Question

El triángulo $PAB$ y el cuadrado $ABCD$ están en planos perpendiculares. Dado que $PA=3,$ $PB=4,$ y $AB=5,$ ¿cuánto mide $PD$ ?

Triangle $PAB$ and square $ABCD$ are in perpendicular planes. Given that $PA=3,$ $PB=4,$ and $AB=5,$ what is $PD?$

$5$

$\sqrt{34}$

$\sqrt{41}$

$2\sqrt{13}$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:three-dimensional geometry Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Primero identifica el ángulo recto en el triángulo $3$ - $4$ - $5$ llamado $PAB$

First identify the right angle in the $3$ - $4$ - $5$ triangle $PAB$

Pista grande:

Una recta de uno de los planos perpendicular a la intersección de los planos es perpendicular al otro plano

A line in one plane perpendicular to the planes’ intersection is perpendicular to the other plane

Solución:

Como $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2,$ el triángulo $PAB$ es rectángulo en $P.$ En el cuadrado $ABCD,$ $AD=5$ y $AD\perp AB.$ Como los dos planos son perpendiculares a lo largo de $AB,$ $AD$ es perpendicular al plano de $PAB$ y, por tanto, a $AP.$ Así, $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34.$ La respuesta correcta es B.

Since $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2,$ triangle $PAB$ is right at $P.$ In square $ABCD,$ $AD=5$ and $AD\perp AB.$ Because the two planes are perpendicular along $AB,$ $AD$ is perpendicular to the plane of $PAB,$ and hence to $AP.$ Thus $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34.$ The correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años