Question

Se toman cinco puntos dentro o sobre un cuadrado de lado $1.$ Sea $a$ el menor número tal que siempre puede elegirse un par cuya distancia sea menor o igual que $a.$ Entonces $a$ es:

Any five points are taken inside or on a square with side length $1.$ Let $a$ be the smallest possible number with the property that it is always possible to select one pair of points from these five such that the distance between them is equal to or less than $a.$ Then $a$ is:

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$1$

$\sqrt2$

Respuesta: B

Conceptos:principio del palomar argumento extremal cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados congruentes

Partition the unit square into four congruent smaller squares

Pista grande:

Para demostrar que la cota es exacta, busca cinco puntos cuya distancia mínima la alcance

To prove sharpness, look for five points whose closest-pair distance reaches the bound

Solución:

Divide el cuadrado en cuatro cuadrados de lado $\frac{1}{2}.$ Dos de los cinco puntos están en el mismo cuadrado pequeño, así que su distancia no supera su diagonal, $\frac{\sqrt2}{2}.$ La cota se alcanza colocando puntos en las cuatro esquinas y el centro: la distancia mínima es $\frac{\sqrt2}{2}.$ Por ello, el menor valor garantizado es $\frac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Divide the square into four squares of side $\frac{1}{2}.$ Two of the five points lie in the same small square, so their distance is at most its diagonal, $\frac{\sqrt2}{2}.$ This bound is attainable by placing points at the four corners and the center: the shortest distance is then $\frac{\sqrt2}{2}.$ Hence the least guaranteed value is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

1961 AMC 12 Problema 39

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años