Question

El triángulo $ABC$ es equilátero con longitud de lado $6.$ Supongamos que $O$ es el centro del círculo inscrito de este triángulo. ¿Cuál es el área del círculo que pasa por $A,$ $O,$ y $C$ ?

Triangle $ABC$ is equilateral with side length $6.$ Suppose that $O$ is the center of the inscribed circle of this triangle. What is the area of the circle passing through $A,$ $O,$ and $C?$

$9\pi$

$12\pi$

$18\pi$

$24\pi$

$27\pi$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ley de los senos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

En un triángulo equilátero el incentro coincide con el circuncentro.

In an equilateral triangle the incenter coincides with the circumcenter

Pista grande:

En el triángulo $AOC,$ el ángulo $AOC = 120^\circ$ y $AC = 6$ ; aplica la ley de los senos

In triangle $AOC,$ angle $AOC = 120^\circ$ and $AC = 6$ ; apply the law of sines

Solución:

Para un triángulo equilátero, $O$ es también el circuncentro, así que $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$ El ángulo central $\angle AOC = 120^\circ.$

En el triángulo $AOC,$ el lado $AC = 6$ es opuesto al ángulo de $120^\circ$ , así que el circunradio $R'$ de este triángulo satisface $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$ lo que da $R' = 2\sqrt3.$

El área del círculo es $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For an equilateral triangle, $O$ is also the circumcenter, so $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$ The central angle $\angle AOC = 120^\circ.$

In triangle $AOC,$ side $AC = 6$ is opposite the $120^\circ$ angle, so the circumradius $R'$ of this triangle satisfies $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$ giving $R' = 2\sqrt3.$

The area of the circle is $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años