2021 AMC 12B Fall — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de

1234 + 2341 + 3412 + 4123?

What is the value of

1234 + 2341 + 3412 + 4123?

10{,}000

10{,}010

10{,}110

11{,}000

11{,}110

Respuesta: E

Conceptos:valor posicional simetría

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cada uno de los dígitos

1, 2, 3, 4

aparece una vez en cada valor posicional.

Each of the digits

1, 2, 3, 4

appears once in every place value

Pista grande:

Cada columna suma

1 + 2 + 3 + 4

.

Every column adds to

1 + 2 + 3 + 4

Solución:

Cada uno de los dígitos

1, 2, 3, 4

aparece exactamente una vez en las columnas de los millares, las centenas, las decenas y las unidades. Así, cada columna suma

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Por lo tanto, el total es

10 \cdot 1111 = 11110.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each of the digits

1, 2, 3, 4

appears exactly once in the thousands, hundreds, tens, and units columns. So each column sums to

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

The total is therefore

10 \cdot 1111 = 11110.

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál es el área de la figura sombreada que se muestra abajo?

What is the area of the shaded figure shown below?

4

6

8

10

12

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 810

Pista pequeña:

La región sombreada es un triángulo grande al que se le ha quitado una muesca triangular de su base.

The shaded region is a large triangle with a triangular notch removed from its base

Pista grande:

Ambos triángulos tienen base

4

a lo largo del eje

x

.

Both triangles have base

4

along the

x

-axis

Solución:

El triángulo exterior tiene vértices

(1, 0),

(3, 5),

y

(5, 0),

con base

4

y altura

5,

de modo que su área es

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 5 = 10.

Se le quita el triángulo con vértices

(1, 0),

(3, 2),

y

(5, 0),

que tiene base

4

y altura

2,

así que área

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 2 = 4.

El área sombreada es

10 - 4 = 6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The outer triangle has vertices

(1, 0),

(3, 5),

and

(5, 0),

giving base

4

and height

5,

so its area is

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 5 = 10.

Removed from it is the triangle with vertices

(1, 0),

(3, 2),

and

(5, 0),

which has base

4

and height

2,

so area

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 2 = 4.

The shaded area is

10 - 4 = 6.

Thus, the correct answer is B.

3.

Al mediodía de cierto día, Minneapolis está

N

grados más cálida que St. Louis. A las

4{:}00

la temperatura en Minneapolis ha bajado

5

grados mientras que la temperatura en St. Louis ha subido

3

grados, momento en el cual las temperaturas de las dos ciudades difieren en

2

grados. ¿Cuál es el producto de todos los valores posibles de

N

?

At noon on a certain day, Minneapolis is

N

degrees warmer than St. Louis. At

4{:}00

the temperature in Minneapolis has fallen by

5

degrees while the temperature in St. Louis has risen by

3

degrees, at which time the temperatures in the two cities differ by

2

degrees. What is the product of all possible values of

N?

10

30

60

100

120

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Al mediodía la diferencia es

N

; sigue cómo cada cambio afecta la brecha.

At noon the difference is

N

; track how each change affects the gap

Pista grande:

La nueva diferencia es

|N - 5 - 3| = 2

.

The new difference is

|N - 5 - 3| = 2

Solución:

Al mediodía la brecha es

N.

Minneapolis pierde entonces

5

grados y St. Louis gana

3,

así que la brecha cambia en

8.

La nueva diferencia absoluta es

|N - 8| = 2.

Esto da

N = 10

o

N = 6,

cuyo producto es

60.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At noon the gap is

N.

Minneapolis then loses

5

degrees and St. Louis gains

3,

so the gap changes by

8.

The new absolute difference is

|N - 8| = 2.

This gives

N = 10

or

N = 6,

whose product is

60.

Thus, the correct answer is C.

4.

Sea

n = 8^{2022}.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

\dfrac{n}{4}?

Let

n = 8^{2022}.

Which of the following is equal to

\dfrac{n}{4}?

4^{1010}

2^{2022}

8^{2018}

4^{3031}

4^{3032}

Respuesta: E

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Reescribe todo como una potencia de

2

.

Rewrite everything as a power of

2

Pista grande:

Dividir entre cuatro reduce el exponente en dos:

\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}}

.

\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}}

Solución:

Escribe

n = 8^{2022} = 2^{6066}.

Entonces

\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}} = 2^{6064}.

Como

2^{6064} = 4^{3032},

esto corresponde a la última opción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write

n = 8^{2022} = 2^{6066}.

Then

\dfrac{n}{4} = \dfrac{2^{6066}}{2^{2}} = 2^{6064}.

Since

2^{6064} = 4^{3032},

this matches the last option.

Thus, the correct answer is E.

5.

Llamamos a una fracción

\dfrac{a}{b},

no necesariamente en su forma más simple, especial si

a

y

b

son enteros positivos cuya suma es

15.

¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?

Call a fraction

\dfrac{a}{b},

not necessarily in the simplest form, special if

a

and

b

are positive integers whose sum is

15.

How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

9

10

11

12

13

Respuesta: C

Conceptos:fracción análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Enumera las fracciones especiales y observa cuáles son enteras, semienteras o de cuarto de entero.

List the special fractions and note which are integers, half-integers, or quarter-integers

Pista grande:

Dos especiales suman un entero solo cuando sus partes fraccionarias se cancelan.

Two specials sum to an integer only when their fractional parts cancel

Solución:

Al enumerar

\frac{a}{15-a}

para

1\le a\le14,

los enteros son

2,4,14;

las fracciones cuya parte fraccionaria es

\frac{1}{2}

son

\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2};

y

\tfrac14,\tfrac{11}{4}

tienen partes fraccionarias complementarias

\frac{1}{4},\frac{3}{4}.

Las partes fraccionarias restantes son

\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7},

y ninguno de sus complementos aparece. Así, solo los casos entero, semientero y de cuarto pueden dar sumas enteras.

Los pares de enteros dan

4, 6, 8, 16, 18, 28.

Los pares de semienteros

\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)

dan

1, 2, 3, 7, 8, 13.

El par de cuartos

\tfrac14 + \tfrac{11}{4}

da

3.

Los enteros distintos son

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,

un total de

11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Listing

\frac{a}{15-a}

for

1\le a\le14,

the integers are

2,4,14;

the fractions with fractional part

\frac{1}{2}

are

\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2};

and

\tfrac14,\tfrac{11}{4}

have complementary fractional parts

\frac{1}{4},\frac{3}{4}.

The remaining fractional parts are

\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7},

and none of their complements occurs. Thus only the integer, half-integer, and quarter cases can give integer sums.

Integer pairs give

4, 6, 8, 16, 18, 28.

Half-integer pairs

\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)

give

1, 2, 3, 7, 8, 13.

The quarter pair

\tfrac14 + \tfrac{11}{4}

gives

3.

The distinct integers are

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,

a total of

11.

Thus, the correct answer is C.

6.

El mayor número primo que es divisor de

16{,}384

es

2

porque

16{,}384 = 2^{14}.

¿Cuál es la suma de los dígitos del mayor número primo que es divisor de

16{,}383

?

The greatest prime number that is a divisor of

16{,}384

is

2

because

16{,}384 = 2^{14}.

What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of

16{,}383?

3

7

10

16

22

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

16{,}383 = 2^{14} - 1

.

16{,}383 = 2^{14} - 1

Pista grande:

Factoriza como

(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

Factor as

(2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

Solución:

Tenemos

16{,}383 = 2^{14} - 1

= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

= 127 \cdot 129.

Luego

129 = 3 \cdot 43,

así que

16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127.

El mayor factor primo es

127,

cuya suma de dígitos es

1 + 2 + 7 = 10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have

16{,}383 = 2^{14} - 1

= (2^{7} - 1)(2^{7} + 1)

= 127 \cdot 129.

Then

129 = 3 \cdot 43,

so

16{,}383 = 3 \cdot 43 \cdot 127.

The greatest prime factor is

127,

whose digit sum is

1 + 2 + 7 = 10.

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que los enteros

x,

y,

y

z

satisfagan la ecuación

\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}

Which of the following conditions is sufficient to guarantee that integers

x,

y,

and

z

satisfy the equation

\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}

x \gt y

y

y = z

x \gt y

and

y = z

x = y - 1

y

y = z - 1

x = y - 1

and

y = z - 1

x = z + 1

y

y = x + 1

x = z + 1

and

y = x + 1

x = z

y

y - 1 = x

x = z

and

y - 1 = x

x + y + z = 1

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Multiplica por

2

: el lado izquierdo es igual a

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2

Multiply by

2

: the left side equals

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2

Pista grande:

Para enteros, esa suma es igual a

2

solo cuando dos diferencias son

\pm 1

y una es

0

.

For integers, that sum equals

2

only when two differences are

\pm 1

and one is

0

Solución:

La expresión satisface

\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2. \end{aligned}

Así que la ecuación se cumple exactamente cuando esta suma de cuadrados es igual a

2.

Como las tres diferencias suman

0,

esto exige que dos de ellas sean

\pm 1

y una sea

0.

La opción D da

z - x = 0,

x - y = -1,

y

y - z = 1,

de modo que los cuadrados son

1 + 1 + 0 = 2.

Esto funciona para todos esos enteros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The expression satisfies

\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2. \end{aligned}

So the equation holds exactly when this sum of squares equals

2.

Since the three differences sum to

0,

this requires two of them to be

\pm 1

and one to be

0.

Option D gives

z - x = 0,

x - y = -1,

and

y - z = 1,

so the squares are

1 + 1 + 0 = 2.

This works for all such integers.

Thus, the correct answer is D.

8.

El producto de las longitudes de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles obtuso es igual al producto de la base y el doble de la altura del triángulo sobre la base. ¿Cuál es la medida, en grados, del ángulo del vértice de este triángulo?

The product of the lengths of the two congruent sides of an obtuse isosceles triangle is equal to the product of the base and twice the triangle’s height to the base. What is the measure, in degrees, of the vertex angle of this triangle?

105

120

135

150

165

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe el área de dos maneras usando los lados iguales y el ángulo del vértice

\theta

.

Write the area two ways using the legs and the vertex angle

\theta

Pista grande:

El área es a la vez

\tfrac12 b h

y

\tfrac12 s^2 \sin\theta

.

The area is both

\tfrac12 b h

and

\tfrac12 s^2 \sin\theta

Solución:

Sean los lados congruentes de longitud

s,

la base

b,

y la altura sobre la base

h.

La condición dada es

s^2 = 2bh.

El área es igual a

\tfrac12 bh

y también a

\tfrac12 s^2 \sin\theta,

donde

\theta

es el ángulo del vértice. Así,

bh = s^2 \sin\theta.

Sustituyendo

s^2 = 2bh

se obtiene

bh = 2bh\sin\theta,

así que

\sin\theta = \tfrac12.

Como el triángulo es obtuso,

\theta = 150^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the congruent sides have length

s,

the base be

b,

and the height to the base be

h.

The given condition is

s^2 = 2bh.

The area equals

\tfrac12 bh

and also

\tfrac12 s^2 \sin\theta,

where

\theta

is the vertex angle. So

bh = s^2 \sin\theta.

Substituting

s^2 = 2bh

gives

bh = 2bh\sin\theta,

so

\sin\theta = \tfrac12.

Since the triangle is obtuse,

\theta = 150^\circ.

Thus, the correct answer is D.

9.

El triángulo

ABC

es equilátero con longitud de lado

6.

Supongamos que

O

es el centro del círculo inscrito de este triángulo. ¿Cuál es el área del círculo que pasa por

A,

O,

y

C

?

Triangle

ABC

is equilateral with side length

6.

Suppose that

O

is the center of the inscribed circle of this triangle. What is the area of the circle passing through

A,

O,

and

C?

9\pi

12\pi

18\pi

24\pi

27\pi

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ley de los senos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

En un triángulo equilátero el incentro coincide con el circuncentro.

In an equilateral triangle the incenter coincides with the circumcenter

Pista grande:

En el triángulo

AOC,

el ángulo

AOC = 120^\circ

y

AC = 6

; aplica la ley de los senos

In triangle

AOC,

angle

AOC = 120^\circ

and

AC = 6

; apply the law of sines

Solución:

Para un triángulo equilátero,

O

es también el circuncentro, así que

OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.

El ángulo central

\angle AOC = 120^\circ.

En el triángulo

AOC,

el lado

AC = 6

es opuesto al ángulo de

120^\circ

, así que el circunradio

R'

de este triángulo satisface

2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,

lo que da

R' = 2\sqrt3.

El área del círculo es

\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For an equilateral triangle,

O

is also the circumcenter, so

OA = OC = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3.

The central angle

\angle AOC = 120^\circ.

In triangle

AOC,

side

AC = 6

is opposite the

120^\circ

angle, so the circumradius

R'

of this triangle satisfies

2R' = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} = 4\sqrt3,

giving

R' = 2\sqrt3.

The area of the circle is

\pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi.

Thus, the correct answer is B.

10.

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

t

entre

0

y

360

tales que el triángulo en el plano de coordenadas cuyos vértices son

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),

y

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

es isósceles?

What is the sum of all possible values of

t

between

0

and

360

such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),

and

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

is isosceles?

100

150

330

360

380

Respuesta: E

Conceptos:círculo cuerda triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario, así que lados iguales significan cuerdas iguales, es decir, separaciones de arco iguales.

All three points lie on the unit circle, so equal sides mean equal chords, i.e. equal arc separations

Pista grande:

Considera los tres casos en que el tercer punto iguala la distancia a

A,

a

B,

o está sobre su mediatriz.

Consider the three cases where the third point matches distance to

A,

to

B,

or lies on their perpendicular bisector

Solución:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario en los ángulos

40^\circ,

60^\circ,

y

t^\circ.

La longitud de una cuerda depende solo de la separación angular de sus extremos.

Si el tercer punto es equidistante de los otros dos, está sobre la mediatriz:

t = 50

o

t = 230.

Si su distancia a

40^\circ

es igual a la cuerda fija (separación

20^\circ

), entonces

t = 20

(ya que

t = 60

es degenerado). Si su distancia a

60^\circ

coincide, entonces

t = 80

(ya que

t = 40

es degenerado).

Los valores válidos son

50, 230, 20, 80,

que suman

380.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The three points lie on the unit circle at angles

40^\circ,

60^\circ,

and

t^\circ.

A chord’s length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector:

t = 50

or

t = 230.

If its distance to

40^\circ

equals the fixed chord (separation

20^\circ

), then

t = 20

(since

t = 60

is degenerate). If its distance to

60^\circ

matches, then

t = 80

(since

t = 40

is degenerate).

The valid values are

50, 230, 20, 80,

summing to

380.

Thus, the correct answer is E.

11.

Una lanza

6

dados estándar de

6

caras simultáneamente y calcula el producto de los

6

números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible entre

4

?

Una rolls

6

standard

6

-sided dice simultaneously and calculates the product of the

6

numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by

4?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{57}{64}

\dfrac{59}{64}

\dfrac{187}{192}

\dfrac{63}{64}

Respuesta: C

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa conteo complementario: el producto tiene menos de dos factores de

2

.

Use complementary counting: the product has fewer than two factors of

2

Pista grande:

Sigue si cada dado aporta cero, uno o dos factores de

2

.

Track whether each die contributes zero, one, or two factors of

2

Solución:

El producto no es divisible entre

4

cuando tiene a lo sumo un factor de

2.

Cada dado es impar con probabilidad

\tfrac12,

aporta exactamente un factor de

2

(un

2

o un

6

) con probabilidad

\tfrac13,

y dos factores (un

4

) con probabilidad

\tfrac16.

Los seis impares:

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.

Exactamente un dado un

2

o un

6

y el resto impares:

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.

El complemento es

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},

así que la respuesta es

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The product fails to be divisible by

4

when it has at most one factor of

2.

Each die is odd with probability

\tfrac12,

contributes exactly one factor of

2

(a

2

or

6

) with probability

\tfrac13,

and two factors (a

4

) with probability

\tfrac16.

All six odd:

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.

Exactly one die a

2

or

6

and the rest odd:

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.

The complement is

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},

so the answer is

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.

Thus, the correct answer is C.

12.

Para

n

un entero positivo, sea

f(n)

el cociente que se obtiene al dividir la suma de todos los divisores positivos de

n

entre

n.

Por ejemplo,

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}

¿Cuánto vale

f(768) - f(384)

?

For

n

a positive integer, let

f(n)

be the quotient obtained when the sum of all positive divisors of

n

is divided by

n.

For example,

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}

What is

f(768) - f(384)?

\dfrac{1}{768}

\dfrac{1}{192}

1

\dfrac{4}{3}

\dfrac{8}{3}

Respuesta: B

Conceptos:suma de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Factoriza

768 = 2^8 \cdot 3

y

384 = 2^7 \cdot 3,

luego usa

\sigma

de una potencia de primo.

Factor

768 = 2^8 \cdot 3

and

384 = 2^7 \cdot 3,

then use

\sigma

of a prime power

Pista grande:

Pon ambos sobre un denominador común de

192

.

Put both over a common denominator of

192

Solución:

Como

768 = 2^8 \cdot 3,

su suma de divisores es

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044,

así que

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.

Como

384 = 2^7 \cdot 3,

su suma de divisores es

(2^8 - 1)(1 + 3)

= 255 \cdot 4 = 1020,

así que

f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.

La diferencia es

\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

768 = 2^8 \cdot 3,

its divisor sum is

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044,

so

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.

Since

384 = 2^7 \cdot 3,

its divisor sum is

(2^8 - 1)(1 + 3)

= 255 \cdot 4 = 1020,

so

f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.

The difference is

\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.

Thus, the correct answer is B.

13.

Sea

c = \dfrac{2\pi}{11}.

¿Cuál es el valor de

\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?

Let

c = \dfrac{2\pi}{11}.

What is the value of

\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?

-1

-\dfrac{\sqrt{11}}{5}

\dfrac{\sqrt{11}}{5}

\dfrac{10}{11}

1

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica simetría

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Cada ángulo es un múltiplo de

\dfrac{2\pi}{11}

; reduce los ángulos del numerador módulo

2\pi

.

Each angle is a multiple of

\dfrac{2\pi}{11}

; reduce the numerator angles modulo

2\pi

Pista grande:

Usa

\sin(2\pi - x) = -\sin x

para relacionar los factores del numerador que quedan con los del denominador

Use

\sin(2\pi - x) = -\sin x

to relate leftover numerator factors to denominator factors

Solución:

Escribe cada ángulo como

kc = \dfrac{2\pi k}{11}.

Reduciendo módulo

2\pi,

\sin 12c = \sin c

y

\sin 15c = \sin 4c.

Así, el numerador es

\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c

\cdot \sin c \cdot \sin 4c.

Al cancelar los factores comunes

\sin c,

\sin 3c,

\sin 4c

queda

\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.

Ahora

\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c

y

\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c,

así que la razón es igual a

\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write each angle as

kc = \dfrac{2\pi k}{11}.

Reducing modulo

2\pi,

\sin 12c = \sin c

and

\sin 15c = \sin 4c.

So the numerator is

\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c

\cdot \sin c \cdot \sin 4c.

Cancelling the common factors

\sin c,

\sin 3c,

\sin 4c

leaves

\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.

Now

\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c

and

\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c,

so the ratio equals

\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.

Thus, the correct answer is E.

14.

Supongamos que

P(z),

Q(z),

y

R(z)

son polinomios con coeficientes reales, de grados

2,

3,

y

6,

respectivamente, y términos constantes

1,

2,

y

3,

respectivamente. Sea

N

el número de números complejos distintos

z

que satisfacen la ecuación

P(z) \cdot Q(z) = R(z).

¿Cuál es el valor mínimo posible de

N

?

Suppose that

P(z),

Q(z),

and

R(z)

are polynomials with real coefficients, having degrees

2,

3,

and

6,

respectively, and constant terms

1,

2,

and

3,

respectively. Let

N

be the number of distinct complex numbers

z

that satisfy the equation

P(z) \cdot Q(z) = R(z).

What is the minimum possible value of

N?

0

1

2

3

5

Respuesta: B

Conceptos:polinomio argumento extremal

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Considera

D(z) = P(z)Q(z) - R(z)

; ¿cuál es su grado y su término constante?

Consider

D(z) = P(z)Q(z) - R(z)

; what is its degree and constant term?

Pista grande:

Un polinomio de grado

6

puede tener una única raíz de multiplicidad

6

.

A degree-

6

polynomial can have a single root of multiplicity

6

Solución:

Sea

D(z) = P(z)Q(z) - R(z).

Como

P Q

tiene grado

5

y

R

tiene grado

6,

el grado de

D

es

6.

Su término constante es

1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.

Como

R

no está restringido en lo demás,

D

puede hacerse igual a cualquier polinomio real de grado

6

con término constante

-1,

por ejemplo

-(z - 1)^6.

Tal polinomio tiene una única raíz distinta, así que el mínimo es

N = 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

D(z) = P(z)Q(z) - R(z).

Since

P Q

has degree

5

and

R

has degree

6,

the degree of

D

is

6.

Its constant term is

1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.

Because

R

is otherwise unconstrained,

D

can be made equal to any real degree-

6

polynomial with constant term

-1,

for instance

-(z - 1)^6.

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is

N = 1.

Thus, the correct answer is B.

15.

Tres hojas de papel cuadradas idénticas, cada una con longitud de lado

6

, se apilan una sobre otra. La hoja del medio se gira en sentido horario

30^\circ

alrededor de su centro y la hoja de arriba se gira en sentido horario

60^\circ

alrededor de su centro, lo que da como resultado el polígono de

24

lados que se muestra en la figura de abajo. El área de este polígono se puede expresar en la forma

a - b\sqrt{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos, y

c

no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale

a + b + c

?

Three identical square sheets of paper each with side length

6

are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise

30^\circ

about its center and the top sheet is rotated clockwise

60^\circ

about its center, resulting in the

24

-sided polygon shown in the figure below. The area of this polygon can be expressed in the form

a - b\sqrt{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers, and

c

is not divisible by the square of any prime. What is

a + b + c?

75

93

96

129

147

Respuesta: E

Conceptos:descomposición de áreas trigonometría simetría

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por simetría, los vértices del polígono alternan entre esquinas exteriores de los cuadrados y cruces interiores de aristas, cada

15^\circ

.

By symmetry the polygon’s vertices alternate between outer square-corners and inner edge-crossings, every

15^\circ

Pista grande:

Los vértices exteriores están a distancia

3\sqrt2

del centro y los interiores a distancia

2\sqrt3

.

The outer vertices are at distance

3\sqrt2

from the center and the inner ones at distance

2\sqrt3

Solución:

Como los tres cuadrados están girados

0^\circ,

30^\circ,

y

60^\circ,

la figura tiene simetría de orden

12

. Sus

24

vértices alternan cada

15^\circ

: los vértices exteriores son las esquinas de los cuadrados a distancia

3\sqrt2

del centro, y los vértices interiores son cruces de aristas a distancia

2\sqrt3.

Al conectar el centro con los

24

vértices, el polígono se divide en

24

triángulos, cada uno con lados

3\sqrt2

y

2\sqrt3

y ángulo comprendido

15^\circ.

El área total es

\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}

Esto se simplifica a

18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,

así que

a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because the three squares are rotated by

0^\circ,

30^\circ,

and

60^\circ,

the figure has

12

-fold symmetry. Its

24

vertices alternate every

15^\circ

: outer vertices are the square corners at distance

3\sqrt2

from the center, and inner vertices are edge crossings at distance

2\sqrt3.

Connecting the center to all

24

vertices splits the polygon into

24

triangles, each with sides

3\sqrt2

and

2\sqrt3

and included angle

15^\circ.

The total area is

\begin{aligned} &24 \cdot \tfrac12 (3\sqrt2)(2\sqrt3)\sin 15^\circ \\ &= 72\sqrt6 \cdot \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}

This simplifies to

18\sqrt6(\sqrt6 - \sqrt2) = 108 - 36\sqrt3,

so

a + b + c = 108 + 36 + 3 = 147.

Thus, the correct answer is E.

16.

Supongamos que

a,

b,

c

son enteros positivos tales que

a + b + c = 23

y

\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}

¿Cuál es la suma de todos los valores distintos posibles de

a^2 + b^2 + c^2

?

Suppose

a,

b,

c

are positive integers such that

a + b + c = 23

and

\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}

What is the sum of all possible distinct values of

a^2 + b^2 + c^2?

259

438

516

625

687

Respuesta: B

Conceptos:máximo común divisor paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por simetría, supón

a\le b\le c;

entonces

a\le7

y

c=23-a-b

By symmetry assume

a\le b\le c;

then

a\le7

and

c=23-a-b

Pista grande:

Usa

\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)

y revisa el corto rango

a\le b\le\frac{23-a}{2}

Use

\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)

and check the short range

a\le b\le\frac{23-a}{2}

Solución:

La condición es simétrica, así que supón

a\le b\le c.

Entonces

a\le7,

y para cada

a

fijo se tiene

a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor

y

c=23-a-b.

La suma de los máximos comunes divisores se puede evaluar como

\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}

Al revisar estos cortos rangos, las sumas de gcd posibles para

a=1,2,\ldots,7

son, respectivamente,

\{3,4,13\},

\{4,6,10\},

\{3,5,6,8,9,12\},

\{4,6\},

\{3,7,8,11\},

\{4,6,8\},

y

\{9,10\}.

El valor

9

aparece solo en

(a,b,c)=(3,5,15)

y

(7,7,9).

La terna

(7, 7, 9)

tiene suma de

\gcd

igual a

7 + 1 + 1 = 9

y

a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81

= 179.

La terna

(3, 5, 15)

tiene suma de

\gcd

igual a

1 + 5 + 3 = 9

y

a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25

+ 225 = 259.

La suma de los valores distintos es

179 + 259 = 438.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition is symmetric, so assume

a\le b\le c.

Then

a\le7,

and for each fixed

a

we have

a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor

and

c=23-a-b.

The gcd sum can be evaluated as

\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}

Checking these short ranges, the possible gcd sums for

a=1,2,\ldots,7

are, respectively,

\{3,4,13\},

\{4,6,10\},

\{3,5,6,8,9,12\},

\{4,6\},

\{3,7,8,11\},

\{4,6,8\},

and

\{9,10\}.

The value

9

occurs only at

(a,b,c)=(3,5,15)

and

(7,7,9).

The triple

(7, 7, 9)

has

\gcd

sum

7 + 1 + 1 = 9

and

a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81

= 179.

The triple

(3, 5, 15)

has

\gcd

sum

1 + 5 + 3 = 9

and

a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25

+ 225 = 259.

The sum of the distinct values is

179 + 259 = 438.

Thus, the correct answer is B.

17.

Un bicho parte de un vértice de una cuadrícula formada por triángulos equiláteros de lado

1.

En cada paso el bicho se mueve en una de las

6

direcciones posibles a lo largo de las líneas de la cuadrícula de forma aleatoria e independiente con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que después de

5

movimientos el bicho nunca haya estado a más de

1

unidad de la posición inicial?

A bug starts at a vertex of a grid made of equilateral triangles of side length

1.

At each step the bug moves in one of the

6

possible directions along the grid lines randomly and independently with equal probability. What is the probability that after

5

moves the bug never will have been more than

1

unit away from the starting position?

\dfrac{13}{108}

\dfrac{7}{54}

\dfrac{29}{216}

\dfrac{4}{27}

\dfrac{1}{16}

Respuesta: A

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

El bicho debe estar siempre en el punto de partida o en uno de sus

6

vecinos.

The bug must always be at the start or one of its

6

neighbors

Pista grande:

Desde un vecino, solo

3

de los

6

movimientos se mantienen a distancia

1

: de vuelta al inicio o a los dos vecinos adyacentes.

From a neighbor, only

3

of the

6

moves stay within distance

1

: back to start or to the two adjacent neighbors

Solución:

Mantenerse a distancia

1

significa que el bicho está siempre en el origen o en uno de sus

6

vecinos. Desde el origen, los

6

movimientos están permitidos. Desde un vecino, solo

3

movimientos lo mantienen en rango: de vuelta al origen, o a cualquiera de los dos vecinos adyacentes.

Sean

a_k

y

b_k

el número de trayectorias válidas de

k

pasos que terminan en el origen y en un vecino. Entonces

a_{k+1} = b_k

y

b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,

partiendo de

a_0 = 1,

b_0 = 0.

Iterando se obtiene

b_1 = 6,

luego

(a_2, b_2) = (6, 12),

(a_3, b_3) = (12, 60),

(a_4, b_4) = (60, 192),

(a_5, b_5) = (192, 744).

El número total de trayectorias válidas es

192 + 744 = 936.

La probabilidad es

\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Staying within distance

1

means the bug is always at the origin or one of its

6

neighbors. From the origin, all

6

moves are allowed. From a neighbor, only

3

moves keep it in range: back to the origin, or to either of the two adjacent neighbors.

Let

a_k

and

b_k

count valid

k

-step paths ending at the origin and at a neighbor. Then

a_{k+1} = b_k

and

b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,

starting from

a_0 = 1,

b_0 = 0.

Iterating gives

b_1 = 6,

then

(a_2, b_2) = (6, 12),

(a_3, b_3) = (12, 60),

(a_4, b_4) = (60, 192),

(a_5, b_5) = (192, 744).

The total number of valid paths is

192 + 744 = 936.

The probability is

\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.

Thus, the correct answer is A.

18.

Sea

u_0 = \dfrac{1}{4},

y para

k \ge 0

sea

u_{k+1}

determinado por la recurrencia

u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2.

Esta sucesión tiende a un límite; llámalo

L.

¿Cuál es el menor valor de

k

tal que

|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?

Set

u_0 = \dfrac{1}{4},

and for

k \ge 0

let

u_{k+1}

be determined by the recurrence

u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2.

This sequence tends to a limit; call it

L.

What is the least value of

k

such that

|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?

10

87

123

329

401

Respuesta: A

Conceptos:recursión sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

El límite es

L = \tfrac12

; sustituye

v_k = 1 - 2u_k

.

The limit is

L = \tfrac12

; substitute

v_k = 1 - 2u_k

Pista grande:

La sustitución da

v_{k+1} = v_k^2,

así que

v_k

se eleva al cuadrado repetidamente.

The substitution gives

v_{k+1} = v_k^2,

so

v_k

squares repeatedly

Solución:

El límite satisface

L = 2L - 2L^2,

lo que da

L = \tfrac12.

Sea

v_k = 1 - 2u_k.

Entonces

\begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}

Como

v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12,

obtenemos

v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k},

así que

|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.

Necesitamos

2^k + 1 \ge 1000,

es decir

2^k \ge 999.

El menor

k

tal es

10,

ya que

2^{10} = 1024.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The limit satisfies

L = 2L - 2L^2,

giving

L = \tfrac12.

Let

v_k = 1 - 2u_k.

Then

\begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}

Since

v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12,

we get

v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k},

so

|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.

We need

2^k + 1 \ge 1000,

i.e.

2^k \ge 999.

The least such

k

is

10,

since

2^{10} = 1024.

Thus, the correct answer is A.

19.

Polígonos regulares de

5,

6,

7,

y

8

lados están inscritos en el mismo círculo. No hay dos polígonos que compartan un vértice, y no hay tres de sus lados que se corten en un punto común. ¿En cuántos puntos dentro del círculo se cortan dos de sus lados?

Regular polygons with

5,

6,

7,

and

8

sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

52

56

60

64

68

Respuesta: E

Conceptos:polígono regular conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Considera cada par de polígonos por separado.

Consider each pair of polygons separately

Pista grande:

Dos polígonos inscritos con

m

y

n

lados en posición general se cruzan en

2\min(m, n)

puntos.

Two inscribed polygons with

m

and

n

sides in general position cross at

2\min(m, n)

points

Solución:

Para dos polígonos convexos inscritos en el mismo círculo sin vértices compartidos, cada lado del polígono menor cruza la frontera del polígono mayor exactamente dos veces, así que se encuentran en

2\min(m, n)

puntos.

Sumando sobre todos los pares:

(5,6), (5,7), (5,8)

dan

10

cada uno;

(6,7), (6,8)

dan

12

cada uno;

(7,8)

da

14.

El total es

3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For two convex polygons inscribed in the same circle with no shared vertices, each side of the smaller polygon crosses the larger polygon’s boundary exactly twice, so they meet at

2\min(m, n)

points.

Summing over all pairs:

(5,6), (5,7), (5,8)

give

10

each;

(6,7), (6,8)

give

12

each;

(7,8)

gives

14.

The total is

3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 + 14 = 68.

Thus, the correct answer is E.

20.

Un cubo se construye con

4

cubos unitarios blancos y

4

cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo

2 \times 2 \times 2

usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede girar para coincidir con la otra.)

A cube is constructed from

4

white unit cubes and

4

blue unit cubes. How many different ways are there to construct the

2 \times 2 \times 2

cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

7

8

9

10

11

Respuesta: A

Conceptos:Lema de Burnside geometría del cubo

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa el lema de Burnside sobre las

24

rotaciones del cubo que actúan sobre las

8

posiciones de las esquinas.

Use Burnside’s lemma over the

24

rotations of the cube acting on the

8

corner positions

Pista grande:

Para cada tipo de rotación, cuenta las coloraciones con exactamente

4

cubos azules que deja fijas.

For each rotation type, count the colorings with exactly

4

blue cubes that it fixes

Solución:

Por el lema de Burnside, el conteo es el número promedio de coloraciones con

4

azules que quedan fijas por cada una de las

24

rotaciones que actúan sobre los

8

cubitos.

La identidad deja fijas

\binom{8}{4} = 70.

Los

6

cuartos de vuelta de cara dejan fijas

2

cada uno

(12).

Las

3

medias vueltas de cara dejan fijas

6

cada una

(18).

Las

8

rotaciones de vértice dejan fijas

4

cada una

(32).

Las

6

medias vueltas de arista dejan fijas

6

cada una

(36).

El total es

70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,

y

\dfrac{168}{24} = 7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Burnside’s lemma, the count is the average number of

4

-blue colorings fixed by each of the

24

rotations acting on the

8

cubies.

The identity fixes

\binom{8}{4} = 70.

The

6

face quarter-turns fix

2

each

(12).

The

3

face half-turns fix

6

each

(18).

The

8

vertex rotations fix

4

each

(32).

The

6

edge half-turns fix

6

each

(36).

The total is

70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,

and

\dfrac{168}{24} = 7.

Thus, the correct answer is A.

21.

Para números reales

x,

sea

\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}

donde

i = \sqrt{-1}.

¿Para cuántos valores de

x

con

0 \le x \lt 2\pi

se cumple

P(x) = 0?

For real numbers

x,

let

\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}

where

i = \sqrt{-1}.

For how many values of

x

with

0 \le x \lt 2\pi

does

P(x) = 0?

0

1

2

3

4

Respuesta: A

Conceptos:número complejo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Escribe

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}

y exige que tanto la parte real como la imaginaria se anulen.

Write

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}

and require both the real and imaginary parts to vanish

Pista grande:

La parte imaginaria se factoriza como

\sin(2x)(2\cos x - 1)

The imaginary part factors as

\sin(2x)(2\cos x - 1)

Solución:

Agrupa mediante la fórmula de Euler:

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.

La parte imaginaria es

\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}

Esto se anula cuando

\sin 2x = 0

(es decir

x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}

) o

\cos x = \tfrac12

(es decir

x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}

).

Al comprobar la parte real

1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x

en cada uno de estos valores se obtiene

\pm 2

o

1,

nunca

0.

Así que ningún

x

hace

P(x) = 0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Group by Euler’s formula:

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.

The imaginary part is

\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}

This vanishes when

\sin 2x = 0

(so

x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}

) or

\cos x = \tfrac12

(so

x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}

).

Checking the real part

1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x

at each of these values gives

\pm 2

or

1,

never

0.

So no

x

makes

P(x) = 0.

Thus, the correct answer is A.

22.

El triángulo rectángulo

ABC

tiene lados

BC = 6,

AC = 8,

y

AB = 10.

Un círculo con centro en

O

es tangente a la recta

BC

en

B

y pasa por

A.

Un círculo con centro en

P

es tangente a la recta

AC

en

A

y pasa por

B.

¿Cuánto vale

OP

?

Right triangle

ABC

has side lengths

BC = 6,

AC = 8,

and

AB = 10.

A circle centered at

O

is tangent to line

BC

at

B

and passes through

A.

A circle centered at

P

is tangent to line

AC

at

A

and passes through

B.

What is

OP?

\dfrac{23}{8}

\dfrac{29}{10}

\dfrac{35}{12}

\dfrac{73}{25}

3

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica recta tangente fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Coloca

C

en el origen con los catetos a lo largo de los ejes.

Place

C

at the origin with legs along the axes

Pista grande:

El radio en un punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, así que

O

queda directamente encima de

B

y

P

directamente enfrente de

A

.

A tangent point’s radius is perpendicular to the tangent line, so

O

lies directly above

B

and

P

directly across from

A

Solución:

Coloca

C = (0, 0),

B = (6, 0),

y

A = (0, 8),

de modo que el ángulo recto está en

C.

El círculo

O

es tangente a la recta

BC

(

x

-eje) en

B,

así que

O = (6, k).

Al imponer

OA = OB

se obtiene

36 + (k - 8)^2 = k^2,

así que

k = \tfrac{25}{4}

y

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).

El círculo

P

es tangente a la recta

AC

(

y

-eje) en

A,

así que

P = (h, 8).

Al imponer

PB = PA

se obtiene

(h - 6)^2 + 64 = h^2,

así que

h = \tfrac{25}{3}

y

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).

Entonces

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place

C = (0, 0),

B = (6, 0),

and

A = (0, 8),

so the right angle is at

C.

Circle

O

is tangent to line

BC

(the

x

-axis) at

B,

so

O = (6, k).

Setting

OA = OB

gives

36 + (k - 8)^2 = k^2,

so

k = \tfrac{25}{4}

and

O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).

Circle

P

is tangent to line

AC

(the

y

-axis) at

A,

so

P = (h, 8).

Setting

PB = PA

gives

(h - 6)^2 + 64 = h^2,

so

h = \tfrac{25}{3}

and

P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).

Then

OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}

= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}

= \dfrac{35}{12}.

Thus, the correct answer is C.

23.

Se elige al azar un subconjunto de

5

enteros distintos del conjunto

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}

. ¿Cuál es el número promedio de pares de enteros consecutivos que contiene? (Por ejemplo, el conjunto

\{1, 17, 18, 19, 30\}

contiene

2

pares de enteros consecutivos.)

What is the average number of pairs of consecutive integers in a randomly selected subset of

5

distinct integers chosen from the set

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}?

(For example the set

\{1, 17, 18, 19, 30\}

has

2

pairs of consecutive integers.)

\dfrac{2}{3}

\dfrac{29}{36}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{29}{30}

1

Respuesta: A

Conceptos:valor esperado muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Usa la linealidad de la esperanza sobre los

29

pares consecutivos posibles

(i, i+1)

.

Use linearity of expectation over the

29

possible consecutive pairs

(i, i+1)

Pista grande:

La probabilidad de que tanto

i

como

i+1

sean elegidos es

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

.

The probability that both

i

and

i+1

are chosen is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

Solución:

Para cada uno de los

29

pares adyacentes

(i, i+1),

sea un indicador igual a

1

si ambos están en el subconjunto. La probabilidad de esto es

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.

Por la linealidad de la esperanza, el número esperado de pares consecutivos es

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each of the

29

adjacent pairs

(i, i+1),

let an indicator be

1

if both are in the subset. The probability of this is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.

By linearity of expectation, the expected number of consecutive pairs is

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is A.

24.

El triángulo

ABC

tiene lados

AB = 11,

BC = 24,

y

CA = 20.

La bisectriz de

\angle BAC

corta a

\overline{BC}

en el punto

D,

y corta al circuncírculo de

\triangle ABC

en el punto

E \neq A.

El circuncírculo de

\triangle BED

corta a la recta

AB

en los puntos

B

y

F \neq B.

¿Cuánto vale

CF

?

Triangle

ABC

has side lengths

AB = 11,

BC = 24,

and

CA = 20.

The bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{BC}

in point

D,

and intersects the circumcircle of

\triangle ABC

in point

E \neq A.

The circumcircle of

\triangle BED

intersects the line

AB

in points

B

and

F \neq B.

What is

CF?

28

20\sqrt{2}

30

32

20\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:potencia de un punto bisectriz semejanza

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Aplica la potencia del punto

A

al círculo que pasa por

B,

E,

D

:

AB \cdot AF = AD \cdot AE

.

Apply power of the point

A

to the circle through

B,

E,

D

:

AB \cdot AF = AD \cdot AE

Pista grande:

Como

\triangle ABE \sim \triangle ADC,

obtenemos

AD \cdot AE = AB \cdot AC,

así que

AF = AC

.

Because

\triangle ABE \sim \triangle ADC,

we get

AD \cdot AE = AB \cdot AC,

so

AF = AC

Solución:

Los puntos

A,

D,

E

son colineales sobre la bisectriz, y

A,

B,

F

son colineales sobre la recta

AB.

La potencia de

A

respecto al círculo que pasa por

B,

E,

D

da

AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Como

\angle BAE = \angle DAC

y

\angle AEB = \angle ACB

(subtendiendo

AB

), los triángulos

ABE

y

ADC

son semejantes, así que

AD \cdot AE = AB \cdot AC.

Por lo tanto

AF = AC = 20.

Coloca

A = (0, 0),

B = (11, 0).

A partir de

CA = 20,

CB = 24,

el punto

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).

El punto

F

está sobre el rayo

AB

con

AF = 20,

así que

F = (20, 0).

Entonces

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900,

así que

CF = 30.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Points

A,

D,

E

are collinear on the bisector, and

A,

B,

F

are collinear on line

AB.

The power of

A

with respect to the circle through

B,

E,

D

gives

AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Since

\angle BAE = \angle DAC

and

\angle AEB = \angle ACB

(subtending

AB

), triangles

ABE

and

ADC

are similar, so

AD \cdot AE = AB \cdot AC.

Therefore

AF = AC = 20.

Place

A = (0, 0),

B = (11, 0).

From

CA = 20,

CB = 24,

point

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).

Point

F

lies on ray

AB

with

AF = 20,

so

F = (20, 0).

Then

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900,

so

CF = 30.

Thus, the correct answer is C.

25.

Para

n

un entero positivo, sea

R(n)

la suma de los residuos cuando

n

se divide entre

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

y

10.

Por ejemplo,

\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos

n

satisfacen

R(n) = R(n + 1)?

For

n

a positive integer, let

R(n)

be the sum of the remainders when

n

is divided by

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

and

10.

For example,

\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}

How many two-digit positive integers

n

satisfy

R(n) = R(n + 1)?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2800

Pista pequeña:

Cuando

n

aumenta en

1,

cada residuo sube en

1

a menos que

n+1

sea divisible por

m,

en cuyo caso cae a

0

.

When

n

increases by

1,

each remainder rises by

1

unless

n+1

is divisible by

m,

where it drops to

0

Pista grande:

R(n+1) - R(n)

= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,

así que necesitas que los divisores de

n+1

entre

2, \ldots, 10

sumen

9

.

R(n+1) - R(n)

= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,

so you need the divisors of

n+1

among

2, \ldots, 10

to sum to

9

Solución:

Al pasar de

n

a

n + 1,

cada residuo

n \bmod m

aumenta en

1

, salvo que

n + 1

sea divisible por

m,

en cuyo caso baja de

m - 1

a

0.

Por tanto,

\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}

Los enteros distintos de

2

a

10

pueden sumar

9

solo como

\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},

o

\{2,3,4\}.

El cierre por divisibilidad elimina todos los casos salvo

\{2,7\}:

por ejemplo, un múltiplo de

9

también tiene divisor

3,

y uno de

6

también tiene divisores

2

y

3.

Así,

n+1

debe ser múltiplo de

14

sin ningún otro divisor en

\{2,\ldots,10\}.

Al probar los múltiplos

14,28,42,56,70,84,98

del intervalo requerido, quedan solo

14

y

98.

Por tanto,

n=13

o

n=97,

lo que da

2

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Going from

n

to

n + 1,

each remainder

n \bmod m

increases by

1

unless

n + 1

is divisible by

m,

in which case it drops from

m - 1

to

0.

So

\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}

Distinct integers from

2

through

10

can sum to

9

only as

\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},

or

\{2,3,4\}.

Divisibility closure eliminates every case except

\{2,7\}:

for example, a multiple of

9

also has divisor

3,

and a multiple of

6

also has divisors

2

and

3.

Thus

n+1

must be a multiple of

14

with no other divisor in

\{2,\ldots,10\}.

Testing the multiples

14,28,42,56,70,84,98

in the required range leaves only

14

and

98.

Hence

n=13

or

n=97,

giving

2

values.

Thus, the correct answer is C.

Problemas del 2021 AMC 12B Fall

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande: