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1960 AMC 12 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1960 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1960 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

La fracción a2+b2−c2+2aba2+c2−b2+2ac \frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac} es, con restricciones adecuadas sobre los valores de a,a, b,b, y cc:

The fraction a2+b2−c2+2aba2+c2−b2+2ac \frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2+c^2-b^2+2ac} is (with suitable restrictions on the values of a,a, b,b, and cc):

irreducible

reducible a −1-1

reducible to −1-1

reducible a un polinomio de tres términos

reducible to a polynomial of three terms

reducible a a−b+ca+b−c\dfrac{a-b+c}{a+b-c}

reducible to a−b+ca+b−c\dfrac{a-b+c}{a+b-c}

reducible a a+b−ca−b+c\dfrac{a+b-c}{a-b+c}

reducible to a+b−ca−b+c\dfrac{a+b-c}{a-b+c}

Respuesta: E
Conceptos:factorizacióndiferencia de cuadradosmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:

Reescribe cada expresión cuadrática como una diferencia de cuadrados

Rewrite each quadratic expression as a difference of squares

Pista grande:

El numerador y el denominador comparten el factor a+b+ca+b+c

The numerator and denominator share a factor a+b+ca+b+c

Solución:

Al factorizar se obtiene a2+b2−c2+2ab=(a+b−c)(a+b+c),a2+c2−b2+2ac=(a−b+c)(a+b+c). \begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c). \end{gathered} Al cancelar el factor común, bajo las restricciones adecuadas indicadas, queda a+b−ca−b+c. \frac{a+b-c}{a-b+c}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives a2+b2−c2+2ab=(a+b−c)(a+b+c),a2+c2−b2+2ac=(a−b+c)(a+b+c). \begin{gathered} a^2+b^2-c^2+2ab\\ {}=(a+b-c)(a+b+c),\\ a^2+c^2-b^2+2ac\\ {}=(a-b+c)(a+b+c). \end{gathered} Cancelling the common factor, under the stated suitable restrictions, leaves a+b−ca−b+c. \frac{a+b-c}{a-b+c}.

Thus, the correct answer is E.

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