado a la centésima de pulgada, es:

A foreman noticed an inspector checking a $3$ -inch hole with a $2$ -inch plug and a $1$ -inch plug and suggested that two more gauges be inserted to be sure that the fit was snug. If the new gauges are alike, then the diameter $d$ of each, to the nearest hundredth of an inch, is:

$0.87$

$0.86$

$0.83$

$0.75$

$0.71$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica estimación

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Usa los radios $\frac{3}{2},$ $1,$ y $\frac{1}{2},$ y sea $r$ el radio de un nuevo calibrador

Use radii $\frac{3}{2},$ $1,$ and $\frac{1}{2},$ and let a new gauge have radius $r$

Pista grande:

Si su centro es $(u,v)$ , resta sus tres ecuaciones de distancia por tangencia

If its center is $(u,v)$ , subtract its three tangency-distance equations

Solución:

Coloca el centro del orificio en el origen. Los centros de los tapones de $2$ y $1$ pulgadas son $(0,-\frac{1}{2})$ y $(0,1).$ Sea $r$ el radio de un nuevo calibrador y $(u,v)$ su centro. La tangencia con los dos tapones da $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ mientras que la tangencia interna con el orificio da $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Al restar pares de ecuaciones se obtiene $v=\frac12+\frac r3$ y $v=\frac32-2r.$ Así, $r=\frac{3}{7},$ de modo que $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the hole’s center at the origin. The $2$ -inch and $1$ -inch plug centers are $(0,-\frac{1}{2})$ and $(0,1).$ Let a new gauge have radius $r$ and center $(u,v).$ Tangency to the two plugs gives $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ while internal tangency to the hole gives $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Subtracting pairs of equations yields $v=\frac12+\frac r3$ and $v=\frac32-2r.$ Thus $r=\frac{3}{7},$ so $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

Sea $n$ el número de valores enteros de $x$ tales que $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ es el cuadrado de un entero. Entonces $n$ es:

Let $n$ be the number of integer values of $x$ such that $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ is the square of an integer. Then $n$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Conceptos:cuadrado perfecto polinomio acotación a casos límite enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Reescribe $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

Rewrite $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

Pista grande:

Dos cuadrados enteros distintos $U^2$ y $V^2$ difieren al menos en $2\max(|U|,|V|)-1$

Distinct integer squares $U^2$ and $V^2$ differ by at least $2\max(|U|,|V|)-1$

Solución:

Sea $N=x^2+3x+1.$ Entonces $P=N^2-3(x-10).$ Para $x=10,\ P=N^2=131^2,$ así que un valor funciona.

Si $x\gt10$ y $P=y^2,$ entonces $N^2-y^2=3(x-10).$ Dos cuadrados enteros distintos, uno de ellos $N^2$ , difieren al menos en $2|N|-1,$ que ya es mayor que $3(x-10),$ una contradicción. Si $x\lt10,$ la cota análoga $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ solo puede cumplirse para $-6\leq x\leq2.$ La sustitución directa de estos nueve enteros no da ningún cuadrado. Por tanto, $x=10$ es la única solución y $n=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $N=x^2+3x+1.$ Then $P=N^2-3(x-10).$ At $x=10,\ P=N^2=131^2,$ so one value works.

If $x\gt10$ and $P=y^2,$ then $N^2-y^2=3(x-10).$ Distinct integer squares differing from $N^2$ differ by at least $2|N|-1,$ which is already greater than $3(x-10),$ a contradiction. If $x\lt10,$ the analogous bound $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ can hold only for $-6\leq x\leq2.$ Direct substitution for these nine integers gives no square. Hence $x=10$ is the unique solution and $n=1.$

Therefore, the correct answer is D.