Question

El producto $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ es igual a

The product $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ equals

$\frac5{12}$

$\frac12$

$\frac{11}{20}$

$\frac23$

$\frac7{10}$

Respuesta: C

Conceptos:telescoping product diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Factoriza $1-\frac{1}{n^2}$ como una diferencia de cuadrados

Factor $1-\frac{1}{n^2}$ as a difference of squares

Pista grande:

Separa el producto en factores $\frac{n-1}{n}$ y $\frac{n+1}{n}$

Separate the product into factors $\frac{n-1}{n}$ and $\frac{n+1}{n}$

Solución:

Para cada $n,$ $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$ Por tanto, el producto se telescopa: $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each $n,$ $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$ Therefore the product telescopes: $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 Problema 9

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años