Question

Dado que $x$ e $y$ son números reales distintos y no nulos tales que $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ ¿cuánto vale $xy$ ?

Given that $x$ and $y$ are distinct nonzero real numbers such that $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ what is $xy?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica factorización

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Multiplica ambos lados por $xy$ para eliminar las fracciones

Multiply both sides by $xy$ to clear the fractions

Pista grande:

El resultado se factoriza como $(x - y)(xy - 2) = 0$

The result factors as $(x - y)(xy - 2) = 0$

Solución:

Multiplicando por $xy$ se obtiene $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ así que $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Como $x \ne y,$ se sigue que $xy = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by $xy$ gives $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ so $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Since $x \ne y,$ it follows that $xy = 2.$

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A Problema 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años