Question

El producto de las longitudes de los dos lados congruentes de un triángulo isósceles obtuso es igual al producto de la base y el doble de la altura del triángulo sobre la base. ¿Cuál es la medida, en grados, del ángulo del vértice de este triángulo?

The product of the lengths of the two congruent sides of an obtuse isosceles triangle is equal to the product of the base and twice the triangle's height to the base. What is the measure, in degrees, of the vertex angle of this triangle?

$105$

$120$

$135$

$150$

$165$

Solución:

Sean los lados congruentes de longitud $s,$ la base $b,$ y la altura sobre la base $h.$ La condición dada es $s^2 = 2bh.$

El área es igual a $\tfrac12 bh$ y también a $\tfrac12 s^2 \sin\theta,$ donde $\theta$ es el ángulo del vértice. Así, $bh = s^2 \sin\theta.$

Sustituyendo $s^2 = 2bh$ se obtiene $bh = 2bh\sin\theta,$ así que $\sin\theta = \tfrac12.$ Como el triángulo es obtuso, $\theta = 150^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the congruent sides have length $s,$ the base be $b,$ and the height to the base be $h.$ The given condition is $s^2 = 2bh.$

The area equals $\tfrac12 bh$ and also $\tfrac12 s^2 \sin\theta,$ where $\theta$ is the vertex angle. So $bh = s^2 \sin\theta.$

Substituting $s^2 = 2bh$ gives $bh = 2bh\sin\theta,$ so $\sin\theta = \tfrac12.$ Since the triangle is obtuse, $\theta = 150^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Fall Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años