Soluciones del 2021 AMC 12B Fall | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $1234 + 2341 + 3412 + 4123?$

What is the value of $1234 + 2341 + 3412 + 4123?$

$10{,}000$

$10{,}010$

$10{,}110$

$11{,}000$

$11{,}110$

Conceptos:valor posicional simetría

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4$ aparece una vez en cada valor posicional.

Each of the digits $1, 2, 3, 4$ appears once in every place value

Pista grande:

Cada columna suma $1 + 2 + 3 + 4$ .

Every column adds to $1 + 2 + 3 + 4$

Solución:

Cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4$ aparece exactamente una vez en las columnas de los millares, las centenas, las decenas y las unidades. Así, cada columna suma $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Por lo tanto, el total es $10 \cdot 1111 = 11110.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each of the digits $1, 2, 3, 4$ appears exactly once in the thousands, hundreds, tens, and units columns. So each column sums to $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

The total is therefore $10 \cdot 1111 = 11110.$

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál es el área de la figura sombreada que se muestra abajo?

What is the area of the shaded figure shown below?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 810

Pista pequeña:

La región sombreada es un triángulo grande al que se le ha quitado una muesca triangular de su base.

The shaded region is a large triangle with a triangular notch removed from its base

Pista grande:

Ambos triángulos tienen base $4$ a lo largo del eje $x$ .

Both triangles have base $4$ along the $x$ -axis

Solución:

El triángulo exterior tiene vértices $(1, 0),$ $(3, 5),$ y $(5, 0),$ con base $4$ y altura $5,$ de modo que su área es $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 5 = 10.$

Se le quita el triángulo con vértices $(1, 0),$ $(3, 2),$ y $(5, 0),$ que tiene base $4$ y altura $2,$ así que área $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 2 = 4.$

El área sombreada es $10 - 4 = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The outer triangle has vertices $(1, 0),$ $(3, 5),$ and $(5, 0),$ giving base $4$ and height $5,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 5 = 10.$

Removed from it is the triangle with vertices $(1, 0),$ $(3, 2),$ and $(5, 0),$ which has base $4$ and height $2,$ so area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 2 = 4.$

The shaded area is $10 - 4 = 6.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Al mediodía de cierto día, Minneapolis está $N$ grados más cálida que St. Louis. A las $4{:}00$ la temperatura en Minneapolis ha bajado $5$ grados mientras que la temperatura en St. Louis ha subido $3$ grados, momento en el cual las temperaturas de las dos ciudades difieren en $2$ grados. ¿Cuál es el producto de todos los valores posibles de $N$ ?

At noon on a certain day, Minneapolis is $N$ degrees warmer than St. Louis. At $4{:}00$ the temperature in Minneapolis has fallen by $5$ degrees while the temperature in St. Louis has risen by $3$ degrees, at which time the temperatures in the two cities differ by $2$ degrees. What is the product of all possible values of $N?$

$10$

$30$

$60$

$100$

$120$

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Al mediodía la diferencia es $N$ ; sigue cómo cada cambio afecta la brecha.

At noon the difference is $N$ ; track how each change affects the gap

Pista grande:

La nueva diferencia es $|N - 5 - 3| = 2$ .

The new difference is $|N - 5 - 3| = 2$

Solución:

Al mediodía la brecha es $N.$ Minneapolis pierde entonces $5$ grados y St. Louis gana $3,$ así que la brecha cambia en $8.$ La nueva diferencia absoluta es $|N - 8| = 2.$

Esto da $N = 10$ o $N = 6,$ cuyo producto es $60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At noon the gap is $N.$ Minneapolis then loses $5$ degrees and St. Louis gains $3,$ so the gap changes by $8.$ The new absolute difference is $|N - 8| = 2.$

This gives $N = 10$ or $N = 6,$ whose product is $60.$

Thus, the correct answer is C.

4.

Sea $n = 8^{2022}.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a $\dfrac{n}{4}?$

Let $n = 8^{2022}.$ Which of the following is equal to $\dfrac{n}{4}?$

$4^{1010}$

$2^{2022}$

$8^{2018}$

$4^{3031}$

$4^{3032}$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Reescribe todo como una potencia de $2$ .

Rewrite everything as a power of $2$

Pista grande:

Dividir entre cuatro reduce el exponente en dos: $\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}}$ .

$\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}}$

Solución:

Escribe $n = 8^{2022} = 2^{6066}.$ Entonces $\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}} = 2^{6064}.$

Como $2^{6064} = 4^{3032},$ esto corresponde a la última opción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $n = 8^{2022} = 2^{6066}.$ Then $\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}} = 2^{6064}.$

Since $2^{6064} = 4^{3032},$ this matches the last option.

Thus, the correct answer is E.

5.

Llamamos a una fracción $\dfrac{a}{b},$ no necesariamente en su forma más simple, especial si $a$ y $b$ son enteros positivos cuya suma es $15.$ ¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?

Call a fraction $\dfrac{a}{b},$ not necessarily in the simplest form, special if $a$ and $b$ are positive integers whose sum is $15.$ How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:fracción análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Enumera las fracciones especiales y observa cuáles son enteras, semienteras o de cuarto de entero.

List the special fractions and note which are integers, half-integers, or quarter-integers

Pista grande:

Dos especiales suman un entero solo cuando sus partes fraccionarias se cancelan.

Two specials sum to an integer only when their fractional parts cancel

Solución:

Al enumerar $\frac{a}{15-a}$ para $1\le a\le14,$ los enteros son $2,4,14;$ las fracciones cuya parte fraccionaria es $\frac{1}{2}$ son $\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2};$ y $\tfrac14,\tfrac{11}{4}$ tienen partes fraccionarias complementarias $\frac{1}{4},\frac{3}{4}.$

Las partes fraccionarias restantes son $\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7},$ y ninguno de sus complementos aparece. Así, solo los casos entero, semientero y de cuarto pueden dar sumas enteras.

Los pares de enteros dan $4, 6, 8, 16, 18, 28.$ Los pares de semienteros $\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)$ dan $1, 2, 3, 7, 8, 13.$ El par de cuartos $\tfrac14 + \tfrac{11}{4}$ da $3.$

Los enteros distintos son $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,$ un total de $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Listing $\frac{a}{15-a}$ for $1\le a\le14,$ the integers are $2,4,14;$ the fractions with fractional part $\frac{1}{2}$ are $\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2};$ and $\tfrac14,\tfrac{11}{4}$ have complementary fractional parts $\frac{1}{4},\frac{3}{4}.$

The remaining fractional parts are $\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7},$ and none of their complements occurs. Thus only the integer, half-integer, and quarter cases can give integer sums.

Integer pairs give $4, 6, 8, 16, 18, 28.$ Half-integer pairs $\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)$ give $1, 2, 3, 7, 8, 13.$ The quarter pair $\tfrac14 + \tfrac{11}{4}$ gives $3.$

The distinct integers are $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,$ a total of $11.$

Thus, the correct answer is C.

6.

El mayor número primo que es divisor de $16{,}384$ es $2$ porque $16{,}384 = 2^{14}.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del mayor número primo que es divisor de $16{,}383$ ?

The greatest prime number that is a divisor of $16{,}384$ is $2$ because $16{,}384 = 2^{14}.$ What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of $16{,}383?$

$3$

$7$

$10$

$16$

$22$

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

$16{,}383 = 2^{14} - 1$ .

$16{,}383 = 2^{14} - 1$

Pista grande:

Factoriza como $(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)$

Factor as $(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)$

Solución:

Tenemos $16{,}383 = 2^{14} - 1$ $= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)$ $= 127 \cdot 129.$ Luego $129 = 3 \cdot 43,$ así que $16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127.$

El mayor factor primo es $127,$ cuya suma de dígitos es $1 + 2 + 7 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have $16{,}383 = 2^{14} - 1$ $= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)$ $= 127 \cdot 129.$ Then $129 = 3 \cdot 43,$ so $16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127.$

The greatest prime factor is $127,$ whose digit sum is $1 + 2 + 7 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que los enteros $x,$ $y,$ y $z$ satisfagan la ecuación $\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}$

Which of the following conditions is sufficient to guarantee that integers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the equation $\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}$

$x \gt y$ y $y = z$

$x \gt y$ and $y = z$

$x = y - 1$ y $y = z - 1$

$x = y - 1$ and $y = z - 1$

$x = z + 1$ y $y = x + 1$

$x = z + 1$ and $y = x + 1$

$x = z$ y $y - 1 = x$

$x = z$ and $y - 1 = x$

$x + y + z = 1$

Conceptos:manipulación algebraica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Multiplica por $2$ : el lado izquierdo es igual a $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$

Multiply by $2$ : the left side equals $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$

Pista grande:

Para enteros, esa suma es igual a $2$ solo cuando dos diferencias son $\pm 1$ y una es $0$ .

For integers, that sum equals $2$ only when two differences are $\pm 1$ and one is $0$

Solución:

La expresión satisface $\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2. \end{aligned}$ Así que la ecuación se cumple exactamente cuando esta suma de cuadrados es igual a $2.$

Como las tres diferencias suman $0,$ esto exige que dos de ellas sean $\pm 1$ y una sea $0.$

La opción D da $z - x = 0,$ $x - y = -1,$ y $y - z = 1,$ de modo que los cuadrados son $1 + 1 + 0 = 2.$ Esto funciona para todos esos enteros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The expression satisfies $\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2. \end{aligned}$ So the equation holds exactly when this sum of squares equals $2.$

Since the three differences sum to $0,$ this requires two of them to be $\pm 1$ and one to be $0.$

Option D gives $z - x = 0,$ $x - y = -1,$ and $y - z = 1,$ so the squares are $1 + 1 + 0 = 2.$ This works for all such integers.

Thus, the correct answer is D.

8.

El producto de las longitudes de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles obtuso es igual al producto de la base y el doble de la altura del triángulo sobre la base. ¿Cuál es la medida, en grados, del ángulo del vértice de este triángulo?

The product of the lengths of the two congruent sides of an obtuse isosceles triangle is equal to the product of the base and twice the triangle’s height to the base. What is the measure, in degrees, of the vertex angle of this triangle?

$105$

$120$

$135$

$150$

$165$

Conceptos:triángulo isósceles área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe el área de dos maneras usando los lados iguales y el ángulo del vértice $\theta$ .

Write the area two ways using the legs and the vertex angle $\theta$

Pista grande:

El área es a la vez $\tfrac12 b h$ y $\tfrac12 s^2 \sin\theta$ .

The area is both $\tfrac12 b h$ and $\tfrac12 s^2 \sin\theta$

Solución:

Sean los lados congruentes de longitud $s,$ la base $b,$ y la altura sobre la base $h.$ La condición dada es $s^2 = 2bh.$

El área es igual a $\tfrac12 bh$ y también a $\tfrac12 s^2 \sin\theta,$ donde $\theta$ es el ángulo del vértice. Así, $bh = s^2 \sin\theta.$

Sustituyendo $s^2 = 2bh$ se obtiene $bh = 2bh\sin\theta,$ así que $\sin\theta = \tfrac12.$ Como el triángulo es obtuso, $\theta = 150^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the congruent sides have length $s,$ the base be $b,$ and the height to the base be $h.$ The given condition is $s^2 = 2bh.$

The area equals $\tfrac12 bh$ and also $\tfrac12 s^2 \sin\theta,$ where $\theta$ is the vertex angle. So $bh = s^2 \sin\theta.$

Substituting $s^2 = 2bh$ gives $bh = 2bh\sin\theta,$ so $\sin\theta = \tfrac12.$ Since the triangle is obtuse, $\theta = 150^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

9.

El triángulo $ABC$ es equilátero con longitud de lado $6.$ Supongamos que $O$ es el centro del círculo inscrito de este triángulo. ¿Cuál es el área del círculo que pasa por $A,$ $O,$ y $C$ ?

Triangle $ABC$ is equilateral with side length $6.$ Suppose that $O$ is the center of the inscribed circle of this triangle. What is the area of the circle passing through $A,$ $O,$ and $C?$

$9\pi$

$12\pi$

$18\pi$

$24\pi$

$27\pi$

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ley de los senos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

En un triángulo equilátero el incentro coincide con el circuncentro.

In an equilateral triangle the incenter coincides with the circumcenter

Pista grande:

En el triángulo $AOC,$ el ángulo $AOC = 120^\circ$ y $AC = 6$ ; aplica la ley de los senos

In triangle $AOC,$ angle $AOC = 120^\circ$ and $AC = 6$ ; apply the law of sines

Solución:

Para un triángulo equilátero, $O$ es también el circuncentro, así que $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$ El ángulo central $\angle AOC = 120^\circ.$

En el triángulo $AOC,$ el lado $AC = 6$ es opuesto al ángulo de $120^\circ$ , así que el circunradio $R'$ de este triángulo satisface $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$ lo que da $R' = 2\sqrt3.$

El área del círculo es $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For an equilateral triangle, $O$ is also the circumcenter, so $OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.$ The central angle $\angle AOC = 120^\circ.$

In triangle $AOC,$ side $AC = 6$ is opposite the $120^\circ$ angle, so the circumradius $R'$ of this triangle satisfies $2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,$ giving $R' = 2\sqrt3.$

The area of the circle is $\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.$

Thus, the correct answer is B.

10.

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $t$ entre $0$ y $360$ tales que el triángulo en el plano de coordenadas cuyos vértices son $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ y $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ es isósceles?

What is the sum of all possible values of $t$ between $0$ and $360$ such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are $(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\$ $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),$ and $\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)$ is isosceles?

$100$

$150$

$330$

$360$

$380$

Conceptos:círculo cuerda triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario, así que lados iguales significan cuerdas iguales, es decir, separaciones de arco iguales.

All three points lie on the unit circle, so equal sides mean equal chords, i.e. equal arc separations

Pista grande:

Considera los tres casos en que el tercer punto iguala la distancia a $A,$ a $B,$ o está sobre su mediatriz.

Consider the three cases where the third point matches distance to $A,$ to $B,$ or lies on their perpendicular bisector

Solución:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario en los ángulos $40^\circ,$ $60^\circ,$ y $t^\circ.$ La longitud de una cuerda depende solo de la separación angular de sus extremos.

Si el tercer punto es equidistante de los otros dos, está sobre la mediatriz: $t = 50$ o $t = 230.$

Si su distancia a $40^\circ$ es igual a la cuerda fija (separación $20^\circ$ ), entonces $t = 20$ (ya que $t = 60$ es degenerado). Si su distancia a $60^\circ$ coincide, entonces $t = 80$ (ya que $t = 40$ es degenerado).

Los valores válidos son $50, 230, 20, 80,$ que suman $380.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The three points lie on the unit circle at angles $40^\circ,$ $60^\circ,$ and $t^\circ.$ A chord’s length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector: $t = 50$ or $t = 230.$

If its distance to $40^\circ$ equals the fixed chord (separation $20^\circ$ ), then $t = 20$ (since $t = 60$ is degenerate). If its distance to $60^\circ$ matches, then $t = 80$ (since $t = 40$ is degenerate).

The valid values are $50, 230, 20, 80,$ summing to $380.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Una lanza $6$ dados estándar de $6$ caras simultáneamente y calcula el producto de los $6$ números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible entre $4$ ?

Una rolls $6$ standard $6$ -sided dice simultaneously and calculates the product of the $6$ numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by $4?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa conteo complementario: el producto tiene menos de dos factores de $2$ .

Use complementary counting: the product has fewer than two factors of $2$

Pista grande:

Sigue si cada dado aporta cero, uno o dos factores de $2$ .

Track whether each die contributes zero, one, or two factors of $2$

Solución:

El producto no es divisible entre $4$ cuando tiene a lo sumo un factor de $2.$ Cada dado es impar con probabilidad $\tfrac12,$ aporta exactamente un factor de $2$ (un $2$ o un $6$ ) con probabilidad $\tfrac13,$ y dos factores (un $4$ ) con probabilidad $\tfrac16.$

Los seis impares: $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.$ Exactamente un dado un $2$ o un $6$ y el resto impares: $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.$

El complemento es $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},$ así que la respuesta es $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The product fails to be divisible by $4$ when it has at most one factor of $2.$ Each die is odd with probability $\tfrac12,$ contributes exactly one factor of $2$ (a $2$ or $6$ ) with probability $\tfrac13,$ and two factors (a $4$ ) with probability $\tfrac16.$

All six odd: $\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.$ Exactly one die a $2$ or $6$ and the rest odd: $6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.$

The complement is $\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},$ so the answer is $1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Para $n$ un entero positivo, sea $f(n)$ el cociente que se obtiene al dividir la suma de todos los divisores positivos de $n$ entre $n.$ Por ejemplo, $\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}$ ¿Cuánto vale $f(768) - f(384)$ ?

For $n$ a positive integer, let $f(n)$ be the quotient obtained when the sum of all positive divisors of $n$ is divided by $n.$ For example, $\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}$ What is $f(768) - f(384)?$

$\dfrac{1}{768}$

$\dfrac{1}{192}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{8}{3}$

Conceptos:suma de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Factoriza $768 = 2^8 \cdot 3$ y $384 = 2^7 \cdot 3,$ luego usa $\sigma$ de una potencia de primo.

Factor $768 = 2^8 \cdot 3$ and $384 = 2^7 \cdot 3,$ then use $\sigma$ of a prime power

Pista grande:

Pon ambos sobre un denominador común de $192$ .

Put both over a common denominator of $192$

Solución:

Como $768 = 2^8 \cdot 3,$ su suma de divisores es $(2^9 - 1)(1 + 3)$ $= 511 \cdot 4 = 2044,$ así que $f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.$

Como $384 = 2^7 \cdot 3,$ su suma de divisores es $(2^8 - 1)(1 + 3)$ $= 255 \cdot 4 = 1020,$ así que $f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.$

La diferencia es $\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $768 = 2^8 \cdot 3,$ its divisor sum is $(2^9 - 1)(1 + 3)$ $= 511 \cdot 4 = 2044,$ so $f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.$

Since $384 = 2^7 \cdot 3,$ its divisor sum is $(2^8 - 1)(1 + 3)$ $= 255 \cdot 4 = 1020,$ so $f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.$

The difference is $\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.$

Thus, the correct answer is B.

13.

Sea $c = \dfrac{2\pi}{11}.$ ¿Cuál es el valor de $\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?$

Let $c = \dfrac{2\pi}{11}.$ What is the value of $\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?$

$-1$

$-\dfrac{\sqrt{11}}{5}$

$\dfrac{\sqrt{11}}{5}$

$\dfrac{10}{11}$

$1$

Conceptos:identidad trigonométrica simetría

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Cada ángulo es un múltiplo de $\dfrac{2\pi}{11}$ ; reduce los ángulos del numerador módulo $2\pi$ .

Each angle is a multiple of $\dfrac{2\pi}{11}$ ; reduce the numerator angles modulo $2\pi$

Pista grande:

Usa $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ para relacionar los factores del numerador que quedan con los del denominador

Use $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ to relate leftover numerator factors to denominator factors

Solución:

Escribe cada ángulo como $kc = \dfrac{2\pi k}{11}.$ Reduciendo módulo $2\pi,$ $\sin 12c = \sin c$ y $\sin 15c = \sin 4c.$

Así, el numerador es $\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c$ $\cdot \sin c \cdot \sin 4c.$ Al cancelar los factores comunes $\sin c,$ $\sin 3c,$ $\sin 4c$ queda $\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.$

Ahora $\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c$ y $\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c,$ así que la razón es igual a $\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write each angle as $kc = \dfrac{2\pi k}{11}.$ Reducing modulo $2\pi,$ $\sin 12c = \sin c$ and $\sin 15c = \sin 4c.$

So the numerator is $\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c$ $\cdot \sin c \cdot \sin 4c.$ Cancelling the common factors $\sin c,$ $\sin 3c,$ $\sin 4c$ leaves $\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.$

Now $\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c$ and $\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c,$ so the ratio equals $\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Supongamos que $P(z),$ $Q(z),$ y $R(z)$ son polinomios con coeficientes reales, de grados $2,$ $3,$ y $6,$ respectivamente, y términos constantes $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente. Sea $N$ el número de números complejos distintos $z$ que satisfacen la ecuación $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $N$ ?

Suppose that $P(z),$ $Q(z),$ and $R(z)$ are polynomials with real coefficients, having degrees $2,$ $3,$ and $6,$ respectively, and constant terms $1,$ $2,$ and $3,$ respectively. Let $N$ be the number of distinct complex numbers $z$ that satisfy the equation $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$ What is the minimum possible value of $N?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$5$

Conceptos:polinomio argumento extremal

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Considera $D(z) = P(z)Q(z) - R(z)$ ; ¿cuál es su grado y su término constante?

Consider $D(z) = P(z)Q(z) - R(z)$ ; what is its degree and constant term?

Pista grande:

Un polinomio de grado $6$ puede tener una única raíz de multiplicidad $6$ .

A degree- $6$ polynomial can have a single root of multiplicity $6$

Solución:

Sea $D(z) = P(z)Q(z) - R(z).$ Como $P Q$ tiene grado $5$ y $R$ tiene grado $6,$ el grado de $D$ es $6.$ Su término constante es $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.$

Como $R$ no está restringido en lo demás, $D$ puede hacerse igual a cualquier polinomio real de grado $6$ con término constante $-1,$ por ejemplo $-(z - 1)^6.$

Tal polinomio tiene una única raíz distinta, así que el mínimo es $N = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $D(z) = P(z)Q(z) - R(z).$ Since $P Q$ has degree $5$ and $R$ has degree $6,$ the degree of $D$ is $6.$ Its constant term is $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.$

Because $R$ is otherwise unconstrained, $D$ can be made equal to any real degree- $6$ polynomial with constant term $-1,$ for instance $-(z - 1)^6.$

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is $N = 1.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Tres hojas de papel cuadradas idénticas, cada una con longitud de lado $6$ , se apilan una sobre otra. La hoja del medio se gira en sentido horario $30^\circ$ alrededor de su centro y la hoja de arriba se gira en sentido horario $60^\circ$ alrededor de su centro, lo que da como resultado el polígono de $24$ lados que se muestra en la figura de abajo. El área de este polígono se puede expresar en la forma $a - b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Three identical square sheets of paper each with side length $6$ are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise $30^\circ$ about its center and the top sheet is rotated clockwise $60^\circ$ about its center, resulting in the $24$ -sided polygon shown in the figure below. The area of this polygon can be expressed in the form $a - b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$75$

$93$

$96$

$129$

$147$

Conceptos:descomposición de áreas trigonometría simetría

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por simetría, los vértices del polígono alternan entre esquinas exteriores de los cuadrados y cruces interiores de aristas, cada $15^\circ$ .

By symmetry the polygon’s vertices alternate between outer square-corners and inner edge-crossings, every $15^\circ$

Pista grande:

Los vértices exteriores están a distancia $3\sqrt2$ del centro y los interiores a distancia $2\sqrt3$ .

The outer vertices are at distance $3\sqrt2$ from the center and the inner ones at distance $2\sqrt3$

Solución:

Como los tres cuadrados están girados $0^\circ,$ $30^\circ,$ y $60^\circ,$ la figura tiene simetría de orden $12$ . Sus $24$ vértices alternan cada $15^\circ$ : los vértices exteriores son las esquinas de los cuadrados a distancia $3\sqrt2$ del centro, y los vértices interiores son cruces de aristas a distancia $2\sqrt3.$

Al conectar el centro con los $24$ vértices, el polígono se divide en $24$ triángulos, cada uno con lados $3\sqrt2$ y $2\sqrt3$ y ángulo comprendido $15^\circ.$ El área total es $\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}$

Esto se simplifica a $18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,$ así que $a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because the three squares are rotated by $0^\circ,$ $30^\circ,$ and $60^\circ,$ the figure has $12$ -fold symmetry. Its $24$ vertices alternate every $15^\circ$ : outer vertices are the square corners at distance $3\sqrt2$ from the center, and inner vertices are edge crossings at distance $2\sqrt3.$

Connecting the center to all $24$ vertices splits the polygon into $24$ triangles, each with sides $3\sqrt2$ and $2\sqrt3$ and included angle $15^\circ.$ The total area is $\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}$

This simplifies to $18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,$ so $a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.$

Thus, the correct answer is E.

16.

Supongamos que $a,$ $b,$ $c$ son enteros positivos tales que $a + b + c = 23$ y $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ ¿Cuál es la suma de todos los valores distintos posibles de $a^2 + b^2 + c^2$ ?

Suppose $a,$ $b,$ $c$ are positive integers such that $a + b + c = 23$ and $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ What is the sum of all possible distinct values of $a^2 + b^2 + c^2?$

$259$

$438$

$516$

$625$

$687$

Conceptos:máximo común divisor paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por simetría, supón $a\le b\le c;$ entonces $a\le7$ y $c=23-a-b$

By symmetry assume $a\le b\le c;$ then $a\le7$ and $c=23-a-b$

Pista grande:

Usa $\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)$ y revisa el corto rango $a\le b\le\frac{23-a}{2}$

Use $\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)$ and check the short range $a\le b\le\frac{23-a}{2}$

Solución:

La condición es simétrica, así que supón $a\le b\le c.$ Entonces $a\le7,$ y para cada $a$ fijo se tiene $a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor$ y $c=23-a-b.$ La suma de los máximos comunes divisores se puede evaluar como $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}$

Al revisar estos cortos rangos, las sumas de gcd posibles para $a=1,2,\ldots,7$ son, respectivamente, $\{3,4,13\},$ $\{4,6,10\},$ $\{3,5,6,8,9,12\},$ $\{4,6\},$ $\{3,7,8,11\},$ $\{4,6,8\},$ y $\{9,10\}.$ El valor $9$ aparece solo en $(a,b,c)=(3,5,15)$ y $(7,7,9).$

La terna $(7, 7, 9)$ tiene suma de $\gcd$ igual a $7 + 1 + 1 = 9$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ La terna $(3, 5, 15)$ tiene suma de $\gcd$ igual a $1 + 5 + 3 = 9$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

La suma de los valores distintos es $179 + 259 = 438.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition is symmetric, so assume $a\le b\le c.$ Then $a\le7,$ and for each fixed $a$ we have $a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor$ and $c=23-a-b.$ The gcd sum can be evaluated as $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}$

Checking these short ranges, the possible gcd sums for $a=1,2,\ldots,7$ are, respectively, $\{3,4,13\},$ $\{4,6,10\},$ $\{3,5,6,8,9,12\},$ $\{4,6\},$ $\{3,7,8,11\},$ $\{4,6,8\},$ and $\{9,10\}.$ The value $9$ occurs only at $(a,b,c)=(3,5,15)$ and $(7,7,9).$

The triple $(7, 7, 9)$ has $\gcd$ sum $7 + 1 + 1 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ The triple $(3, 5, 15)$ has $\gcd$ sum $1 + 5 + 3 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

The sum of the distinct values is $179 + 259 = 438.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Un bicho parte de un vértice de una cuadrícula formada por triángulos equiláteros de lado $1.$ En cada paso el bicho se mueve en una de las $6$ direcciones posibles a lo largo de las líneas de la cuadrícula de forma aleatoria e independiente con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que después de $5$ movimientos el bicho nunca haya estado a más de $1$ unidad de la posición inicial?

A bug starts at a vertex of a grid made of equilateral triangles of side length $1.$ At each step the bug moves in one of the $6$ possible directions along the grid lines randomly and independently with equal probability. What is the probability that after $5$ moves the bug never will have been more than $1$ unit away from the starting position?

$\dfrac{13}{108}$

$\dfrac{7}{54}$

$\dfrac{29}{216}$

$\dfrac{4}{27}$

$\dfrac{1}{16}$

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

El bicho debe estar siempre en el punto de partida o en uno de sus $6$ vecinos.

The bug must always be at the start or one of its $6$ neighbors

Pista grande:

Desde un vecino, solo $3$ de los $6$ movimientos se mantienen a distancia $1$ : de vuelta al inicio o a los dos vecinos adyacentes.

From a neighbor, only $3$ of the $6$ moves stay within distance $1$ : back to start or to the two adjacent neighbors

Solución:

Mantenerse a distancia $1$ significa que el bicho está siempre en el origen o en uno de sus $6$ vecinos. Desde el origen, los $6$ movimientos están permitidos. Desde un vecino, solo $3$ movimientos lo mantienen en rango: de vuelta al origen, o a cualquiera de los dos vecinos adyacentes.

Sean $a_k$ y $b_k$ el número de trayectorias válidas de $k$ pasos que terminan en el origen y en un vecino. Entonces $a_{k+1} = b_k$ y $b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,$ partiendo de $a_0 = 1,$ $b_0 = 0.$

Iterando se obtiene $b_1 = 6,$ luego $(a_2, b_2) = (6, 12),$ $(a_3, b_3) = (12, 60),$ $(a_4, b_4) = (60, 192),$ $(a_5, b_5) = (192, 744).$ El número total de trayectorias válidas es $192 + 744 = 936.$

La probabilidad es $\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Staying within distance $1$ means the bug is always at the origin or one of its $6$ neighbors. From the origin, all $6$ moves are allowed. From a neighbor, only $3$ moves keep it in range: back to the origin, or to either of the two adjacent neighbors.

Let $a_k$ and $b_k$ count valid $k$ -step paths ending at the origin and at a neighbor. Then $a_{k+1} = b_k$ and $b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,$ starting from $a_0 = 1,$ $b_0 = 0.$

Iterating gives $b_1 = 6,$ then $(a_2, b_2) = (6, 12),$ $(a_3, b_3) = (12, 60),$ $(a_4, b_4) = (60, 192),$ $(a_5, b_5) = (192, 744).$ The total number of valid paths is $192 + 744 = 936.$

The probability is $\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Sea $u_0 = \dfrac{1}{4},$ y para $k \ge 0$ sea $u_{k+1}$ determinado por la recurrencia $u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2.$ Esta sucesión tiende a un límite; llámalo $L.$ ¿Cuál es el menor valor de $k$ tal que $|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?$

Set $u_0 = \dfrac{1}{4},$ and for $k \ge 0$ let $u_{k+1}$ be determined by the recurrence $u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2.$ This sequence tends to a limit; call it $L.$ What is the least value of $k$ such that $|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?$

$10$

$87$

$123$

$329$

$401$

Conceptos:recursión sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

El límite es $L = \tfrac12$ ; sustituye $v_k = 1 - 2u_k$ .

The limit is $L = \tfrac12$ ; substitute $v_k = 1 - 2u_k$

Pista grande:

La sustitución da $v_{k+1} = v_k^2,$ así que $v_k$ se eleva al cuadrado repetidamente.

The substitution gives $v_{k+1} = v_k^2,$ so $v_k$ squares repeatedly

Solución:

El límite satisface $L = 2L - 2L^2,$ lo que da $L = \tfrac12.$ Sea $v_k = 1 - 2u_k.$ Entonces $\begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}$

Como $v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12,$ obtenemos $v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k},$ así que $|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.$

Necesitamos $2^k + 1 \ge 1000,$ es decir $2^k \ge 999.$ El menor $k$ tal es $10,$ ya que $2^{10} = 1024.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The limit satisfies $L = 2L - 2L^2,$ giving $L = \tfrac12.$ Let $v_k = 1 - 2u_k.$ Then $\begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}$

Since $v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12,$ we get $v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k},$ so $|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.$

We need $2^k + 1 \ge 1000,$ i.e. $2^k \ge 999.$ The least such $k$ is $10,$ since $2^{10} = 1024.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Polígonos regulares de $5,$ $6,$ $7,$ y $8$ lados están inscritos en el mismo círculo. No hay dos polígonos que compartan un vértice, y no hay tres de sus lados que se corten en un punto común. ¿En cuántos puntos dentro del círculo se cortan dos de sus lados?

Regular polygons with $5,$ $6,$ $7,$ and $8$ sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

$52$

$56$

$60$

$64$

$68$

Conceptos:polígono regular conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Considera cada par de polígonos por separado.

Consider each pair of polygons separately

Pista grande:

Dos polígonos inscritos con $m$ y $n$ lados en posición general se cruzan en $2\min(m, n)$ puntos.

Two inscribed polygons with $m$ and $n$ sides in general position cross at $2\min(m, n)$ points

Solución:

Para dos polígonos convexos inscritos en el mismo círculo sin vértices compartidos, cada lado del polígono menor cruza la frontera del polígono mayor exactamente dos veces, así que se encuentran en $2\min(m, n)$ puntos.

Sumando sobre todos los pares: $(5,6), (5,7), (5,8)$ dan $10$ cada uno; $(6,7), (6,8)$ dan $12$ cada uno; $(7,8)$ da $14.$

El total es $3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For two convex polygons inscribed in the same circle with no shared vertices, each side of the smaller polygon crosses the larger polygon’s boundary exactly twice, so they meet at $2\min(m, n)$ points.

Summing over all pairs: $(5,6), (5,7), (5,8)$ give $10$ each; $(6,7), (6,8)$ give $12$ each; $(7,8)$ gives $14.$

The total is $3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Un cubo se construye con $4$ cubos unitarios blancos y $4$ cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo $2 \times 2 \times 2$ usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede girar para coincidir con la otra.)

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:Lema de Burnside geometría del cubo

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa el lema de Burnside sobre las $24$ rotaciones del cubo que actúan sobre las $8$ posiciones de las esquinas.

Use Burnside’s lemma over the $24$ rotations of the cube acting on the $8$ corner positions

Pista grande:

Para cada tipo de rotación, cuenta las coloraciones con exactamente $4$ cubos azules que deja fijas.

For each rotation type, count the colorings with exactly $4$ blue cubes that it fixes

Solución:

Por el lema de Burnside, el conteo es el número promedio de coloraciones con $4$ azules que quedan fijas por cada una de las $24$ rotaciones que actúan sobre los $8$ cubitos.

La identidad deja fijas $\binom{8}{4} = 70.$ Los $6$ cuartos de vuelta de cara dejan fijas $2$ cada uno $(12).$ Las $3$ medias vueltas de cara dejan fijas $6$ cada una $(18).$ Las $8$ rotaciones de vértice dejan fijas $4$ cada una $(32).$ Las $6$ medias vueltas de arista dejan fijas $6$ cada una $(36).$

El total es $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,$ y $\dfrac{168}{24} = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Burnside’s lemma, the count is the average number of $4$ -blue colorings fixed by each of the $24$ rotations acting on the $8$ cubies.

The identity fixes $\binom{8}{4} = 70.$ The $6$ face quarter-turns fix $2$ each $(12).$ The $3$ face half-turns fix $6$ each $(18).$ The $8$ vertex rotations fix $4$ each $(32).$ The $6$ edge half-turns fix $6$ each $(36).$

The total is $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,$ and $\dfrac{168}{24} = 7.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Para números reales $x,$ sea $\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}$ donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Para cuántos valores de $x$ con $0 \le x \lt 2\pi$ se cumple $P(x) = 0?$

For real numbers $x,$ let $\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}$ where $i = \sqrt{-1}.$ For how many values of $x$ with $0 \le x \lt 2\pi$ does $P(x) = 0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:número complejo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Escribe $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}$ y exige que tanto la parte real como la imaginaria se anulen.

Write $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}$ and require both the real and imaginary parts to vanish

Pista grande:

La parte imaginaria se factoriza como $\sin(2x)(2\cos x - 1)$

The imaginary part factors as $\sin(2x)(2\cos x - 1)$

Solución:

Agrupa mediante la fórmula de Euler: $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.$ La parte imaginaria es $\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}$

Esto se anula cuando $\sin 2x = 0$ (es decir $x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}$ ) o $\cos x = \tfrac12$ (es decir $x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}$ ).

Al comprobar la parte real $1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x$ en cada uno de estos valores se obtiene $\pm 2$ o $1,$ nunca $0.$ Así que ningún $x$ hace $P(x) = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Group by Euler’s formula: $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.$ The imaginary part is $\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}$

This vanishes when $\sin 2x = 0$ (so $x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}$ ) or $\cos x = \tfrac12$ (so $x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}$ ).

Checking the real part $1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x$ at each of these values gives $\pm 2$ or $1,$ never $0.$ So no $x$ makes $P(x) = 0.$

Thus, the correct answer is A.

22.

El triángulo rectángulo $ABC$ tiene lados $BC = 6,$ $AC = 8,$ y $AB = 10.$ Un círculo con centro en $O$ es tangente a la recta $BC$ en $B$ y pasa por $A.$ Un círculo con centro en $P$ es tangente a la recta $AC$ en $A$ y pasa por $B.$ ¿Cuánto vale $OP$ ?

Right triangle $ABC$ has side lengths $BC = 6,$ $AC = 8,$ and $AB = 10.$ A circle centered at $O$ is tangent to line $BC$ at $B$ and passes through $A.$ A circle centered at $P$ is tangent to line $AC$ at $A$ and passes through $B.$ What is $OP?$

$\dfrac{23}{8}$

$\dfrac{29}{10}$

$\dfrac{35}{12}$

$\dfrac{73}{25}$

$3$

Conceptos:geometría analítica recta tangente fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Coloca $C$ en el origen con los catetos a lo largo de los ejes.

Place $C$ at the origin with legs along the axes

Pista grande:

El radio en un punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, así que $O$ queda directamente encima de $B$ y $P$ directamente enfrente de $A$ .

A tangent point’s radius is perpendicular to the tangent line, so $O$ lies directly above $B$ and $P$ directly across from $A$

Solución:

Coloca $C = (0, 0),$ $B = (6, 0),$ y $A = (0, 8),$ de modo que el ángulo recto está en $C.$

El círculo $O$ es tangente a la recta $BC$ ( $x$ -eje) en $B,$ así que $O = (6, k).$ Al imponer $OA = OB$ se obtiene $36 + (k - 8)^2 = k^2,$ así que $k = \tfrac{25}{4}$ y $O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).$

El círculo $P$ es tangente a la recta $AC$ ( $y$ -eje) en $A,$ así que $P = (h, 8).$ Al imponer $PB = PA$ se obtiene $(h - 6)^2 + 64 = h^2,$ así que $h = \tfrac{25}{3}$ y $P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).$

Entonces $OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}$ $= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}$ $= \dfrac{35}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $C = (0, 0),$ $B = (6, 0),$ and $A = (0, 8),$ so the right angle is at $C.$

Circle $O$ is tangent to line $BC$ (the $x$ -axis) at $B,$ so $O = (6, k).$ Setting $OA = OB$ gives $36 + (k - 8)^2 = k^2,$ so $k = \tfrac{25}{4}$ and $O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).$

Circle $P$ is tangent to line $AC$ (the $y$ -axis) at $A,$ so $P = (h, 8).$ Setting $PB = PA$ gives $(h - 6)^2 + 64 = h^2,$ so $h = \tfrac{25}{3}$ and $P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).$

Then $OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}$ $= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}$ $= \dfrac{35}{12}.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Se elige al azar un subconjunto de $5$ enteros distintos del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ . ¿Cuál es el número promedio de pares de enteros consecutivos que contiene? (Por ejemplo, el conjunto $\{1, 17, 18, 19, 30\}$ contiene $2$ pares de enteros consecutivos.)

What is the average number of pairs of consecutive integers in a randomly selected subset of $5$ distinct integers chosen from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 30\}?$ (For example the set $\{1, 17, 18, 19, 30\}$ has $2$ pairs of consecutive integers.)

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{29}{36}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{29}{30}$

$1$

Conceptos:valor esperado muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Usa la linealidad de la esperanza sobre los $29$ pares consecutivos posibles $(i, i+1)$ .

Use linearity of expectation over the $29$ possible consecutive pairs $(i, i+1)$

Pista grande:

La probabilidad de que tanto $i$ como $i+1$ sean elegidos es $\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}$ .

The probability that both $i$ and $i+1$ are chosen is $\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}$

Solución:

Para cada uno de los $29$ pares adyacentes $(i, i+1),$ sea un indicador igual a $1$ si ambos están en el subconjunto. La probabilidad de esto es $\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.$

Por la linealidad de la esperanza, el número esperado de pares consecutivos es $29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each of the $29$ adjacent pairs $(i, i+1),$ let an indicator be $1$ if both are in the subset. The probability of this is $\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.$

By linearity of expectation, the expected number of consecutive pairs is $29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is A.

24.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 11,$ $BC = 24,$ y $CA = 20.$ La bisectriz de $\angle BAC$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $D,$ y corta al circuncírculo de $\triangle ABC$ en el punto $E \neq A.$ El circuncírculo de $\triangle BED$ corta a la recta $AB$ en los puntos $B$ y $F \neq B.$ ¿Cuánto vale $CF$ ?

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 11,$ $BC = 24,$ and $CA = 20.$ The bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{BC}$ in point $D,$ and intersects the circumcircle of $\triangle ABC$ in point $E \neq A.$ The circumcircle of $\triangle BED$ intersects the line $AB$ in points $B$ and $F \neq B.$ What is $CF?$

$28$

$20\sqrt{2}$

$30$

$32$

$20\sqrt{3}$

Conceptos:potencia de un punto bisectriz semejanza

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Aplica la potencia del punto $A$ al círculo que pasa por $B,$ $E,$ $D$ : $AB \cdot AF = AD \cdot AE$ .

Apply power of the point $A$ to the circle through $B,$ $E,$ $D$ : $AB \cdot AF = AD \cdot AE$

Pista grande:

Como $\triangle ABE \sim \triangle ADC,$ obtenemos $AD \cdot AE = AB \cdot AC,$ así que $AF = AC$ .

Because $\triangle ABE \sim \triangle ADC,$ we get $AD \cdot AE = AB \cdot AC,$ so $AF = AC$

Solución:

Los puntos $A,$ $D,$ $E$ son colineales sobre la bisectriz, y $A,$ $B,$ $F$ son colineales sobre la recta $AB.$ La potencia de $A$ respecto al círculo que pasa por $B,$ $E,$ $D$ da $AB \cdot AF = AD \cdot AE.$

Como $\angle BAE = \angle DAC$ y $\angle AEB = \angle ACB$ (subtendiendo $AB$ ), los triángulos $ABE$ y $ADC$ son semejantes, así que $AD \cdot AE = AB \cdot AC.$ Por lo tanto $AF = AC = 20.$

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (11, 0).$ A partir de $CA = 20,$ $CB = 24,$ el punto $C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).$ El punto $F$ está sobre el rayo $AB$ con $AF = 20,$ así que $F = (20, 0).$

Entonces $CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}$ $= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}$ $= 900,$ así que $CF = 30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Points $A,$ $D,$ $E$ are collinear on the bisector, and $A,$ $B,$ $F$ are collinear on line $AB.$ The power of $A$ with respect to the circle through $B,$ $E,$ $D$ gives $AB \cdot AF = AD \cdot AE.$

Since $\angle BAE = \angle DAC$ and $\angle AEB = \angle ACB$ (subtending $AB$ ), triangles $ABE$ and $ADC$ are similar, so $AD \cdot AE = AB \cdot AC.$ Therefore $AF = AC = 20.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (11, 0).$ From $CA = 20,$ $CB = 24,$ point $C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).$ Point $F$ lies on ray $AB$ with $AF = 20,$ so $F = (20, 0).$

Then $CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}$ $= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}$ $= 900,$ so $CF = 30.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Para $n$ un entero positivo, sea $R(n)$ la suma de los residuos cuando $n$ se divide entre $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ y $10.$ Por ejemplo, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos $n$ satisfacen $R(n) = R(n + 1)?$

For $n$ a positive integer, let $R(n)$ be the sum of the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10.$ For example, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ How many two-digit positive integers $n$ satisfy $R(n) = R(n + 1)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2800

Pista pequeña:

Cuando $n$ aumenta en $1,$ cada residuo sube en $1$ a menos que $n+1$ sea divisible por $m,$ en cuyo caso cae a $0$ .

When $n$ increases by $1,$ each remainder rises by $1$ unless $n+1$ is divisible by $m,$ where it drops to $0$

Pista grande:

$R(n+1) - R(n)$ $= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,$ así que necesitas que los divisores de $n+1$ entre $2, \ldots, 10$ sumen $9$ .

$R(n+1) - R(n)$ $= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,$ so you need the divisors of $n+1$ among $2, \ldots, 10$ to sum to $9$

Solución:

Al pasar de $n$ a $n + 1,$ cada residuo $n \bmod m$ aumenta en $1$ , salvo que $n + 1$ sea divisible por $m,$ en cuyo caso baja de $m - 1$ a $0.$ Por tanto, $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Los enteros distintos de $2$ a $10$ pueden sumar $9$ solo como $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ o $\{2,3,4\}.$ El cierre por divisibilidad elimina todos los casos salvo $\{2,7\}:$ por ejemplo, un múltiplo de $9$ también tiene divisor $3,$ y uno de $6$ también tiene divisores $2$ y $3.$ Así, $n+1$ debe ser múltiplo de $14$ sin ningún otro divisor en $\{2,\ldots,10\}.$

Al probar los múltiplos $14,28,42,56,70,84,98$ del intervalo requerido, quedan solo $14$ y $98.$ Por tanto, $n=13$ o $n=97,$ lo que da $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Going from $n$ to $n + 1,$ each remainder $n \bmod m$ increases by $1$ unless $n + 1$ is divisible by $m,$ in which case it drops from $m - 1$ to $0.$ So $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Distinct integers from $2$ through $10$ can sum to $9$ only as $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ or $\{2,3,4\}.$ Divisibility closure eliminates every case except $\{2,7\}:$ for example, a multiple of $9$ also has divisor $3,$ and a multiple of $6$ also has divisors $2$ and $3.$ Thus $n+1$ must be a multiple of $14$ with no other divisor in $\{2,\ldots,10\}.$

Testing the multiples $14,28,42,56,70,84,98$ in the required range leaves only $14$ and $98.$ Hence $n=13$ or $n=97,$ giving $2$ values.

Thus, the correct answer is C.