Question

Por definición, $r!=r(r-1)\cdots1$ y $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ donde $r,$ $j,$ $k$ son enteros positivos y $k\lt j.$ Si $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ forman una progresión aritmética con $n\gt3,$ entonces $n$ es igual a

By definition $r!=r(r-1)\cdots1$ and $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ where $r,$ $j,$ $k$ are positive integers and $k\lt j.$ If $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ form an arithmetic progression with $n\gt3,$ then $n$ equals

$5$

$7$

$9$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:factorial combinaciones sucesión aritmética cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

El término central de una progresión aritmética es el promedio de sus vecinos

The middle term of an arithmetic progression is the average of its neighbors

Pista grande:

Sustituye las fórmulas factoriales en $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

Substitute the factorial formulas into $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

Solución:

La condición de progresión es $2\binom n2=\binom n1+\binom n3.$ Al sustituir y cancelar se obtiene $n^2-9n+14=0,$ o bien $(n-2)(n-7)=0.$ Como $n\gt3,$ resulta $n=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The progression condition is $2\binom n2=\binom n1+\binom n3.$ Substitution and cancellation give $n^2-9n+14=0,$ or $(n-2)(n-7)=0.$ Since $n\gt3,$ $n=7.$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años