Question

Para satisfacer la ecuación $\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},$ $a$ y $b$ deben ser:

To satisfy the equation $\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},$ $a$ and $b$ must be:

ambos racionales

both rational

ambos reales, pero no racionales

both real but not rational

ambos no reales

both not real

uno real y otro no real

one real, one not real

uno real y otro no real, o ambos no reales

one real, one not real or both not real

Respuesta: E

Conceptos:número complejo cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Después de observar que los denominadores deben ser no nulos, sea $t=\frac{b}{a}$

Let $t=\frac{b}{a}$ after noting that the denominators must be nonzero

Pista grande:

La cuadrática resultante $t^2+t+1=0$ tiene discriminante negativo

The resulting quadratic $t^2+t+1=0$ has negative discriminant

Solución:

Los denominadores exigen $a\ne0$ y $a+b\ne0.$ Al tomar $t=\frac{b}{a}$ y multiplicar en cruz se obtiene $(1+t)^2=t,$ o bien $t^2+t+1=0.$ Su discriminante es $-3,$ así que $t$ no es real. Por tanto, $a$ y $b$ no pueden ser ambos reales. Según la escala compleja no nula elegida para $a,$ uno puede ser real y el otro no real, o ambos pueden ser no reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The denominators require $a\ne0$ and $a+b\ne0.$ Setting $t=\frac{b}{a}$ and cross-multiplying gives $(1+t)^2=t,$ or $t^2+t+1=0.$ Its discriminant is $-3,$ so $t$ is not real. Therefore $a$ and $b$ cannot both be real. Depending on the nonzero complex scale chosen for $a,$ one can be real and the other nonreal, or both can be nonreal.

Thus, the correct answer is E.

1960 AMC 12 Problema 39

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 39 en otros años