Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1989 AMC 12 Problema 8

Intenta el Problema 8 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

¿Para cuántos enteros nn entre 11 y 100100 se factoriza x2+x−nx^2+x-n como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?

For how many integers nn between 11 and 100100 does x2+x−nx^2+x-n factor into the product of two linear factors with integer coefficients?

00

11

22

99

1010

Respuesta: D
Conceptos:factorizaciónconteo de enteros en un rangocuadrática
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:

Escribe los factores como (x−r)(x+s)(x-r)(x+s) con enteros positivos r,sr,s

Write the factors as (x−r)(x+s)(x-r)(x+s) with positive integers r,sr,s

Pista grande:

El coeficiente de xx obliga a que los parámetros difieran en 11

The coefficient of xx forces the two integer parameters to differ by 11

Solución:

La factorización debe ser (x−k)(x+k+1)(x-k)(x+k+1) para algún entero positivo k.k. Al desarrollar se obtiene x2+x−k(k+1),x^2+x-k(k+1), así que n=k(k+1).n=k(k+1). Los valores k=1,2,…,9k=1,2,\ldots,9 dan n≤100,n\le100, mientras que 10⋅11>100.10\cdot11\gt100. Hay 99 valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer factorization must have the form (x−k)(x+k+1)(x-k)(x+k+1) for some positive integer k.k. Expanding gives x2+x−k(k+1),x^2+x-k(k+1), so n=k(k+1).n=k(k+1). The values k=1,2,…,9k=1,2,\ldots,9 give n≤100,n\le100, while 10⋅11>100.10\cdot11\gt100. There are 99 values.

Thus the correct answer is D.

← Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9 →

El Problema 8 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B