En el sistema de numeración de base 5, se cuenta así: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, … El número que en el sistema decimal se representa como 69, al escribirse en base 5 , tiene:

(B) dos dígitos no consecutivos

(D) tres dígitos no consecutivos

Para satisfacer la ecuación (a+b)/(a)=(b)/(a+b), a y b deben ser:

(E) uno real y otro no real, o ambos no reales

(B) ambos reales, pero no racionales

1960 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si $2$ es una solución (raíz) de $x^3+hx+10=0,$ entonces $h$ es igual a:

If $2$ is a solution (root) of $x^3+hx+10=0,$ then $h$ equals:

$10$

$9$

$2$

$-2$

$-9$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sustitución ecuación lineal

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Sustituye $x=2$ en la ecuación

Substitute $x=2$ into the equation

Pista grande:

Resuelve la ecuación lineal resultante para hallar $h$

Solve the resulting linear equation for $h$

Solución:

Al sustituir la raíz dada se obtiene $2^3+2h+10=0.$ Por tanto, $2h=-18,$ de modo que $h=-9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting the given root gives $2^3+2h+10=0.$ Thus $2h=-18,$ so $h=-9.$

Therefore, the correct answer is E.

2.

Un reloj tarda $5$ segundos en dar las $6$ campanadas, comenzando exactamente a las $6{:}00$ . Si las campanadas están espaciadas uniformemente, ¿cuántos segundos tarda en dar las $12$ campanadas?

It takes $5$ seconds for a clock to strike $6$ o’clock beginning at $6{:}00$ o’clock precisely. If the strikings are uniformly spaced, how long, in seconds, does it take to strike $12$ o’clock?

$9\dfrac13$

$10$

$11$

$14\dfrac23$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:reloj tasa conteo de postes

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Seis campanadas contienen solo cinco intervalos de tiempo

Six strikes contain only five time intervals

Pista grande:

Doce campanadas contienen once intervalos de la misma duración

Twelve strikes contain eleven intervals of the same length

Solución:

Desde la primera hasta la última de las $6$ campanadas hay $5$ intervalos iguales, así que cada intervalo dura $1$ segundo. Doce campanadas contienen $11$ intervalos de ese tipo y, por tanto, tardan $11$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $5$ equal intervals from the first of $6$ strikes to the last, so each interval lasts $1$ second. Twelve strikes contain $11$ such intervals and therefore take $11$ seconds.

Thus, the correct answer is C.

3.

Aplicada a una cuenta de $\$10{,}000$ , la diferencia, expresada en dólares, entre un descuento de $40\%$ y dos descuentos sucesivos de $36\%$ y $4\%,$ es:

Applied to a bill for $\$10{,}000$ the difference between a discount of $40\%$ and two successive discounts of $36\%$ and $4\%,$ expressed in dollars, is:

$0$

$144$

$256$

$400$

$416$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Los descuentos sucesivos se aplican uno después del otro; no se suman

Successive discounts are applied one after the other, not added

Pista grande:

Compara el $40\%$ de la cuenta con el $36\%$ más el $4\%$ del $64\%$ restante

Compare $40\%$ of the bill with $36\%$ plus $4\%$ of the remaining $64\%$

Solución:

Un descuento de $40\%$ es $\$4000.$ Los descuentos sucesivos suman $3600+0.04(6400)=3856.$ La diferencia es $4000-3856=144$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A $40\%$ discount is $\$4000.$ The successive discounts total $3600+0.04(6400)=3856.$ Their difference is $4000-3856=144$ dollars.

Therefore, the correct answer is B.

4.

Dos ángulos de un triángulo miden $60^\circ$ cada uno y el lado comprendido entre ellos mide $4$ pulgadas. El área del triángulo, en pulgadas cuadradas, es:

Each of two angles of a triangle is $60^\circ$ and the included side is $4$ inches. The area of the triangle, in square inches, is:

$8\sqrt3$

$8$

$4\sqrt3$

$4$

$2\sqrt3$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Determina el tercer ángulo del triángulo

Determine the third angle of the triangle

Pista grande:

Usa la fórmula del área de un triángulo equilátero de lado $4$

Use the area formula for an equilateral triangle of side $4$

Solución:

El tercer ángulo también mide $60^\circ,$ así que el triángulo es equilátero y su lado mide $4.$ Su área es $\frac{\sqrt3}{4}(4)^2=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The third angle is also $60^\circ,$ so the triangle is equilateral with side $4.$ Its area is $\frac{\sqrt3}{4}(4)^2=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

5.

El número de puntos distintos comunes a las gráficas de $x^2+y^2=9$ y $y^2=9$ es:

The number of distinct points common to the graphs of $x^2+y^2=9$ and $y^2=9$ is:

infinitos

infinitely many

cuatro

four

dos

two

uno

one

ninguno

none

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones círculo

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Sustituye $y^2=9$ en la ecuación del círculo

Substitute $y^2=9$ into the circle equation

Pista grande:

Después de hallar $x,$ cuenta los valores posibles de $y$

After finding $x,$ count the possible values of $y$

Solución:

La sustitución da $x^2+9=9,$ por lo que $x=0.$ Luego $y^2=9$ da $y=3$ o $y=-3.$ Por tanto, hay dos puntos comunes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives $x^2+9=9,$ so $x=0.$ Then $y^2=9$ gives $y=3$ or $y=-3.$ Hence there are two common points.

Therefore, the correct answer is C.

6.

La circunferencia de un círculo mide $100$ pulgadas. El lado de un cuadrado inscrito en este círculo, expresado en pulgadas, es:

The circumference of a circle is $100$ inches. The side of a square inscribed in this circle, expressed in inches, is:

$\dfrac{25\sqrt2}{\pi}$

$\dfrac{50\sqrt2}{\pi}$

$\dfrac{100}{\pi}$

$\dfrac{100\sqrt2}{\pi}$

$50\sqrt2$

Respuesta: B

Conceptos:circunferencia cuadrado (geometría)diagonal

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Halla el diámetro a partir de la circunferencia

Find the diameter from the circumference

Pista grande:

La diagonal del cuadrado inscrito es el diámetro del círculo

The diagonal of the inscribed square is the circle’s diameter

Solución:

El diámetro es $\frac{100}{\pi}.$ Si el lado del cuadrado es $s,$ su diagonal es $s\sqrt2,$ así que $s\sqrt2=\frac{100}{\pi}.$ Por lo tanto, $s=\frac{50\sqrt2}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The diameter is $\frac{100}{\pi}.$ If the square has side $s,$ its diagonal is $s\sqrt2,$ so $s\sqrt2=\frac{100}{\pi}.$ Therefore $s=\frac{50\sqrt2}{\pi}.$

Thus, the correct answer is B.

7.

El círculo I pasa por el centro del círculo II y es tangente a él. El área del círculo I es de $4$ pulgadas cuadradas. Entonces el área del círculo II, en pulgadas cuadradas, es:

Circle I passes through the center of, and is tangent to, circle II. The area of circle I is $4$ square inches. Then the area of circle II, in square inches, is:

$8$

$8\sqrt2$

$8\sqrt\pi$

$16$

$16\sqrt2$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Traza la recta que pasa por los dos centros y el punto de tangencia

Draw the line through the two centers and the tangency point

Pista grande:

El radio del círculo II es el doble del radio del círculo I

The radius of circle II is twice the radius of circle I

Solución:

Como el círculo I pasa por el centro del círculo II, la distancia entre los centros es igual al radio $r$ del círculo I. La tangencia interna también hace que esa distancia sea $R-r,$ donde $R$ es el radio del círculo II. Así, $R=2r,$ y el área se multiplica por $2^2=4.$ Por lo tanto, es $4\cdot4=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because circle I passes through the center of circle II, the distance between the centers equals the radius $r$ of circle I. Internal tangency also makes that distance $R-r,$ where $R$ is the radius of circle II. Thus $R=2r,$ and the area is multiplied by $2^2=4.$ It is therefore $4\cdot4=16.$

Thus, the correct answer is D.

8.

El número $2.5252525\ldots$ puede escribirse como una fracción. Al reducirla a términos mínimos, la suma del numerador y el denominador es:

The number $2.5252525\ldots$ can be written as a fraction. When reduced to lowest terms the sum of the numerator and denominator of this fraction is:

$7$

$29$

$141$

$349$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico fracción máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe la parte periódica $0.525252\ldots$ con denominador $99$

Write the repeating part $0.525252\ldots$ using a denominator of $99$

Pista grande:

Suma la parte entera y luego reduce la fracción

Add the integer part and then reduce the fraction

Solución:

Tenemos $2.525252\ldots=2+\frac{52}{99}=\frac{250}{99}.$ Esta fracción ya está reducida a términos mínimos, y $250+99=349.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $2.525252\ldots=2+\frac{52}{99}=\frac{250}{99}.$ This fraction is already in lowest terms, and $250+99=349.$

Therefore, the correct answer is D.

9.

La fracción $\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac}$ es, con restricciones adecuadas sobre los valores de $a,$ $b,$ y $c$ :

The fraction $\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac}$ is (with suitable restrictions on the values of $a,$ $b,$ and $c$ ):

irreducible

reducible a $-1$

reducible to $-1$

reducible a un polinomio de tres términos

reducible to a polynomial of three terms

reducible a $\dfrac{a-b+c}{a+b-c}$

reducible to $\dfrac{a-b+c}{a+b-c}$

reducible a $\dfrac{a+b-c}{a-b+c}$

reducible to $\dfrac{a+b-c}{a-b+c}$

Respuesta: E

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Reescribe cada expresión cuadrática como una diferencia de cuadrados

Rewrite each quadratic expression as a difference of squares

Pista grande:

El numerador y el denominador comparten el factor $a+b+c$

The numerator and denominator share a factor $a+b+c$

Solución:

Al factorizar se obtiene $\begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c). \end{gathered}$ Al cancelar el factor común, bajo las restricciones adecuadas indicadas, queda $\frac{a+b-c}{a-b+c}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives $\begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c). \end{gathered}$ Cancelling the common factor, under the stated suitable restrictions, leaves $\frac{a+b-c}{a-b+c}.$

Thus, the correct answer is E.

10.

Se dan las seis afirmaciones siguientes:

$(1)$ Todas las mujeres son buenas conductoras.

$(2)$ Algunas mujeres son buenas conductoras.

$(3)$ Ningún hombre es buen conductor.

$(4)$ Todos los hombres son malos conductores.

$(5)$ Al menos un hombre es mal conductor.

$(6)$ Todos los hombres son buenos conductores.

La afirmación que niega la afirmación $(6)$ es:

Given the following six statements:

$(1)$ All women are good drivers.

$(2)$ Some women are good drivers.

$(3)$ No men are good drivers.

$(4)$ All men are bad drivers.

$(5)$ At least one man is a bad driver.

$(6)$ All men are good drivers.

The statement that negates statement $(6)$ is:

$(1)$

$(2)$

$(3)$

$(4)$

$(5)$

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Negar «todos» produce una afirmación de existencia

Negating “all” produces an existence statement

Pista grande:

Para negar la afirmación basta un solo hombre que no sea buen conductor

The negation needs only one man who is not a good driver

Solución:

La negación de «Todos los hombres son buenos conductores» es «Al menos un hombre no es buen conductor». En la terminología de las opciones, esa es la afirmación $(5),$ «Al menos un hombre es mal conductor».

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The negation of “All men are good drivers” is “At least one man is not a good driver.” In the terminology of the choices, that is statement $(5),$ “At least one man is a bad driver.”

Therefore, the correct answer is E.

11.

Para cierto valor de $k,$ el producto de las raíces de $x^2-3kx+2k^2-1=0$ es $7.$ Las raíces pueden caracterizarse como:

For a given value of $k,$ the product of the roots of $x^2-3kx+2k^2-1=0$ is $7.$ The roots may be characterized as:

enteras y positivas

integral and positive

enteras y negativas

integral and negative

racionales, pero no enteras

rational, but not integral

irracionales

irrational

imaginarias

imaginary

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática radical

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa el término constante para determinar los valores posibles de $k$

Use the constant term to determine the possible values of $k$

Pista grande:

Para cada valor de $k,$ examina la fórmula cuadrática o el discriminante

For either value of $k,$ examine the quadratic formula or discriminant

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $2k^2-1=7,$ así que $k=\pm2.$ Las raíces son $3\pm\sqrt2$ cuando $k=2,$ y $-3\pm\sqrt2$ cuando $k=-2.$ En ambos casos, las dos raíces son irracionales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Vieta’s formulas, $2k^2-1=7,$ so $k=\pm2.$ The roots are $3\pm\sqrt2$ when $k=2,$ and $-3\pm\sqrt2$ when $k=-2.$ In either case both roots are irrational.

Thus, the correct answer is D.

12.

El lugar geométrico de los centros de todos los círculos de radio dado $a,$ situados en el mismo plano y que pasan por un punto fijo, es:

The locus of the centers of all circles of given radius $a,$ in the same plane, passing through a fixed point, is:

un punto

a point

una recta

a straight line

dos rectas

two straight lines

un círculo

a circle

dos círculos

two circles

Respuesta: D

Conceptos:círculo fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Cada centro debe estar exactamente a un radio del punto fijo

Every center must be exactly one radius from the fixed point

Pista grande:

Identifica el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia positiva fija de un punto

Identify the locus of points at a fixed positive distance from one point

Solución:

Un círculo de radio $a$ pasa por el punto fijo exactamente cuando su centro está a distancia $a$ de ese punto. El lugar geométrico de todos esos centros es un círculo de radio $a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A circle of radius $a$ passes through the fixed point exactly when its center is distance $a$ from that point. The locus of all such centers is a circle of radius $a.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

El polígono formado por $y=3x+2,$ $y=-3x+2,$ y $y=-2,$ es:

The polygon(s) formed by $y=3x+2,$ $y=-3x+2,$ and $y=-2,$ is (are):

un triángulo equilátero

an equilateral triangle

un triángulo isósceles

an isosceles triangle

un triángulo rectángulo

a right triangle

un triángulo y un trapecio

a triangle and a trapezoid

un cuadrilátero

a quadrilateral

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica pendiente triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Halla las tres intersecciones por pares de las rectas

Find the three pairwise intersections of the lines

Pista grande:

Las dos rectas inclinadas son imágenes especulares respecto del eje $y$

The two slanted lines are mirror images across the $y$ -axis

Solución:

Las rectas inclinadas se cortan en $(0,2),$ mientras que sus intersecciones con $y=-2$ son $(-\frac{4}{3},-2)$ y $(\frac{4}{3},-2).$ Estos dos últimos puntos son simétricos respecto del eje $y$ , así que los dos lados inclinados tienen la misma longitud. La figura es un triángulo isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The slanted lines meet at $(0,2),$ while their intersections with $y=-2$ are $(-\frac{4}{3},-2)$ and $(\frac{4}{3},-2).$ The latter two points are symmetric about the $y$ -axis, so the two slanted sides have equal length. The figure is an isosceles triangle.

Thus, the correct answer is B.

14.

Si $a$ y $b$ son números reales, la ecuación $3x-5+a=bx+1$ tiene una solución única $x$ [el símbolo $a\ne0$ significa que $a$ es distinto de cero]:

If $a$ and $b$ are real numbers, the equation $3x-5+a=bx+1$ has a unique solution $x$ [the symbol $a\ne0$ means that $a$ is different from zero]:

para todos $a$ y $b$

for all $a$ and $b$

si $a\ne2b$

if $a\ne2b$

si $a\ne6$

if $a\ne6$

si $b\ne0$

if $b\ne0$

si $b\ne3$

if $b\ne3$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Reúne los términos con $x$ en un lado

Collect the $x$ -terms on one side

Pista grande:

Una ecuación lineal tiene una solución única cuando el coeficiente de $x$ no es cero

A linear equation has a unique solution when the coefficient of $x$ is nonzero

Solución:

Al reordenar se obtiene $(3-b)x=6-a.$ Esto tiene una solución única exactamente cuando $3-b\ne0,$ es decir, cuando $b\ne3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rearranging gives $(3-b)x=6-a.$ This has a unique solution exactly when $3-b\ne0,$ or $b\ne3.$

Thus, the correct answer is E.

15.

El triángulo I es equilátero, con lado $A,$ perímetro $P,$ área $K,$ y circunradio $R$ (radio del círculo circunscrito). El triángulo II es equilátero, con lado $a,$ perímetro $p,$ área $k,$ y circunradio $r.$ Si $A$ es distinto de $a,$ entonces:

Triangle I is equilateral with side $A,$ perimeter $P,$ area $K,$ and circumradius $R$ (radius of the circumscribed circle). Triangle II is equilateral with side $a,$ perimeter $p,$ area $k,$ and circumradius $r.$ If $A$ is different from $a,$ then:

$P:p=R:r$ solo algunas veces

$P:p=R:r$ only sometimes

$P:p=R:r$ siempre

$P:p=R:r$ always

$P:p=K:k$ solo algunas veces

$P:p=K:k$ only sometimes

$R:r=K:k$ siempre

$R:r=K:k$ always

$R:r=K:k$ solo algunas veces

$R:r=K:k$ only sometimes

Respuesta: B

Conceptos:semejanza perímetro circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Todos los triángulos equiláteros son semejantes

All equilateral triangles are similar

Pista grande:

Tanto el perímetro como el circunradio varían linealmente con la longitud del lado

Perimeter and circumradius both scale linearly with side length

Solución:

Para los triángulos equiláteros, $P=3A$ y $R=\frac{A}{\sqrt3},$ con fórmulas análogas para $p$ y $r.$ Por lo tanto, $P:p=A:a=R:r$ para cualquier pareja de triángulos de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For equilateral triangles, $P=3A$ and $R=\frac{A}{\sqrt3},$ with analogous formulas for $p$ and $r.$ Therefore $P:p=A:a=R:r$ for every such pair of triangles.

Thus, the correct answer is B.

16.

En el sistema de numeración de base $5,$ se cuenta así: $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ $20,$ $\ldots$ El número que en el sistema decimal se representa como $69,$ al escribirse en base $5$ , tiene:

In the numeration system with base $5,$ counting is as follows: $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ $20,$ $\ldots$ The number whose description in the decimal system is $69,$ when described in the base $5$ system, is a number with:

dos dígitos consecutivos

two consecutive digits

dos dígitos no consecutivos

two non-consecutive digits

tres dígitos consecutivos

three consecutive digits

tres dígitos no consecutivos

three non-consecutive digits

cuatro dígitos

four digits

Respuesta: C

Conceptos:base numérica valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expresa $69$ mediante potencias de $5$

Express $69$ using powers of $5$

Pista grande:

Después de hallar los dígitos en base $5$ , compara sus valores

After finding the base- $5$ digits, compare their values

Solución:

Como $69=2\cdot25+3\cdot5+4,$ su representación en base $5$ es $234_5.$ Sus tres dígitos $2,$ $3$ y $4$ son consecutivos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $69=2\cdot25+3\cdot5+4,$ its base- $5$ representation is $234_5.$ Its three digits $2,$ $3,$ and $4$ are consecutive.

Therefore, the correct answer is C.

17.

Para cierto grupo, la fórmula $N=8\cdot10^8\cdot x^{-\frac{3}{2}}$ da el número de personas cuyos ingresos superan $x$ dólares. El menor ingreso, en dólares, entre las $800$ personas más ricas es por lo menos:

The formula $N=8\cdot10^8\cdot x^{-\frac{3}{2}}$ gives, for a certain group, the number of individuals whose income exceeds $x$ dollars. The lowest income, in dollars, of the wealthiest $800$ individuals is at least:

$10^4$

$10^6$

$10^8$

$10^{12}$

$10^{16}$

Respuesta: A

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

En el umbral de ingresos, fija $N=800$

Set $N=800$ at the income cutoff

Pista grande:

Después de simplificar las potencias de $10,$ resuelve $x^{\frac{3}{2}}=10^6$

After simplifying powers of $10,$ solve $x^{\frac{3}{2}}=10^6$

Solución:

En el umbral, $800=8\cdot10^8x^{-\frac{3}{2}}.$ Por tanto, $x^{\frac{3}{2}}=10^6,$ y al elevar ambos lados a la potencia $\frac{2}{3}$ se obtiene $x=10^4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At the cutoff, $800=8\cdot10^8x^{-\frac{3}{2}}.$ Hence $x^{\frac{3}{2}}=10^6,$ and raising both sides to the $\frac{2}{3}$ power gives $x=10^4.$

Thus, the correct answer is A.

18.

El sistema de ecuaciones $3^{x+y}=81$ y $81^{x-y}=3$ tiene:

The pair of equations $3^{x+y}=81$ and $81^{x-y}=3$ has:

ninguna solución común

no common solution

la solución $x=2,$ $y=2$

the solution $x=2,$ $y=2$

la solución $x=2\dfrac12,$ $y=1\dfrac12$

the solution $x=2\dfrac12,$ $y=1\dfrac12$

una solución común formada por un entero positivo y uno negativo

a common solution in positive and negative integers

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe $81$ como $3^4$ en ambas ecuaciones

Rewrite $81$ as $3^4$ in both equations

Pista grande:

Resuelve el sistema resultante para $x+y$ y $x-y$

Solve the resulting system for $x+y$ and $x-y$

Solución:

La primera ecuación da $x+y=4.$ La segunda da $3^{4(x-y)}=3,$ así que $x-y=\frac{1}{4}.$ Por lo tanto, $x=\frac{17}{8}$ y $y=\frac{15}{8}.$ Este par no aparece entre las primeras cuatro opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation gives $x+y=4.$ The second gives $3^{4(x-y)}=3,$ so $x-y=\frac{1}{4}.$ Therefore $x=\frac{17}{8}$ and $y=\frac{15}{8}.$ This pair is not listed among the first four choices.

Thus, the correct answer is E.

19.

Considera la ecuación I: $x+y+z=46,$ donde $x,$ $y,$ y $z$ son enteros positivos, y la ecuación II: $x+y+z+w=46,$ donde $x,$ $y,$ $z,$ y $w$ son enteros positivos. Entonces:

Consider equation I: $x+y+z=46,$ where $x,$ $y,$ and $z$ are positive integers, and equation II: $x+y+z+w=46,$ where $x,$ $y,$ $z,$ and $w$ are positive integers. Then:

$\mathrm{I}$ puede resolverse con enteros consecutivos

$\mathrm{I}$ can be solved in consecutive integers

$\mathrm{I}$ puede resolverse con enteros pares consecutivos

$\mathrm{I}$ can be solved in consecutive even integers

$\mathrm{II}$ puede resolverse con enteros consecutivos

$\mathrm{II}$ can be solved in consecutive integers

$\mathrm{II}$ puede resolverse con enteros pares consecutivos

$\mathrm{II}$ can be solved in consecutive even integers

$\mathrm{II}$ puede resolverse con enteros impares consecutivos

$\mathrm{II}$ can be solved in consecutive odd integers

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe las sumas de tres y de cuatro enteros consecutivos

Write the sums of three and four consecutive integers

Pista grande:

Comprueba cuál de los promedios necesarios es compatible con $46$

Check which required average is compatible with $46$

Solución:

La suma de tres enteros consecutivos es divisible por $3,$ así que no puede ser $46.$ Cuatro enteros consecutivos que comienzan con $n$ tienen suma $4n+6.$ Al imponer $4n+6=46$ se obtiene $n=10,$ y, en efecto, $10+11+12+13=46.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of three consecutive integers is divisible by $3,$ so it cannot be $46.$ Four consecutive integers beginning with $n$ have sum $4n+6.$ Setting $4n+6=46$ gives $n=10,$ and indeed $10+11+12+13=46.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

El coeficiente de $x^7$ en el desarrollo de $\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8$ es:

The coefficient of $x^7$ in the expansion of $\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8$ is:

$56$

$-56$

$14$

$-14$

$0$

Respuesta: D

Conceptos:teorema del binomio exponente

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

En un término que usa $k$ factores de $-\frac{2}{x},$ determina el exponente de $x$

In a term using $k$ copies of $-\frac{2}{x},$ determine the exponent of $x$

Pista grande:

Resuelve $16-3k=7$ y después calcula ese coeficiente binomial

Solve $16-3k=7$ and then compute that binomial coefficient

Solución:

El término que usa $k$ factores de $-\frac{2}{x}$ tiene exponente $2(8-k)-k=16-3k.$ Para obtener $x^7,$ necesitamos $k=3.$ Su coeficiente es $\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The term using $k$ factors of $-\frac{2}{x}$ has exponent $2(8-k)-k=16-3k.$ To obtain $x^7,$ we need $k=3.$ Its coefficient is $\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14.$

Thus, the correct answer is D.

21.

La diagonal del cuadrado I es $a+b.$ El perímetro del cuadrado II, cuya área es el doble de la del cuadrado I, es:

The diagonal of square I is $a+b.$ The perimeter of square II with twice the area of I is:

$(a+b)^2$

$\sqrt2(a+b)^2$

$2(a+b)$

$\sqrt8(a+b)$

$4(a+b)$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado (geometría)diagonal escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expresa el área del cuadrado I en función de su diagonal

Express the area of square I in terms of its diagonal

Pista grande:

El área del cuadrado II es $(a+b)^2,$ así que halla la longitud de su lado

Square II’s area is $(a+b)^2,$ so find its side length

Solución:

Un cuadrado con diagonal $a+b$ tiene área $\frac{(a+b)^2}{2}.$ Por tanto, el cuadrado II tiene área $(a+b)^2,$ así que su lado es $a+b$ y su perímetro es $4(a+b).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A square with diagonal $a+b$ has area $\frac{(a+b)^2}{2}.$ Square II therefore has area $(a+b)^2,$ so its side is $a+b$ and its perimeter is $4(a+b).$

Thus, the correct answer is E.

22.

La igualdad $(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,$ donde $m$ y $n$ son constantes no nulas y distintas, se satisface con $x=am+bn$ , donde:

The equality $(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,$ where $m$ and $n$ are unequal non-zero constants, is satisfied by $x=am+bn$ where:

$a=0,$ y $b$ tiene un único valor no nulo

$a=0,$ $b$ has a unique non-zero value

$a=0,$ y $b$ tiene dos valores no nulos

$a=0,$ $b$ has two non-zero values

$b=0,$ y $a$ tiene un único valor no nulo

$b=0,$ $a$ has a unique non-zero value

$b=0,$ y $a$ tiene dos valores no nulos

$b=0,$ $a$ has two non-zero values

$a$ y $b$ tienen cada uno un único valor no nulo

$a$ and $b$ each have a unique non-zero value

Respuesta: A

Conceptos:diferencia de cuadrados ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de los dos cuadrados

Factor the difference of the two squares

Pista grande:

Cancela el factor no nulo $m-n$ y despeja $x$

Cancel the nonzero factor $m-n$ and solve for $x$

Solución:

Al factorizar y usar $m\ne n$ se obtiene $\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}$ Por tanto, $2x+m+n=m-n,$ así que $x=-n.$ Luego $a=0$ y $b=-1,$ un único valor no nulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring and using $m\ne n$ gives $\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}$ Hence $2x+m+n=m-n,$ so $x=-n.$ Thus $a=0$ and $b=-1,$ a unique nonzero value.

Therefore, the correct answer is A.

23.

El radio $R$ de una caja cilíndrica mide $8$ pulgadas y la altura $H$ mide $3$ pulgadas. El volumen $V=\pi R^2H$ debe aumentar en la misma cantidad positiva fija cuando $R$ aumenta $x$ pulgadas que cuando $H$ aumenta $x$ pulgadas. Esta condición se satisface con:

The radius $R$ of a cylindrical box is $8$ inches, the height $H$ is $3$ inches. The volume $V=\pi R^2H$ is to be increased by the same fixed positive amount when $R$ is increased by $x$ inches as when $H$ is increased by $x$ inches. This condition is satisfied by:

ningún valor real de $x$

no real value of $x$

un valor entero de $x$

one integral value of $x$

un valor racional, pero no entero, de $x$

one rational, but not integral, value of $x$

un valor irracional de $x$

one irrational value of $x$

dos valores reales de $x$

two real values of $x$

Respuesta: C

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe el aumento de volumen una vez con radio $8+x$ y otra con altura $3+x$

Write the volume increase once with radius $8+x$ and once with height $3+x$

Pista grande:

Iguala los aumentos y descarta la solución no positiva

Equate the increases and discard the nonpositive solution

Solución:

Al aumentar el radio, el volumen cambia en $3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),$ mientras que al aumentar la altura cambia en $64\pi x.$ Al igualar estas expresiones se obtiene $48x+3x^2=64x,$ así que $x=0$ o $x=\frac{16}{3}.$ El aumento debe ser positivo, por lo que queda un solo valor racional no entero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Increasing the radius changes the volume by $3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),$ while increasing the height changes it by $64\pi x.$ Equating these gives $48x+3x^2=64x,$ so $x=0$ or $x=\frac{16}{3}.$ The increase must be positive, leaving one rational but nonintegral value.

Thus, the correct answer is C.

24.

Si $\log_{2x}216=x,$ donde $x$ es real, entonces $x$ es:

If $\log_{2x}216=x,$ where $x$ is real, then $x$ is:

un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube integer

un racional no entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube, non-integral rational number

un número irracional

an irrational number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo exponente función

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica en $(2x)^x=216$

Convert the logarithmic equation to $(2x)^x=216$

Pista grande:

Usa $216=6^3$ para reconocer una solución real

Use $216=6^3$ to recognize a real solution

Solución:

La ecuación equivale a $(2x)^x=216.$ Como $216=6^3,$ $x=3$ satisface la ecuación. Para ver que es la única solución real admisible, observa que la base exige $x>0$ y $2x\ne1;$ en $0\lt x\lt\frac{1}{2},$ se tiene $x\ln(2x)\lt0,$ mientras que para $x>\frac{1}{2}$ la función $x\ln(2x)$ es estrictamente creciente. Así, $x=3,$ un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $(2x)^x=216.$ Since $216=6^3,$ $x=3$ satisfies the equation. To see it is the only admissible real solution, note that the base requires $x>0$ and $2x\ne1;$ on $0\lt x\lt\frac{1}{2},$ $x\ln(2x)\lt0,$ while for $x>\frac{1}{2}$ the function $x\ln(2x)$ is strictly increasing. Thus $x=3,$ a non-square, non-cube integer.

Therefore, the correct answer is A.

25.

Sean $m$ y $n$ dos números impares cualesquiera, con $n$ menor que $m.$ El mayor entero que divide todos los números posibles de la forma $m^2-n^2$ es:

Let $m$ and $n$ be any two odd numbers, with $n$ less than $m.$ The largest integer which divides all possible numbers of the form $m^2-n^2$ is:

$2$

$4$

$6$

$8$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad paridad diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza $m^2-n^2$ en dos factores pares

Factor $m^2-n^2$ into two even factors

Pista grande:

Entre $m-n$ y $m+n,$ uno es divisible por $4$ ; después prueba un par pequeño

Among $m-n$ and $m+n,$ one is divisible by $4$ ; then test a small pair

Solución:

Tenemos $m^2-n^2=(m-n)(m+n).$ Ambos factores son pares y uno es divisible por $4,$ así que toda diferencia de este tipo es divisible por $8.$ Al tomar $m=3,n=1$ se obtiene $m^2-n^2=8,$ lo que demuestra que ningún entero mayor la divide siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $m^2-n^2=(m-n)(m+n).$ Both factors are even, and one is divisible by $4,$ so every such difference is divisible by $8.$ Taking $m=3,n=1$ gives $m^2-n^2=8,$ proving that no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is D.

26.

Halla el conjunto de valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $\left|\frac{5-x}{3}\right|\lt2.$ [El símbolo $|a|$ significa $+a$ si $a$ es positivo, $-a$ si $a$ es negativo y $0$ si $a$ es cero. La notación $1\lt a\lt2$ significa que $a$ puede tomar cualquier valor entre $1$ y $2,$ sin incluir $1$ ni $2.$ ]

Find the set of $x$ -values satisfying the inequality $\left|\frac{5-x}{3}\right|\lt2.$ [The symbol $|a|$ means $+a$ if $a$ is positive, $-a$ if $a$ is negative, $0$ if $a$ is zero. The notation $1\lt a\lt2$ means that $a$ can have any value between $1$ and $2,$ excluding $1$ and $2.$ ]

$1\lt x\lt11$

$-1\lt x\lt11$

$x\lt11$

x>11

$|x|\lt6$

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Multiplica la desigualdad por $3$

Multiply the inequality by $3$

Pista grande:

Reescribe $|5-x|\lt6$ como una desigualdad compuesta

Rewrite $|5-x|\lt6$ as a compound inequality

Solución:

La desigualdad equivale a $|5-x|\lt6,$ así que $-6\lt5-x\lt6.$ Al restar $5$ e invertir los signos según sea necesario se obtiene $-1\lt x\lt11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The inequality is equivalent to $|5-x|\lt6,$ so $-6\lt5-x\lt6.$ Subtracting $5$ and reversing signs as needed gives $-1\lt x\lt11.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

Sea $S$ la suma de los ángulos interiores de un polígono $P$ , en el cual cada ángulo interior es $7\dfrac12$ veces el ángulo exterior en el mismo vértice. Entonces:

Let $S$ be the sum of the interior angles of a polygon $P$ for which each interior angle is $7\dfrac12$ times the exterior angle at the same vertex. Then:

$S=2660^\circ$ y $P$ puede ser regular

$S=2660^\circ$ and $P$ may be regular

$S=2660^\circ$ y $P$ no es regular

$S=2660^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ y $P$ es regular

$S=2700^\circ$ and $P$ is regular

$S=2700^\circ$ y $P$ no es regular

$S=2700^\circ$ and $P$ is not regular

$S=2700^\circ$ y $P$ puede ser regular o no serlo

$S=2700^\circ$ and $P$ may or may not be regular

Respuesta: E

Conceptos:suma de ángulos polígono equiángulo polígono regular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un ángulo interior y su ángulo exterior correspondiente suman $180^\circ$

An interior angle and its corresponding exterior angle sum to $180^\circ$

Pista grande:

La condición determina todos los ángulos, pero no dice nada sobre las longitudes de los lados

The condition fixes every angle but says nothing about the side lengths

Solución:

Si un ángulo exterior es $e,$ entonces $e+\frac{15}{2}e=180^\circ,$ así que $e=\frac{360^\circ}{17}.$ Como los ángulos exteriores suman $360^\circ,$ el polígono tiene $17$ vértices y $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.$ Todos sus ángulos son iguales, pero sus lados no tienen que serlo, por lo que puede ser regular o no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If an exterior angle is $e,$ then $e+\frac{15}{2}e=180^\circ,$ so $e=\frac{360^\circ}{17}.$ Since the exterior angles total $360^\circ,$ the polygon has $17$ vertices and $S=(17-2)180^\circ=2700^\circ.$ All its angles are equal, but its sides need not be equal, so it may or may not be regular.

Thus, the correct answer is E.

28.

La ecuación $x-\frac7{x-3}=3-\frac7{x-3}$ tiene:

The equation $x-\frac7{x-3}=3-\frac7{x-3}$ has:

infinitas raíces enteras

infinitely many integral roots

ninguna raíz

no root

una raíz entera

one integral root

dos raíces enteras iguales

two equal integral roots

dos raíces no enteras iguales

two equal non-integral roots

Respuesta: B

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Los términos fraccionarios idénticos se cancelan donde la ecuación está definida

The identical fractional terms cancel wherever the equation is defined

Pista grande:

Comprueba si el valor resultante pertenece al dominio original

Check whether the resulting value lies in the original domain

Solución:

Para $x\ne3,$ al restar las fracciones idénticas de ambos lados queda $x=3.$ Pero $x=3$ hace cero los denominadores originales, así que no pertenece al dominio. La ecuación no tiene raíces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $x\ne3,$ subtracting the identical fractions from both sides leaves $x=3.$ But $x=3$ makes the original denominators zero, so it is not in the domain. The equation has no root.

Therefore, the correct answer is B.

29.

Cinco veces el dinero de $A$ , más el dinero de $B$ , supera $\$51.00.$ Tres veces el dinero de $A$ , menos el dinero de $B$ , es $\$21.00.$ Si $a$ representa el dinero de $A$ en dólares y $b$ representa el dinero de $B$ en dólares, entonces:

Five times $A$ ’s money added to $B$ ’s money is more than $\$51.00.$ Three times $A$ ’s money minus $B$ ’s money is $\$21.00.$ If $a$ represents $A$ ’s money in dollars and $b$ represents $B$ ’s money in dollars, then:

a>9, b>6

a>9, $b\lt6$

a>9, $b=6$

a>9, pero no podemos imponer cotas a $b$

a>9, but we can put no bounds on $b$

$2a=3b$

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad sistema de ecuaciones dinero

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Usa $3a-b=21$ para expresar $b$ en función de $a$

Use $3a-b=21$ to express $b$ in terms of $a$

Pista grande:

Sustituye en $5a+b>51$

Substitute into $5a+b>51$

Solución:

De $3a-b=21,$ se obtiene $b=3a-21.$ Al sustituir en la desigualdad resulta $5a+3a-21>51,$ así que $a>9.$ De aquí se sigue que $b=3a-21>6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $3a-b=21,$ we have $b=3a-21.$ Substitution into the inequality gives $5a+3a-21>51,$ so $a>9.$ It follows that $b=3a-21>6.$

Thus, the correct answer is A.

30.

Dada la recta $3x+5y=15$ , se considera un punto de ella equidistante de los ejes coordenados. Un punto así existe en:

Given the line $3x+5y=15$ and a point on this line equidistant from the coordinate axes. Such a point exists in:

ningún cuadrante

none of the quadrants

solo el cuadrante $\mathrm{I}$

quadrant $\mathrm{I}$ only

solo los cuadrantes $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$

quadrants $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ only

solo los cuadrantes $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ $\mathrm{III}$

quadrants $\mathrm{I},$ $\mathrm{II},$ $\mathrm{III}$ only

cada uno de los cuadrantes

each of the quadrants

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica valor absoluto sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Un punto equidistante de los ejes satisface $|x|=|y|$

A point equidistant from the axes satisfies $|x|=|y|$

Pista grande:

Interseca la recta dada con $y=x$ y con $y=-x$

Intersect the given line with both $y=x$ and $y=-x$

Solución:

Para $y=x,$ la recta da $8x=15,$ lo que produce un punto en el cuadrante I. Para $y=-x,$ da $-2x=15,$ de modo que $x\lt0$ y $y>0,$ lo que produce un punto en el cuadrante II. No hay otras posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $y=x,$ the line gives $8x=15,$ producing a point in quadrant I. For $y=-x,$ it gives $-2x=15,$ so $x\lt0$ and $y>0,$ producing a point in quadrant II. There are no other possibilities.

Therefore, the correct answer is C.

31.

Para que $x^2+2x+5$ sea un factor de $x^4+px^2+q,$ los valores de $p$ y $q$ deben ser, respectivamente:

For $x^2+2x+5$ to be a factor of $x^4+px^2+q,$ the values of $p$ and $q$ must be, respectively:

$-2,$ $5$

$5,$ $25$

$10,$ $20$

$6,$ $25$

$14,$ $25$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio manipulación algebraica factor

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Trabaja módulo $x^2+2x+5,$ de modo que $x^2=-2x-5$

Work modulo $x^2+2x+5,$ so $x^2=-2x-5$

Pista grande:

Reduce $x^4$ a una expresión lineal y haz cero los dos coeficientes del residuo

Reduce $x^4$ to a linear expression and make both remainder coefficients zero

Solución:

Módulo $x^2+2x+5,$ tenemos $x^2=-2x-5.$ Entonces $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.$ Por tanto, $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}$ Ambos coeficientes se anulan cuando $p=6$ y $q=25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Modulo $x^2+2x+5,$ we have $x^2=-2x-5.$ Then $x^3=10-x,\qquad x^4=12x+5.$ Thus $\begin{gathered} x^4+px^2+q\\ {}\equiv(12-2p)x+(5-5p+q). \end{gathered}$ Both coefficients vanish when $p=6$ and $q=25.$

Therefore, the correct answer is D.

32.

En esta figura, el centro del círculo es $O.$ $\overline{AB}\perp\overline{BC},$ $ADOE$ es una recta, $\overline{AP}=\overline{AD},$ y la longitud de $\overline{AB}$ es el doble del radio. Entonces:

In this figure the center of the circle is $O.$ $\overline{AB}\perp\overline{BC},$ $ADOE$ is a straight line, $\overline{AP}=\overline{AD},$ and $\overline{AB}$ has a length twice the radius. Then:

$\overline{AP}^{\,2}=\overline{PB}\cdot\overline{AB}$

$\overline{AP}\cdot\overline{DO}=\overline{PB}\cdot\overline{AD}$

$\overline{AB}^{\,2}=\overline{AD}\cdot\overline{DE}$

$\overline{AB}\cdot\overline{AD}=\overline{OB}\cdot\overline{AO}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:recta tangente potencia de un punto círculo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea el radio $r$ y expresa $AD$ en función de $AO$ y $r$

Let the radius be $r$ and write $AD$ in terms of $AO$ and $r$

Pista grande:

Usa la relación de tangencia $AB^2=AD\cdot AE$ junto con $AB=2r$

Use the tangent relation $AB^2=AD\cdot AE$ together with $AB=2r$

Solución:

Sea el radio $r.$ Como $AB$ es tangente en $B,$ $AB^2=AD\cdot AE.$ Escribe $AD=t.$ Como la secante pasa por el centro, $AE=t+2r,$ mientras que $AB=2r.$ Por tanto, $t(t+2r)=4r^2.$ Además, $AP=AD=t$ y $PB=AB-AP=2r-t.$ La ecuación mostrada se reordena como $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.$ Por lo tanto, $AP^2=PB\cdot AB.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the radius be $r.$ Since $AB$ is tangent at $B,$ $AB^2=AD\cdot AE.$ Write $AD=t.$ Because the secant passes through the center, $AE=t+2r,$ while $AB=2r.$ Hence $t(t+2r)=4r^2.$ Also $AP=AD=t$ and $PB=AB-AP=2r-t.$ The displayed equation rearranges to $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.$ Therefore $AP^2=PB\cdot AB.$

Thus, the correct answer is A.

33.

Se da una sucesión de $58$ términos; cada término tiene la forma $P+n$ , donde $P$ representa el producto $2\cdot3\cdot5\cdots61$ de todos los números primos menores o iguales que $61,$ y $n$ toma sucesivamente los valores $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $59.$ Sea $N$ el número de primos que aparecen en esta sucesión. Entonces $N$ es:

You are given a sequence of $58$ terms; each term has the form $P+n$ where $P$ stands for the product $2\cdot3\cdot5\cdots61$ of all prime numbers less than or equal to $61,$ and $n$ takes, successively, the values $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $59.$ Let $N$ be the number of primes appearing in this sequence. Then $N$ is:

$0$

$16$

$17$

$57$

$58$

Respuesta: A

Conceptos:primo divisibilidad factorización en primos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Todo $n$ desde $2$ hasta $59$ tiene un divisor primo no mayor que $59$

Every $n$ from $2$ through $59$ has a prime divisor at most $59$

Pista grande:

Ese mismo divisor primo divide tanto a $P$ como a $n$

That same prime divisor divides both $P$ and $n$

Solución:

Para cada $n$ del intervalo dado, elige un divisor primo $p$ de $n.$ Como $p\le59,$ es uno de los factores de $P.$ Por tanto, $p$ divide a $P+n.$ Además, $P+n>p,$ así que $P+n$ es compuesto. Ningún término es primo y $N=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each $n$ in the given range, choose a prime divisor $p$ of $n.$ Since $p\le59,$ it is one of the factors of $P.$ Therefore $p$ divides $P+n.$ Moreover $P+n>p,$ so $P+n$ is composite. No term is prime, and $N=0.$

Thus, the correct answer is A.

34.

Dos nadadores, situados en extremos opuestos de una piscina de $90$ pies, empiezan a nadar a lo largo de ella, uno a $3$ pies por segundo y el otro a $2$ pies por segundo. Nadan de un lado a otro durante $12$ minutos. Suponiendo que no pierden tiempo al dar la vuelta, halla el número de veces que se cruzan.

Two swimmers, at opposite ends of a $90$ -foot pool, start to swim the length of the pool, one at the rate of $3$ feet per second, the other at $2$ feet per second. They swim back and forth for $12$ minutes. Allowing no loss of time at the turns, find the number of times they pass each other.

$24$

$21$

$20$

$19$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:velocidad relativa reflexión (geometría)mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Refleja la piscina cada vez que un nadador da la vuelta para que ambas trayectorias se vuelvan rectas

Reflect the pool each time a swimmer turns so both paths become straight

Pista grande:

El patrón conjunto de posiciones se repite cada $180$ segundos; examina un ciclo completo, incluidas las coincidencias en los extremos

The joint position pattern repeats every $180$ seconds; inspect one full cycle, including endpoint coincidences

Solución:

La posición del nadador más rápido se repite cada $60$ segundos y la del más lento, cada $90$ segundos. Por tanto, el patrón conjunto se repite cada $180$ segundos. Durante un ciclo, sus posiciones coinciden en $t=18,54,90,126,162$ segundos. La interpretación de la respuesta oficial cuenta como encuentro el giro simultáneo en el extremo cuando $t=90$ . Así, se cuentan $5$ encuentros por ciclo y hay $4$ ciclos en $12$ minutos, lo que da $5\cdot4=20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The faster swimmer’s position repeats every $60$ seconds, and the slower swimmer’s position repeats every $90$ seconds. Thus their joint position pattern repeats every $180$ seconds. During one such cycle, their positions coincide at $t=18,54,90,126,162$ seconds. The keyed interpretation counts the simultaneous turn at the endpoint when $t=90$ as one of these encounters. Thus there are $5$ counted encounters per cycle and $4$ cycles in $12$ minutes, giving $5\cdot4=20.$

Therefore, the correct answer is C.

35.

Desde un punto $P$ exterior a un círculo de circunferencia $10$ unidades se traza una tangente. También desde $P$ se traza una secante que divide el círculo en arcos desiguales de longitudes $m$ y $n.$ Se sabe que $t,$ la longitud de la tangente, es la media proporcional entre $m$ y $n.$ Si $m$ y $t$ son enteros, entonces $t$ puede tomar el siguiente número de valores:

From point $P$ outside a circle, with a circumference of $10$ units, a tangent is drawn. Also from $P$ a secant is drawn dividing the circle into unequal arcs with lengths $m$ and $n.$ It is found that $t,$ the length of the tangent, is the mean proportional between $m$ and $n.$ If $m$ and $t$ are integers, then $t$ may have the following number of values:

cero

zero

uno

one

dos

two

tres

three

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción cuadrado perfecto arco

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Usa $m+n=10$ y $t^2=mn$

Use $m+n=10$ and $t^2=mn$

Pista grande:

Prueba los valores enteros $m=1,2,\ldots,9,$ excluyendo los arcos iguales

Test the integer values $m=1,2,\ldots,9,$ excluding equal arcs

Solución:

Las longitudes de los arcos satisfacen $m+n=10,$ mientras que la condición de media proporcional da $t^2=mn=m(10-m).$ Para valores enteros de $m$ desde $1$ hasta $9,$ los productos posibles, salvo simetría, son $9,$ $16,$ $21,$ $24$ y $25.$ El último corresponde a arcos iguales $m=n=5$ y se excluye. Los cuadrados restantes dan $t=3$ y $t=4,$ dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The arc lengths satisfy $m+n=10,$ while the mean-proportional condition gives $t^2=mn=m(10-m).$ For integral $m$ from $1$ through $9,$ the possible products, up to symmetry, are $9,$ $16,$ $21,$ $24,$ and $25.$ The last comes from equal arcs $m=n=5$ and is excluded. The remaining squares give $t=3$ and $t=4,$ two values.

Thus, the correct answer is C.

36.

Sean $s_1,$ $s_2,$ $s_3$ las sumas respectivas de $n,$ $2n,$ $3n$ términos de la misma progresión aritmética, con $a$ como primer término y $d$ como diferencia común. Sea $R=s_3-s_2-s_1.$ Entonces $R$ depende de:

Let $s_1,$ $s_2,$ $s_3$ be the respective sums of $n,$ $2n,$ $3n$ terms of the same arithmetic progression with $a$ as the first term and $d$ as the common difference. Let $R=s_3-s_2-s_1.$ Then $R$ is dependent on:

$a$ y $d$

$a$ and $d$

$d$ y $n$

$d$ and $n$

$a$ y $n$

$a$ and $n$

$a,$ $d,$ y $n$

$a,$ $d,$ and $n$

ni $a$ , ni $d$ , ni $n$

neither $a$ nor $d$ nor $n$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa $S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)$

Use $S_k=\dfrac{k}{2}(2a+(k-1)d)$

Pista grande:

Sustituye $k=n,2n,3n$ y agrupa por separado los términos con $a$ y con $d$

Substitute $k=n,2n,3n$ and collect the $a$ -terms and $d$ -terms separately

Solución:

Usando la fórmula de la suma aritmética, $s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr).$ En $s_3-s_2-s_1,$ el coeficiente de $a$ es $3n-2n-n=0.$ Al simplificar los términos restantes se obtiene $R=2n^2d.$ Así, $R$ depende de $d$ y $n,$ pero no de $a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the arithmetic-series formula, $s_j=\frac{jn}{2}\bigl(2a+(jn-1)d\bigr).$ In $s_3-s_2-s_1,$ the coefficient of $a$ is $3n-2n-n=0.$ Simplifying the remaining terms gives $R=2n^2d.$ Thus $R$ depends on $d$ and $n,$ but not on $a.$

Therefore, the correct answer is B.

37.

La base de un triángulo tiene longitud $b,$ y su altura tiene longitud $h.$ Se inscribe en el triángulo un rectángulo de altura $x$ , con la base del rectángulo sobre la base del triángulo. El área del rectángulo es:

The base of a triangle is of length $b,$ and the altitude is of length $h.$ A rectangle of height $x$ is inscribed in the triangle with the base of the rectangle in the base of the triangle. The area of the rectangle is:

$\dfrac{bx}{h}(h-x)$

$\dfrac{hx}{b}(b-x)$

$\dfrac{bx}{h}(h-2x)$

$x(b-x)$

$x(h-x)$

Respuesta: A

Conceptos:semejanza rectángulo área

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

A la altura $x,$ usa semejanza para hallar el ancho horizontal del triángulo

At height $x,$ use similarity to find the horizontal width of the triangle

Pista grande:

El ancho disponible es $b(1-\frac{x}{h})$ ; multiplícalo por la altura del rectángulo

The available width is $b(1-\frac{x}{h})$ ; multiply it by the rectangle’s height

Solución:

Por semejanza, la sección paralela a la base a la altura $x$ tiene ancho $b\left(1-\frac{x}{h}\right)=\frac{b(h-x)}{h}.$ Al multiplicar por la altura $x$ del rectángulo se obtiene $\frac{bx}{h}(h-x).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The cross-section parallel to the base at height $x$ has width $b\left(1-\frac{x}{h}\right)=\frac{b(h-x)}{h}$ by similarity. Multiplying by the rectangle’s height $x$ gives $\frac{bx}{h}(h-x).$

Thus, the correct answer is A.

38.

En este diagrama, $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ son los lados iguales de un triángulo isósceles $ABC,$ en el cual está inscrito el triángulo equilátero $DEF.$ Denota el ángulo $BFD$ por $a,$ el ángulo $ADE$ por $b,$ y el ángulo $FEC$ por $c.$ Entonces:

In this diagram $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ are the equal sides of an isosceles triangle $ABC,$ in which is inscribed equilateral triangle $DEF.$ Designate angle $BFD$ by $a,$ angle $ADE$ by $b,$ and angle $FEC$ by $c.$ Then:

$b=\dfrac{a+c}{2}$

$b=\dfrac{a-c}{2}$

$a=\dfrac{b-c}{2}$

$a=\dfrac{b+c}{2}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea $\theta$ cada ángulo de la base de $ABC$

Let each base angle of $ABC$ be $\theta$

Pista grande:

Compara las direcciones de $DF,$ $DE$ y $EF$ usando los ángulos de $60^\circ$ del triángulo equilátero

Compare the directions of $DF,$ $DE,$ and $EF$ using the $60^\circ$ angles of the equilateral triangle

Solución:

Sea cada ángulo de la base de $ABC$ igual a $\theta.$ Medida desde la dirección de $BC,$ la recta $FD$ tiene dirección $180^\circ-a,$ así que la condición equilátera hace que $DE$ tenga dirección $60^\circ-a.$ En $D,$ $b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a.$ De manera análoga, al perseguir ángulos en $E$ se obtiene $c=60^\circ+a-\theta.$ Al sumar estas ecuaciones resulta $b+c=2a.$

Por lo tanto, $a=\frac{b+c}{2},$ y la respuesta correcta es D.

Let each base angle of $ABC$ be $\theta.$ Measured from the direction $BC,$ the line $FD$ has direction $180^\circ-a,$ so the equilateral condition makes $DE$ have direction $60^\circ-a.$ At $D,$ $b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a.$ Similarly, angle chasing at $E$ gives $c=60^\circ+a-\theta.$ Adding these equations yields $b+c=2a.$

Therefore $a=\frac{b+c}{2},$ and the correct answer is D.

39.

Para satisfacer la ecuación $\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},$ $a$ y $b$ deben ser:

To satisfy the equation $\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a+b},$ $a$ and $b$ must be:

ambos racionales

both rational

ambos reales, pero no racionales

both real but not rational

ambos no reales

both not real

uno real y otro no real

one real, one not real

uno real y otro no real, o ambos no reales

one real, one not real or both not real

Respuesta: E

Conceptos:número complejo cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Después de observar que los denominadores deben ser no nulos, sea $t=\frac{b}{a}$

Let $t=\frac{b}{a}$ after noting that the denominators must be nonzero

Pista grande:

La cuadrática resultante $t^2+t+1=0$ tiene discriminante negativo

The resulting quadratic $t^2+t+1=0$ has negative discriminant

Solución:

Los denominadores exigen $a\ne0$ y $a+b\ne0.$ Al tomar $t=\frac{b}{a}$ y multiplicar en cruz se obtiene $(1+t)^2=t,$ o bien $t^2+t+1=0.$ Su discriminante es $-3,$ así que $t$ no es real. Por tanto, $a$ y $b$ no pueden ser ambos reales. Según la escala compleja no nula elegida para $a,$ uno puede ser real y el otro no real, o ambos pueden ser no reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The denominators require $a\ne0$ and $a+b\ne0.$ Setting $t=\frac{b}{a}$ and cross-multiplying gives $(1+t)^2=t,$ or $t^2+t+1=0.$ Its discriminant is $-3,$ so $t$ is not real. Therefore $a$ and $b$ cannot both be real. Depending on the nonzero complex scale chosen for $a,$ one can be real and the other nonreal, or both can be nonreal.

Thus, the correct answer is E.

40.

Dado el triángulo rectángulo $ABC$ con catetos $\overline{BC}=3,$ $\overline{AC}=4.$ Halla la longitud de la trisectriz angular más corta desde $C$ hasta la hipotenusa:

Given right triangle $ABC$ with legs $\overline{BC}=3,$ $\overline{AC}=4.$ Find the length of the shorter angle trisector from $C$ to the hypotenuse:

$\dfrac{32\sqrt3-24}{13}$

$\dfrac{12\sqrt3-9}{13}$

$6\sqrt3-8$

$\dfrac{5\sqrt{10}}6$

$\dfrac{25}{12}$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Coloca $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4)$

Place $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4)$

Pista grande:

Las dos semirrectas trisectoras forman ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$ con $CB$ ; interseca cada una con $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

The two trisector rays make angles $30^\circ$ and $60^\circ$ with $CB$ ; intersect each with $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

Solución:

Coloca $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4).$ La hipotenusa tiene ecuación $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1.$ La semirrecta trisectora de $30^\circ$ es $y=\frac{x}{\sqrt3}.$ Al sustituir se obtiene $x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}.$ Su longitud es $\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3},$ y por tanto $\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}.$ La semirrecta de $60^\circ$ da la trisectriz más larga.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4).$ The hypotenuse has equation $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1.$ The $30^\circ$ trisector ray is $y=\frac{x}{\sqrt3}.$ Substitution gives $x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}.$ Its length is $\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3},$ hence $\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}.$ The $60^\circ$ ray gives the longer trisector.

Thus, the correct answer is A.

Problemas del 1960 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande: