Soluciones del 2013 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $10$ . El punto $E$ está en $\overline{BC}$ , y el área del $\triangle ABE$ es $40$ . ¿Cuánto vale $BE$ ?

Square $ABCD$ has side length $10.$ Point $E$ is on $\overline{BC},$ and the area of $\triangle ABE$ is $40.$ What is $BE?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:área del triángulo triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 840

Solución:

Los catetos del triángulo rectángulo $ABE$ son $AB = 10$ y $BE$ . De $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40$ , obtenemos $BE = 8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The legs of right triangle $ABE$ are $AB = 10$ and $BE.$ From $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40,$ we get $BE = 8.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Un equipo de softball jugó diez partidos, anotando $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$ carreras. Perdieron por una carrera en exactamente cinco partidos. En cada uno de sus otros partidos, anotaron el doble de carreras que su oponente. ¿Cuántas carreras anotaron en total sus oponentes?

A softball team played ten games, scoring $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ and $10$ runs. They lost by one run in exactly five games. In each of their other games, they scored twice as many runs as their opponent. How many total runs did their opponents score?

$35$

$40$

$45$

$50$

$55$

Conceptos:paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1010

Solución:

El equipo solo puede anotar el doble de carreras que su oponente cuando su propia puntuación es par. Esos partidos tienen puntuaciones $2, 4, 6, 8, 10$ , así que sus oponentes anotaron $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ .

Los otros cinco partidos tuvieron puntuaciones $1, 3, 5, 7, 9$ y fueron derrotas por una carrera, así que sus oponentes anotaron $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ . El total es $15 + 30 = 45$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The team can only score twice as many runs as its opponent when its own score is even. Those games have scores $2, 4, 6, 8, 10,$ so their opponents scored $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

The other five games had scores $1, 3, 5, 7, 9$ and were one-run losses, so their opponents scored $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$ The total is $15 + 30 = 45.$

Thus, the correct answer is C.

3.

Un ramo de flores contiene rosas rosadas, rosas rojas, claveles rosados y claveles rojos. Un tercio de las flores rosadas son rosas, tres cuartos de las flores rojas son claveles, y seis décimos de las flores son rosadas. ¿Qué porcentaje de las flores son claveles?

A flower bouquet contains pink roses, red roses, pink carnations, and red carnations. One third of the pink flowers are roses, three fourths of the red flowers are carnations, and six tenths of the flowers are pink. What percent of the flowers are carnations?

$15$

$30$

$40$

$60$

$70$

Conceptos:fracción porcentaje

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Seis décimos de las flores son rosadas y cuatro décimos son rojas. Como dos tercios de las flores rosadas son claveles, los claveles rosados constituyen $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ de las flores.

Como tres cuartos de las flores rojas son claveles, los claveles rojos constituyen $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ de las flores. En conjunto, los claveles son $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Six tenths of the flowers are pink and four tenths are red. Since two thirds of the pink flowers are carnations, pink carnations make up $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ of the flowers.

Since three fourths of the red flowers are carnations, red carnations make up $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ of the flowers. Together the carnations are $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%.$

Thus, the correct answer is E.

4.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?$

What is the value of $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?$

$-1$

$1$

$\dfrac{5}{3}$

$2013$

$2^{4024}$

Conceptos:exponente factorización

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Sacando $2^{2012}$ como factor de cada término se obtiene $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring $2^{2012}$ from each term gives $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

5.

Tom, Dorothy y Sammy se fueron de vacaciones y acordaron repartir los gastos por igual. Durante el viaje Tom pagó $105, Dorothy pagó $125 y Sammy pagó $175. Para compartir los gastos por igual, Tom le dio a Sammy $t$ dólares, y Dorothy le dio a Sammy $d$ dólares. ¿Cuánto vale $t - d$ ?

Tom, Dorothy, and Sammy went on a vacation and agreed to split the costs evenly. During their trip Tom paid $105, Dorothy paid $125, and Sammy paid $175. In order to share the costs equally, Tom gave Sammy $t$ dollars, and Dorothy gave Sammy $d$ dollars. What is $t - d?$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:media manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El total gastado fue $105 + 125 + 175 = 405$ , así que la parte justa de cada uno es $\tfrac13\cdot 405 = 135$ dólares.

Entonces $t = 135 - 105 = 30$ y $d = 135 - 125 = 10$ , así que $t - d = 30 - 10 = 20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The total spent was $105 + 125 + 175 = 405,$ so each fair share is $\tfrac13\cdot 405 = 135$ dollars.

Then $t = 135 - 105 = 30$ and $d = 135 - 125 = 10,$ so $t - d = 30 - 10 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

6.

En un partido de baloncesto reciente, Shenille solo intentó tiros de tres puntos y tiros de dos puntos. Acertó el $20\%$ de sus tiros de tres puntos y el $30\%$ de sus tiros de dos puntos. Shenille intentó $30$ tiros. ¿Cuántos puntos anotó?

In a recent basketball game, Shenille attempted only three-point shots and two-point shots. She was successful on $20\%$ of her three-point shots and $30\%$ of her two-point shots. Shenille attempted $30$ shots. How many points did she score?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Conceptos:porcentaje invariante

Nivel de dificultad: 1250

Solución:

Si Shenille intentó $x$ tiros de tres puntos y $30 - x$ tiros de dos puntos, anotó $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If Shenille attempted $x$ three-point shots and $30 - x$ two-point shots, she scored $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ points.

Thus, the correct answer is B.

7.

La sucesión $S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{10}$ tiene la propiedad de que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. Es decir, $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ for } n \ge 3.$ Supongamos que $S_9 = 110$ y $S_7 = 42$ . ¿Cuánto vale $S_4$ ?

The sequence $S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{10}$ has the property that every term beginning with the third is the sum of the previous two. That is, $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ for } n \ge 3.$ Suppose that $S_9 = 110$ and $S_7 = 42.$ What is $S_4?$

$4$

$6$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:recursión trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Como $S_9 = S_7 + S_8$ , obtenemos $S_8 = 110 - 42 = 68$ . Luego $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26$ , $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16$ , y $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $S_9 = S_7 + S_8,$ we get $S_8 = 110 - 42 = 68.$ Then $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26,$ $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16,$ and $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Dado que $x$ e $y$ son números reales distintos y no nulos tales que $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y}$ , ¿cuánto vale $xy$ ?

Given that $x$ and $y$ are distinct nonzero real numbers such that $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ what is $xy?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

$4$

Conceptos:manipulación algebraica factorización

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

Multiplicando por $xy$ se obtiene $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x$ , así que $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Como $x \ne y$ , se sigue que $xy = 2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by $xy$ gives $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ so $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Since $x \ne y,$ it follows that $xy = 2.$

Thus, the correct answer is D.

9.

En el $\triangle ABC$ , $AB = AC = 28$ y $BC = 20$ . Los puntos $D$ , $E$ y $F$ están en los lados $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$ , respectivamente, de modo que $\overline{DE}$ y $\overline{EF}$ son paralelos a $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo $ADEF$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = AC = 28$ and $BC = 20.$ Points $D,$ $E,$ and $F$ are on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ and $\overline{EF}$ are parallel to $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. What is the perimeter of parallelogram $ADEF?$

$48$

$52$

$56$

$60$

$72$

Conceptos:semejanza triángulo isósceles paralelogramo

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

Como $EF \parallel AB$ , el triángulo $FEC$ es semejante al triángulo $ABC$ , que es isósceles, así que $FE = FC$ .

La mitad del perímetro del paralelogramo $ADEF$ es $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28$ . El perímetro completo es $56$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $EF \parallel AB,$ triangle $FEC$ is similar to triangle $ABC,$ which is isosceles, so $FE = FC.$

Half the perimeter of parallelogram $ADEF$ is $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28.$ The entire perimeter is $56.$

Thus, the correct answer is C.

10.

Sea $S$ el conjunto de los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{1}{n}$ tiene la representación decimal periódica $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots$ , con $a$ y $b$ dígitos distintos. ¿Cuál es la suma de los elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\dfrac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S?$

$11$

$44$

$110$

$143$

$155$

Conceptos:decimal periódico factor

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Si $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab}$ , entonces $\dfrac{99}{n} = \overline{ab}$ , un número de dos dígitos. Los divisores positivos de $99$ son $1, 3, 9, 11, 33, 99$ .

Solo $n = 11, 33, 99$ hacen que $\dfrac{99}{n}$ sea igual a $09, 03, 01$ , que tienen dos dígitos distintos. La suma pedida es $11 + 33 + 99 = 143$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ then $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ a two-digit number. The positive divisors of $99$ are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Only $n = 11, 33, 99$ make $\dfrac{99}{n}$ equal to $09, 03, 01,$ which have two different digits. The requested sum is $11 + 33 + 99 = 143.$

Thus, the correct answer is D.

11.

El triángulo $ABC$ es equilátero con $AB = 1$ . Los puntos $E$ y $G$ están en $\overline{AC}$ y los puntos $D$ y $F$ están en $\overline{AB}$ , de modo que tanto $\overline{DE}$ como $\overline{FG}$ son paralelos a $\overline{BC}$ . Además, el triángulo $ADE$ y los trapecios $DFGE$ y $FBCG$ tienen todos el mismo perímetro. ¿Cuánto vale $DE + FG$ ?

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB = 1.$ Points $E$ and $G$ are on $\overline{AC}$ and points $D$ and $F$ are on $\overline{AB}$ such that both $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ are parallel to $\overline{BC}.$ Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE + FG?$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{21}{13}$

$\dfrac{13}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

Conceptos:triángulo equilátero rectas paralelas sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Sean $x = DE$ e $y = FG$ . Los cortes paralelos hacen que las regiones pequeñas sean triángulos equiláteros o trapecios isósceles, así que los perímetros son $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Igualándolos, $3x = 3y - x$ da $4x = 3y$ , y $3x = 3 - y$ . Resolviendo se obtiene $x = \tfrac{9}{13}$ e $y = \tfrac{12}{13}$ , así que $DE + FG = \tfrac{21}{13}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x = DE$ and $y = FG.$ The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Setting them equal, $3x = 3y - x$ gives $4x = 3y,$ and $3x = 3 - y.$ Solving yields $x = \tfrac{9}{13}$ and $y = \tfrac{12}{13},$ so $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Los ángulos de cierto triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de los lados son $4, 5$ y $x$ . La suma de los posibles valores de $x$ es igual a $a + \sqrt{b} + \sqrt{c}$ , donde $a, b$ y $c$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are $4, 5,$ and $x.$ The sum of the possible values of $x$ equals $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ where $a, b,$ and $c$ are positive integers. What is $a + b + c?$

$36$

$38$

$40$

$42$

$44$

Conceptos:sucesión aritmética ley de los cosenos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

Si los ángulos son $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta$ , su suma $3\alpha = 180^\circ$ da $\alpha = 60^\circ$ , así que uno de los ángulos es $60^\circ$ .

Si $x$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , la Ley de Cosenos da $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ así que $x = \sqrt{21}$ .

Si $5$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , entonces $25 = x^2 - 4x + 16$ , cuya solución positiva es $x = 2 + \sqrt{13}$ . Si $4$ se opone a dicho ángulo, entonces $16 = x^2 - 5x + 25$ no tiene solución real.

La suma de los posibles valores es $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}$ , así que $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the angles are $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,$ their sum $3\alpha = 180^\circ$ gives $\alpha = 60^\circ,$ so one angle is $60^\circ.$

If $x$ is opposite the $60^\circ$ angle, the Law of Cosines gives $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ so $x = \sqrt{21}.$

If $5$ is opposite the $60^\circ$ angle, then $25 = x^2 - 4x + 16,$ whose positive solution is $x = 2 + \sqrt{13}.$ If $4$ is opposite, then $16 = x^2 - 5x + 25$ has no real solution.

The sum of the possible values is $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},$ so $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.$

Thus, the correct answer is A.

13.

Sean los puntos $A = (0, 0)$ , $B = (1, 2)$ , $C = (3, 3)$ y $D = (4, 0)$ . El cuadrilátero $ABCD$ se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por $A$ . Esta recta corta a $\overline{CD}$ en el punto $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ , donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

Let points $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ and $D = (4, 0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p + q + r + s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

Conceptos:fórmula del cordón geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

Por la fórmula del cordón de zapato, el área de $ABCD$ es $\tfrac{15}{2}$ . Sea $G$ el punto donde la recta corta a $\overline{CD}$ . El triángulo $ADG$ debe tener área $\tfrac{15}{4}$ .

Como $AD = 4$ está sobre el eje $x$ , $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ da $y_G = \tfrac{15}{8}$ . La recta $CD$ es $y = -3(x - 4)$ , así que $x_G = \tfrac{27}{8}$ .

Entonces $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the shoelace formula, the area of $ABCD$ is $\tfrac{15}{2}.$ Let the line meet $\overline{CD}$ at $G.$ Triangle $ADG$ must have area $\tfrac{15}{4}.$

Since $AD = 4$ lies on the $x$ -axis, $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ gives $y_G = \tfrac{15}{8}.$ Line $CD$ is $y = -3(x - 4),$ so $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Then $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Thus, the correct answer is B.

14.

La sucesión $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ es una progresión aritmética. ¿Cuánto vale $x$ ?

The sequence $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ is an arithmetic progression. What is $x?$

$125\sqrt{3}$

$270$

$162\sqrt{5}$

$434$

$225\sqrt{6}$

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Como los logaritmos están en progresión aritmética, $162, x, y, z, 1250$ es una sucesión geométrica. Su razón común $r$ satisface $162 r^4 = 1250$ , así que $r^4 = \tfrac{625}{81}$ y $r = \tfrac53$ .

Por consiguiente $x = 162\cdot\tfrac53 = 270$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because the logarithms are in arithmetic progression, $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence. Its common ratio $r$ satisfies $162 r^4 = 1250,$ so $r^4 = \tfrac{625}{81}$ and $r = \tfrac53.$

Therefore $x = 162\cdot\tfrac53 = 270.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Los conejos Peter y Pauline tienen tres crías: Flopsie, Mopsie y Cottontail. Estos cinco conejos se van a distribuir en cuatro tiendas de mascotas distintas de modo que ninguna tienda reciba a la vez a un padre y a una cría. No se exige que cada tienda reciba un conejo. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer esto?

Rabbits Peter and Pauline have three offspring—Flopsie, Mopsie, and Cottontail. These five rabbits are to be distributed to four different pet stores so that no store gets both a parent and a child. It is not required that every store gets a rabbit. In how many different ways can this be done?

$96$

$108$

$156$

$204$

$372$

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Si los dos padres comparten tienda, hay $4$ opciones para ella, y cada cría debe ir a una de las otras tres tiendas: $4\cdot 3^3 = 108$ maneras.

Si los padres van a tiendas distintas, hay $4\cdot 3 = 12$ opciones, y cada cría debe ir a una de las dos tiendas restantes: $12\cdot 2^3 = 96$ maneras.

El total es $108 + 96 = 204$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the two parents share a store, there are $4$ choices for it, and each child must go to one of the other three stores: $4\cdot 3^3 = 108$ ways.

If the parents go to different stores, there are $4\cdot 3 = 12$ choices, and each child must go to one of the two remaining stores: $12\cdot 2^3 = 96$ ways.

The total is $108 + 96 = 204.$

Thus, the correct answer is D.

16.

$A$ , $B$ y $C$ son tres montones de piedras. El peso medio de las piedras en $A$ es $40$ libras, el peso medio de las piedras en $B$ es $50$ libras, el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $B$ es $43$ libras, y el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $C$ es $44$ libras. ¿Cuál es el mayor valor entero posible para el peso medio, en libras, de las piedras en los montones combinados $B$ y $C$ ?

$A,$ $B,$ and $C$ are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in $A$ is $40$ pounds, the mean weight of the rocks in $B$ is $50$ pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $B$ is $43$ pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $C$ is $44$ pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles $B$ and $C?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Sean $a, b, c$ las cantidades de piedras en los montones. De $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43$ , obtenemos $7b = 3a$ , así que $a = 7k$ y $b = 3k$ .

Sea $\mu_{BC}$ la media de $B$ y $C$ . Usando la media $44$ de $A, C$ para expresar $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c}$ , hallamos $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c}$ , así que $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k$ .

Como $B$ es más pesado que $A$ , la media de $B$ y $C$ supera $44$ , lo que obliga a $178 - 3\mu_{BC} \gt 0$ , es decir $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13$ . El valor $59$ es alcanzable, así que la mayor media entera es $59$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of rocks in the piles. From $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ we get $7b = 3a,$ so $a = 7k$ and $b = 3k.$

Let $\mu_{BC}$ be the mean of $B$ and $C.$ Using the $A, C$ mean $44$ to express $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ we find $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ so $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Since $B$ is heavier than $A,$ the mean of $B$ and $C$ exceeds $44,$ forcing $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ i.e. $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ The value $59$ is attainable, so the greatest integer mean is $59.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Un grupo de $12$ piratas acuerda repartirse un cofre del tesoro lleno de monedas de oro de la siguiente manera. El $k$ -ésimo pirata en tomar su parte se lleva $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12$ -ésimo pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k$ th pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12$ th pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Conceptos:divisibilidad factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

Para $1 \le k \le 11$ , el número de monedas antes de que el $k$ -ésimo pirata tome su parte es $\dfrac{12}{12 - k}$ veces el número posterior. Así que si quedan $n$ monedas para el $12$ -ésimo pirata, el conteo inicial es $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

El menor $n$ que hace de esto un entero positivo es $5^2\cdot 7\cdot 11 = 1925$ , y se comprueba que cada pirata anterior recibe entonces un número entero de monedas. El $12$ -ésimo pirata recibe $1925$ monedas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1 \le k \le 11,$ the number of coins before the $k$ th pirate takes a share is $\dfrac{12}{12 - k}$ times the number afterward. So if $n$ coins are left for the $12$ th pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

The smallest $n$ making this a positive integer is $5^2\cdot 7\cdot 11 = 1925,$ and one checks each earlier pirate then receives a whole number of coins. The $12$ th pirate receives $1925$ coins.

Thus, the correct answer is D.

18.

Seis esferas de radio $1$ se colocan de modo que sus centros están en los vértices de un hexágono regular de lado $2$ . Las seis esferas son tangentes internamente a una esfera mayor cuyo centro es el centro del hexágono. Una octava esfera es tangente externamente a las seis esferas más pequeñas y tangente internamente a la esfera mayor. ¿Cuál es el radio de esta octava esfera?

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt{3}$

$2$

Conceptos:esfera Geometría 3D Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Cada centro pequeño está a $2$ del centro $O$ , y las esferas pequeñas tienen radio $1$ , así que la esfera grande tiene radio $3$ . Sea $r$ el radio de la octava esfera y $G$ su centro, a distancia $x$ de $O$ ; entonces $x + r = 3$ .

Como $G$ es equidistante de dos vértices opuestos del hexágono, $GO$ es perpendicular a la recta que va a un vértice, y el Teorema de Pitágoras da $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $2r + 1 = 13 - 6r$ , así que $r = \tfrac32$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each small center is $2$ from the center $O,$ and the small spheres have radius $1,$ so the large sphere has radius $3.$ Let the eighth sphere have radius $r$ and center $G$ at distance $x$ from $O;$ then $x + r = 3.$

Since $G$ is equidistant from two opposite hexagon vertices, $GO$ is perpendicular to the line to a vertex, and the Pythagorean Theorem gives $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

This simplifies to $2r + 1 = 13 - 6r,$ so $r = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is B.

19.

En el $\triangle ABC$ , $AB = 86$ y $AC = 97$ . Una circunferencia con centro $A$ y radio $AB$ corta a $\overline{BC}$ en los puntos $B$ y $X$ . Además, $\overline{BX}$ y $\overline{CX}$ tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC = 97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2200

Solución:

Por el teorema de la potencia de un punto, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ , donde $AB$ es el radio. Así que $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013$ .

Como $BC = BX + CX$ y $CX$ son enteros, son factores complementarios de $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ . Dado que $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$ , la única posibilidad es $CX = 33$ y $BC = 61$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ where $AB$ is the radius. Thus $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Since $BC = BX + CX$ and $CX$ are integers, they are complementary factors of $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ As $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ the only possibility is $CX = 33$ and $BC = 61.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Sea $S$ el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}$ . Para $a, b \in S$ , define $a \succ b$ para indicar que $0 \lt a - b \le 9$ o $b - a \gt 9$ . ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de elementos de $S$ tienen la propiedad de que $x \succ y$ , $y \succ z$ y $z \succ x$ ?

Let $S$ be the set $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ For $a, b \in S,$ define $a \succ b$ to mean that either $0 \lt a - b \le 9$ or $b - a \gt 9.$ How many ordered triples $(x, y, z)$ of elements of $S$ have the property that $x \succ y,$ $y \succ z,$ and $z \succ x?$

$810$

$855$

$900$

$950$

$988$

Conceptos:aritmética modular conteo básico

Nivel de dificultad: 2220

Solución:

Leyendo los elementos módulo $19$ , la relación $a \succ b$ se cumple exactamente cuando $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$ .

Hay $19$ opciones para $x$ . Una vez fijado $x$ , toma $y = x + i$ para algún $1 \le i \le 9$ . Entonces $z$ debe satisfacer $x + 10 \le z \le x + 9 + i$ , lo que da $i$ opciones.

El total es $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the elements modulo $19,$ the relation $a \succ b$ holds exactly when $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.$

There are $19$ choices for $x.$ Once $x$ is fixed, take $y = x + i$ for some $1 \le i \le 9.$ Then $z$ must satisfy $x + 10 \le z \le x + 9 + i,$ giving $i$ choices.

The total is $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Considera $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

¿Cuál de los siguientes intervalos contiene a $A$ ?

Consider $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

Which of the following intervals contains $A?$

$(\log 2016, \log 2017)$

$(\log 2017, \log 2018)$

$(\log 2018, \log 2019)$

$(\log 2019, \log 2020)$

$(\log 2020, \log 2021)$

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite inducción

Nivel de dificultad: 2210

Solución:

Sea $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots))$ . Se comprueba que $0 \lt A_n \lt 1$ para $2 \le n \le 9$ , luego $1 \lt A_n \lt 2$ para $10 \le n \le 98$ , luego $2 \lt A_n \lt 3$ para $99 \le n \le 997$ , y $3 \lt A_n \lt 4$ para $998 \le n \le 9996$ .

Por consiguiente $3 \lt A_{2012} \lt 4$ , así que $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ y en consecuencia $\log 2016 \lt A \lt \log 2017$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ One checks $0 \lt A_n \lt 1$ for $2 \le n \le 9,$ then $1 \lt A_n \lt 2$ for $10 \le n \le 98,$ then $2 \lt A_n \lt 3$ for $99 \le n \le 997,$ and $3 \lt A_n \lt 4$ for $998 \le n \le 9996.$

Hence $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ and therefore $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Un palíndromo es un número entero no negativo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda cuando se escribe en base $10$ sin ceros a la izquierda. Se elige uniformemente al azar un palíndromo $n$ de $6$ dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que $\dfrac{n}{11}$ sea también un palíndromo?

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base $10$ with no leading zeros. A $6$ -digit palindrome $n$ is chosen uniformly at random. What is the probability that $\dfrac{n}{11}$ is also a palindrome?

$\dfrac{8}{25}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{11}{30}$

Conceptos:palíndromo probabilidad básica dígitos

Nivel de dificultad: 2440

Solución:

Sea $m = \dfrac{n}{11}$ . Un $m$ de $4$ dígitos lleva a una contradicción, así que $m$ es un palíndromo de $5$ dígitos $\overline{abcba}$ .

Escribiendo $n = 11m$ , no hay acarreos exactamente cuando $a + b \le 9$ y $b + c \le 9$ , y solo entonces $n$ es un palíndromo. El número de $m$ válidos es $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

Hay $9\cdot 10^2 = 900$ palíndromos de seis dígitos, así que la probabilidad es $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $m = \dfrac{n}{11}.$ A $4$ -digit $m$ leads to a contradiction, so $m$ is a $5$ -digit palindrome $\overline{abcba}.$

Writing $n = 11m,$ there are no carries exactly when $a + b \le 9$ and $b + c \le 9,$ and only then is $n$ a palindrome. The number of valid $m$ is $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

There are $9\cdot 10^2 = 900$ six-digit palindromes, so the probability is $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, the correct answer is E.

23.

$ABCD$ es un cuadrado de lado $\sqrt{3} + 1$ . El punto $P$ está en $\overline{AC}$ tal que $AP = \sqrt{2}$ . La región cuadrada delimitada por $ABCD$ se rota $90^\circ$ en sentido antihorario con centro $P$ , barriendo una región cuya área es $\dfrac{1}{c}(a\pi + b)$ , donde $a, b$ y $c$ son enteros positivos y $\gcd(a, b, c) = 1$ . ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

$ABCD$ is a square of side length $\sqrt{3} + 1.$ Point $P$ is on $\overline{AC}$ such that $AP = \sqrt{2}.$ The square region bounded by $ABCD$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise with center $P,$ sweeping out a region whose area is $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ where $a, b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

Conceptos:transformación sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Sean $A', B', C', D'$ las imágenes de los vértices bajo la rotación. La región barrida se descompone en cuatro sectores circulares y cuatro triángulos.

Como $AP = \sqrt{2}$ y $PC = AC - AP = \sqrt{6}$ , los sectores en $A$ y $C$ tienen áreas $\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{2}$ . Se halla que $PB = 2$ , así que los dos sectores de $60^\circ$ a lo largo de $BC$ tienen cada uno área $\tfrac{2\pi}{3}$ . Los cuatro triángulos juntos contribuyen $(\sqrt{3} - 1) + (3 - \sqrt{3}) = 2$ .

El área total es $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ así que $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $A', B', C', D'$ be the images of the vertices under the rotation. The swept region decomposes into four circular sectors and four triangles.

Since $AP = \sqrt{2}$ and $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ the sectors at $A$ and $C$ have areas $\tfrac{\pi}{2}$ and $\tfrac{3\pi}{2}.$ One finds $PB = 2,$ so the two $60^\circ$ sectors along $BC$ each have area $\tfrac{2\pi}{3}.$ The four triangles together contribute $(\sqrt{3} - 1) + (3 - \sqrt{3}) = 2.$

The total area is $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ so $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Se eligen al azar tres segmentos distintos entre los segmentos cuyos extremos son los vértices de un $12$ -ágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que las longitudes de estos tres segmentos sean las tres longitudes de los lados de un triángulo con área positiva?

Three distinct segments are chosen at random among the segments whose endpoints are the vertices of a regular $12$ -gon. What is the probability that the lengths of these three segments are the three side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{553}{715}$

$\dfrac{443}{572}$

$\dfrac{111}{143}$

$\dfrac{81}{104}$

$\dfrac{223}{286}$

Conceptos:polígono regular desigualdad triangular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Inscribe el $12$ -ágono en un círculo unitario. Las longitudes de los segmentos son $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ para $1 \le k \le 6$ , con $12$ segmentos de cada longitud $d_1, \ldots, d_5$ y $6$ de longitud $d_6$ .

Comparando sumas, las ternas de índices prohibidas $(a, b, c)$ con $d_a \le d_b \le d_c$ y $d_c \ge d_a + d_b$ son $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Contando las selecciones de segmentos correspondientes y dividiendo por $\binom{66}{3}$ se obtiene una probabilidad de fracaso de $\dfrac{63}{286}$ , así que la respuesta es $1 - \dfrac{63}{286} = \dfrac{223}{286}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inscribe the $12$ -gon in a unit circle. The segment lengths are $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ for $1 \le k \le 6,$ with $12$ segments of each length $d_1, \ldots, d_5$ and $6$ of length $d_6.$

Comparing sums, the forbidden index triples $(a, b, c)$ with $d_a \le d_b \le d_c$ and $d_c \ge d_a + d_b$ are $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Counting the corresponding segment selections and dividing by $\binom{66}{3}$ gives a failure probability of $\dfrac{63}{286},$ so the answer is $1 - \dfrac{63}{286} = \dfrac{223}{286}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definida por $f(z) = z^2 + iz + 1$ . ¿Cuántos números complejos $z$ hay tales que $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ y tanto la parte real como la parte imaginaria de $f(z)$ son enteros con valor absoluto a lo sumo $10$ ?

Let $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ be defined by $f(z) = z^2 + iz + 1.$ How many complex numbers $z$ are there such that $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ and both the real and the imaginary parts of $f(z)$ are integers with absolute value at most $10?$

$399$

$401$

$413$

$431$

$441$

Conceptos:número complejo punto reticular

Nivel de dificultad: 2790

Solución:

En el semiplano superior $H$ , si $f(z_1) = f(z_2)$ entonces $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ como $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0$ , el factor $z_1 + z_2 + i \ne 0$ , así que $f$ es inyectiva en $H$ .

La imagen es $f(H)$ $= \small\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\}$ . Así que contamos los $w = a + ib$ con $a, b \in \mathbb{Z}$ , $|a|, |b| \le 10$ , y $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

On the upper half-plane $H,$ if $f(z_1) = f(z_2)$ then $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ since $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0,$ the factor $z_1 + z_2 + i \ne 0,$ so $f$ is one-to-one on $H.$

The image is $f(H)$ $= \small\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\}.$ Thus we count $w = a + ib$ with $a, b \in \mathbb{Z},$ $|a|, |b| \le 10,$ and $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.