Question

Sean $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ y $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ progresiones aritméticas tales que $a_1=25,$ $b_1=75,$ y $a_{100}+b_{100}=100.$ Halla la suma de los primeros cien términos de la progresión $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ and $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ be arithmetic progressions such that $a_1=25,$ $b_1=75,$ and $a_{100}+b_{100}=100.$ Find the sum of the first one hundred terms of the progression $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

$0$

$100$

$10{,}000$

$505{,}000$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

La suma término a término de dos progresiones aritméticas también es aritmética

The termwise sum of two arithmetic progressions is arithmetic

Pista grande:

Su primer término y su centésimo término son ambos $100$

Its first and hundredth terms are both $100$

Solución:

Sea $c_i=a_i+b_i.$ Esta es una progresión aritmética con $c_1=25+75=100$ y $c_{100}=100.$ Como los términos de los extremos son iguales, la diferencia común es $0,$ así que los $100$ términos son iguales a $100.$ Su suma es $10{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $c_i=a_i+b_i.$ This is an arithmetic progression with $c_1=25+75=100$ and $c_{100}=100.$ Equal endpoint terms force its common difference to be $0,$ so all $100$ terms equal $100.$ Their sum is $10{,}000.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 Problema 9

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años