Question

Un capataz observó a un inspector comprobando un orificio de $3$ pulgadas con un tapón de $2$ pulgadas y otro de $1$ pulgada, y sugirió insertar dos calibradores más para asegurar un ajuste ceñido. Si los nuevos calibradores son iguales, el diámetro $d$ de cada uno, redondeado a la centésima de pulgada, es:

A foreman noticed an inspector checking a $3$ -inch hole with a $2$ -inch plug and a $1$ -inch plug and suggested that two more gauges be inserted to be sure that the fit was snug. If the new gauges are alike, then the diameter $d$ of each, to the nearest hundredth of an inch, is:

$0.87$

$0.86$

$0.83$

$0.75$

$0.71$

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica estimación

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Usa los radios $\frac{3}{2},$ $1,$ y $\frac{1}{2},$ y sea $r$ el radio de un nuevo calibrador

Use radii $\frac{3}{2},$ $1,$ and $\frac{1}{2},$ and let a new gauge have radius $r$

Pista grande:

Si su centro es $(u,v)$ , resta sus tres ecuaciones de distancia por tangencia

If its center is $(u,v)$ , subtract its three tangency-distance equations

Solución:

Coloca el centro del orificio en el origen. Los centros de los tapones de $2$ y $1$ pulgadas son $(0,-\frac{1}{2})$ y $(0,1).$ Sea $r$ el radio de un nuevo calibrador y $(u,v)$ su centro. La tangencia con los dos tapones da $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ mientras que la tangencia interna con el orificio da $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Al restar pares de ecuaciones se obtiene $v=\frac12+\frac r3$ y $v=\frac32-2r.$ Así, $r=\frac{3}{7},$ de modo que $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the hole’s center at the origin. The $2$ -inch and $1$ -inch plug centers are $(0,-\frac{1}{2})$ and $(0,1).$ Let a new gauge have radius $r$ and center $(u,v).$ Tangency to the two plugs gives $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ while internal tangency to the hole gives $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Subtracting pairs of equations yields $v=\frac12+\frac r3$ and $v=\frac32-2r.$ Thus $r=\frac{3}{7},$ so $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Therefore, the correct answer is B.

1965 AMC 12 Problema 39

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años