Question

Sea $\clubsuit(x)$ la suma de los dígitos del entero positivo $x.$ Por ejemplo, $\clubsuit(8) = 8$ y $\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.$ ¿Para cuántos valores de dos dígitos de $x$ se cumple $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3$ ?

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8) = 8$ and $\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

Solución:

Sea $y = \clubsuit(x).$ Como $x \le 99,$ tenemos $y \le 18.$ Entonces $\clubsuit(y) = 3$ requiere $y = 3$ o $y = 12.$

Los números de dos dígitos con suma de dígitos $3$ son $12, 21, 30$ ( $3$ valores), y los que tienen suma de dígitos $12$ son $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ ( $7$ valores), para un total de $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $y = \clubsuit(x).$ Since $x \le 99,$ we have $y \le 18.$ Then $\clubsuit(y) = 3$ requires $y = 3$ or $y = 12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12, 21, 30$ ( $3$ values), and those with digit sum $12$ are $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ ( $7$ values), for $10$ in all.

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años