Soluciones del 2013 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $10.$ El punto $E$ está en $\overline{BC},$ y el área del $\triangle ABE$ es $40.$ ¿Cuánto vale $BE$ ?

Square $ABCD$ has side length $10.$ Point $E$ is on $\overline{BC},$ and the area of $\triangle ABE$ is $40.$ What is $BE?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:área del triángulo triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Los catetos del triángulo rectángulo $ABE$ son $AB$ y $BE$ .

The legs of right triangle $ABE$ are $AB$ and $BE$

Pista grande:

Plantea $\tfrac12\cdot AB\cdot BE = 40$ con $AB = 10$ .

Set $\tfrac12\cdot AB\cdot BE = 40$ with $AB = 10$

Solución:

Los catetos del triángulo rectángulo $ABE$ son $AB = 10$ y $BE.$ De $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40,$ obtenemos $BE = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The legs of right triangle $ABE$ are $AB = 10$ and $BE.$ From $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40,$ we get $BE = 8.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Un equipo de softball jugó diez partidos, anotando $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ y $10$ carreras. Perdieron por una carrera en exactamente cinco partidos. En cada uno de sus otros partidos, anotaron el doble de carreras que su oponente. ¿Cuántas carreras anotaron en total sus oponentes?

A softball team played ten games, scoring $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10$ runs. They lost by one run in exactly five games. In each of their other games, they scored twice as many runs as their opponent. How many total runs did their opponents score?

$35$

$40$

$45$

$50$

$55$

Conceptos:paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

Anotar el doble que el oponente solo es posible cuando la propia puntuación del equipo es par

Scoring twice the opponent is only possible when the team’s own score is even

Pista grande:

Las cinco derrotas por una carrera son los partidos con puntuación impar; cada oponente anotó una más.

The five one-run losses are the odd-scored games; each opponent scored one more

Solución:

El equipo solo puede anotar el doble de carreras que su oponente cuando su propia puntuación es par. Esos partidos tienen puntuaciones $2, 4, 6, 8, 10,$ así que sus oponentes anotaron $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

Los otros cinco partidos tuvieron puntuaciones $1, 3, 5, 7, 9$ y fueron derrotas por una carrera, así que sus oponentes anotaron $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$ El total es $15 + 30 = 45.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The team can only score twice as many runs as its opponent when its own score is even. Those games have scores $2, 4, 6, 8, 10,$ so their opponents scored $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

The other five games had scores $1, 3, 5, 7, 9$ and were one-run losses, so their opponents scored $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$ The total is $15 + 30 = 45.$

Thus, the correct answer is C.

3.

Un ramo de flores contiene rosas rosadas, rosas rojas, claveles rosados y claveles rojos. Un tercio de las flores rosadas son rosas, tres cuartos de las flores rojas son claveles, y seis décimos de las flores son rosadas. ¿Qué porcentaje de las flores son claveles?

A flower bouquet contains pink roses, red roses, pink carnations, and red carnations. One third of the pink flowers are roses, three fourths of the red flowers are carnations, and six tenths of the flowers are pink. What percent of the flowers are carnations?

$15$

$30$

$40$

$60$

$70$

Conceptos:fracción porcentaje

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Seis décimos de las flores son rosadas y cuatro décimos son rojas

Six tenths of the flowers are pink and four tenths are red

Pista grande:

Dos tercios de las rosadas y tres cuartos de las rojas son claveles; suma las dos cantidades

Two thirds of the pink and three fourths of the red are carnations; add the two amounts

Solución:

Seis décimos de las flores son rosadas y cuatro décimos son rojas. Como dos tercios de las flores rosadas son claveles, los claveles rosados constituyen $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ de las flores.

Como tres cuartos de las flores rojas son claveles, los claveles rojos constituyen $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ de las flores. En conjunto, los claveles son $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Six tenths of the flowers are pink and four tenths are red. Since two thirds of the pink flowers are carnations, pink carnations make up $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ of the flowers.

Since three fourths of the red flowers are carnations, red carnations make up $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ of the flowers. Together the carnations are $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%.$

Thus, the correct answer is E.

4.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?$

What is the value of $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?$

$-1$

$1$

$\dfrac{5}{3}$

$2013$

$2^{4024}$

Conceptos:exponente factorización

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Saca $2^{2012}$ como factor común tanto en el numerador como en el denominador.

Factor $2^{2012}$ out of both the numerator and the denominator

Pista grande:

La razón se reduce a $\dfrac{2^2 + 1}{2^2 - 1}$ .

The ratio reduces to $\dfrac{2^2 + 1}{2^2 - 1}$

Solución:

Sacando $2^{2012}$ como factor de cada término se obtiene $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring $2^{2012}$ from each term gives $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

5.

Tom, Dorothy y Sammy se fueron de vacaciones y acordaron repartir los gastos por igual. Durante el viaje Tom pagó $\$105,$ Dorothy pagó $\$125$ y Sammy pagó $\$175.$ Para compartir los gastos por igual, Tom le dio a Sammy $t$ dólares, y Dorothy le dio a Sammy $d$ dólares. ¿Cuánto vale $t - d$ ?

Tom, Dorothy, and Sammy went on a vacation and agreed to split the costs evenly. During their trip Tom paid $\$105,$ Dorothy paid $\$125,$ and Sammy paid $\$175.$ In order to share the costs equally, Tom gave Sammy $t$ dollars, and Dorothy gave Sammy $d$ dollars. What is $t - d?$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:media manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

La parte justa de cada persona es un tercio del total gastado

Each person’s fair share is one third of the total spent

Pista grande:

$t$ y $d$ miden cuánto le falta a Tom y a Dorothy, respectivamente, para alcanzar su parte justa

$t$ and $d$ measure how much Tom and Dorothy each fall short of their fair share

Solución:

El total gastado fue $105 + 125 + 175 = 405,$ así que la parte justa de cada uno es $\tfrac13\cdot 405 = 135$ dólares.

Entonces $t = 135 - 105 = 30$ y $d = 135 - 125 = 10,$ así que $t - d = 30 - 10 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The total spent was $105 + 125 + 175 = 405,$ so each fair share is $\tfrac13\cdot 405 = 135$ dollars.

Then $t = 135 - 105 = 30$ and $d = 135 - 125 = 10,$ so $t - d = 30 - 10 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

6.

En un partido de baloncesto reciente, Shenille solo intentó tiros de tres puntos y tiros de dos puntos. Acertó el $20\%$ de sus tiros de tres puntos y el $30\%$ de sus tiros de dos puntos. Shenille intentó $30$ tiros. ¿Cuántos puntos anotó?

In a recent basketball game, Shenille attempted only three-point shots and two-point shots. She was successful on $20\%$ of her three-point shots and $30\%$ of her two-point shots. Shenille attempted $30$ shots. How many points did she score?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Conceptos:porcentaje invariante

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de intentos de tres puntos, de modo que $30 - x$ son intentos de dos puntos

Let $x$ be the number of three-point attempts, so $30 - x$ are two-point attempts

Pista grande:

Su puntuación es $0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x);$ los términos con $x$ se cancelan

Her score is $0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x);$ the $x$ terms cancel

Solución:

Si Shenille intentó $x$ tiros de tres puntos y $30 - x$ tiros de dos puntos, anotó $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If Shenille attempted $x$ three-point shots and $30 - x$ two-point shots, she scored $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ points.

Thus, the correct answer is B.

7.

La sucesión $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $\ldots,$ $S_{10}$ tiene la propiedad de que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. Es decir, $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ para } n \ge 3.$ Supongamos que $S_9 = 110$ y $S_7 = 42.$ ¿Cuánto vale $S_4$ ?

The sequence $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $\ldots,$ $S_{10}$ has the property that every term beginning with the third is the sum of the previous two. That is, $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ for } n \ge 3.$ Suppose that $S_9 = 110$ and $S_7 = 42.$ What is $S_4?$

$4$

$6$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:recursión trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Reescribe la regla como $S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$ y desciende paso a paso

Rearrange the rule to $S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$ and step downward

Pista grande:

A partir de $S_9 = S_7 + S_8$ halla $S_8,$ luego desciende hasta $S_4$ .

From $S_9 = S_7 + S_8$ find $S_8,$ then work down to $S_4$

Solución:

Como $S_9 = S_7 + S_8,$ obtenemos $S_8 = 110 - 42 = 68.$ Luego $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26,$ $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16,$ y $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $S_9 = S_7 + S_8,$ we get $S_8 = 110 - 42 = 68.$ Then $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26,$ $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16,$ and $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Dado que $x$ e $y$ son números reales distintos y no nulos tales que $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ ¿cuánto vale $xy$ ?

Given that $x$ and $y$ are distinct nonzero real numbers such that $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ what is $xy?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

$4$

Conceptos:manipulación algebraica factorización

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Multiplica ambos lados por $xy$ para eliminar las fracciones

Multiply both sides by $xy$ to clear the fractions

Pista grande:

El resultado se factoriza como $(x - y)(xy - 2) = 0$

The result factors as $(x - y)(xy - 2) = 0$

Solución:

Multiplicando por $xy$ se obtiene $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ así que $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Como $x \ne y,$ se sigue que $xy = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by $xy$ gives $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ so $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Since $x \ne y,$ it follows that $xy = 2.$

Thus, the correct answer is D.

9.

En el $\triangle ABC,$ $AB = AC = 28$ y $BC = 20.$ Los puntos $D,$ $E,$ y $F$ están en los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{DE}$ y $\overline{EF}$ son paralelos a $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo $ADEF$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = AC = 28$ and $BC = 20.$ Points $D,$ $E,$ and $F$ are on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ and $\overline{EF}$ are parallel to $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. What is the perimeter of parallelogram $ADEF?$

$48$

$52$

$56$

$60$

$72$

Conceptos:semejanza triángulo isósceles paralelogramo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Como $EF \parallel AB,$ el triángulo $FEC$ es semejante a $ABC$ y por tanto isósceles con $FE = FC$ .

Since $EF \parallel AB,$ triangle $FEC$ is similar to $ABC$ and hence isosceles with $FE = FC$

Pista grande:

La mitad del perímetro es igual a $AF + FE = AF + FC = AC$ .

Half the perimeter equals $AF + FE = AF + FC = AC$

Solución:

Como $EF \parallel AB,$ el triángulo $FEC$ es semejante al triángulo $ABC,$ que es isósceles, así que $FE = FC.$

La mitad del perímetro del paralelogramo $ADEF$ es $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28.$ El perímetro completo es $56.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $EF \parallel AB,$ triangle $FEC$ is similar to triangle $ABC,$ which is isosceles, so $FE = FC.$

Half the perimeter of parallelogram $ADEF$ is $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28.$ The entire perimeter is $56.$

Thus, the correct answer is C.

10.

Sea $S$ el conjunto de los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{1}{n}$ tiene la representación decimal periódica $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ con $a$ y $b$ dígitos distintos. ¿Cuál es la suma de los elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\dfrac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S?$

$11$

$44$

$110$

$143$

$155$

Conceptos:decimal periódico factor

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Un bloque periódico de dos dígitos significa que $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ .

A two-digit repeating block means $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$

Pista grande:

Así que $\dfrac{99}{n}$ es el número de dos dígitos $\overline{ab};$ revisa los divisores de $99$

So $\dfrac{99}{n}$ is the two-digit number $\overline{ab};$ check the divisors of $99$

Solución:

Si $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ entonces $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ un número de dos dígitos. Los divisores positivos de $99$ son $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Solo $n = 11, 33, 99$ hacen que $\dfrac{99}{n}$ sea igual a $09, 03, 01,$ que tienen dos dígitos distintos. La suma pedida es $11 + 33 + 99 = 143.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ then $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ a two-digit number. The positive divisors of $99$ are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Only $n = 11, 33, 99$ make $\dfrac{99}{n}$ equal to $09, 03, 01,$ which have two different digits. The requested sum is $11 + 33 + 99 = 143.$

Thus, the correct answer is D.

11.

El triángulo $ABC$ es equilátero con $AB = 1.$ Los puntos $E$ y $G$ están en $\overline{AC}$ y los puntos $D$ y $F$ están en $\overline{AB}$ , de modo que tanto $\overline{DE}$ como $\overline{FG}$ son paralelos a $\overline{BC}.$ Además, el triángulo $ADE$ y los trapecios $DFGE$ y $FBCG$ tienen todos el mismo perímetro. ¿Cuánto vale $DE + FG$ ?

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB = 1.$ Points $E$ and $G$ are on $\overline{AC}$ and points $D$ and $F$ are on $\overline{AB}$ such that both $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ are parallel to $\overline{BC}.$ Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE + FG?$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{21}{13}$

$\dfrac{13}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

Conceptos:triángulo equilátero rectas paralelas sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Sean $x = DE$ e $y = FG,$ y escribe cada uno de los tres perímetros en términos de $x$ e $y$

Let $x = DE$ and $y = FG,$ and write each of the three perimeters in terms of $x$ and $y$

Pista grande:

Los tres perímetros iguales dan $3x = 3y - x = 3 - y$ .

The three equal perimeters give $3x = 3y - x = 3 - y$

Solución:

Sean $x = DE$ e $y = FG.$ Los cortes paralelos hacen que las regiones pequeñas sean triángulos equiláteros o trapecios isósceles, así que los perímetros son $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Igualándolos, $3x = 3y - x$ da $4x = 3y,$ y $3x = 3 - y.$ Resolviendo se obtiene $x = \tfrac{9}{13}$ e $y = \tfrac{12}{13},$ así que $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x = DE$ and $y = FG.$ The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Setting them equal, $3x = 3y - x$ gives $4x = 3y,$ and $3x = 3 - y.$ Solving yields $x = \tfrac{9}{13}$ and $y = \tfrac{12}{13},$ so $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Los ángulos de cierto triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de los lados son $4,$ $5,$ y $x.$ La suma de los posibles valores de $x$ es igual a $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are $4,$ $5,$ and $x.$ The sum of the possible values of $x$ equals $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. What is $a + b + c?$

$36$

$38$

$40$

$42$

$44$

Conceptos:sucesión aritmética ley de los cosenos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Los ángulos en progresión aritmética que suman $180^\circ$ obligan a que el ángulo del medio sea $60^\circ$ .

Angles in arithmetic progression summing to $180^\circ$ force the middle angle to be $60^\circ$

Pista grande:

Aplica la Ley de Cosenos en cada caso según qué lado se opone al ángulo de $60^\circ$

Apply the Law of Cosines in each case for which side is opposite the $60^\circ$ angle

Solución:

Si los ángulos son $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta$ , su suma $3\alpha = 180^\circ$ da $\alpha = 60^\circ$ , así que uno de los ángulos es $60^\circ$ .

Si $x$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , la Ley de Cosenos da $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ así que $x = \sqrt{21}$ .

Si $5$ se opone al ángulo de $60^\circ$ , entonces $25 = x^2 - 4x + 16$ , cuya solución positiva es $x = 2 + \sqrt{13}$ . Si $4$ se opone a dicho ángulo, entonces $16 = x^2 - 5x + 25$ no tiene solución real.

La suma de los posibles valores es $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}$ , así que $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the angles are $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,$ their sum $3\alpha = 180^\circ$ gives $\alpha = 60^\circ,$ so one angle is $60^\circ.$

If $x$ is opposite the $60^\circ$ angle, the Law of Cosines gives $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ so $x = \sqrt{21}.$

If $5$ is opposite the $60^\circ$ angle, then $25 = x^2 - 4x + 16,$ whose positive solution is $x = 2 + \sqrt{13}.$ If $4$ is opposite, then $16 = x^2 - 5x + 25$ has no real solution.

The sum of the possible values is $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},$ so $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.$

Thus, the correct answer is A.

13.

Sean los puntos $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ y $D = (4, 0).$ El cuadrilátero $ABCD$ se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por $A.$ Esta recta corta a $\overline{CD}$ en el punto $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

Let points $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ and $D = (4, 0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p + q + r + s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

Conceptos:fórmula del cordón geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Halla el área de $ABCD;$ la recta de corte forma un triángulo sobre la base $AD$ con la mitad de esa área

Find the area of $ABCD;$ the cutting line makes a triangle on base $AD$ with half that area

Pista grande:

Con base $AD = 4,$ la altura del triángulo es la coordenada $y$ del punto sobre $CD$

With base $AD = 4,$ the triangle’s height is the $y$ -coordinate of the point on $CD$

Solución:

Por la fórmula del cordón, el área de $ABCD$ es $\tfrac{15}{2}.$ Sea $G$ el punto donde la recta corta a $\overline{CD}.$ El triángulo $ADG$ debe tener área $\tfrac{15}{4}.$

Como $AD = 4$ está sobre el eje $x$ , la ecuación $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ da $y_G = \tfrac{15}{8}.$ La recta $CD$ es $y = -3(x - 4),$ así que $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Entonces $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

By the shoelace formula, the area of $ABCD$ is $\tfrac{15}{2}.$ Let the line meet $\overline{CD}$ at $G.$ Triangle $ADG$ must have area $\tfrac{15}{4}.$

Since $AD = 4$ lies on the $x$ -axis, $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ gives $y_G = \tfrac{15}{8}.$ Line $CD$ is $y = -3(x - 4),$ so $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Then $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Thus, the correct answer is B.

14.

La sucesión $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ es una progresión aritmética. ¿Cuánto vale $x$ ?

The sequence $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ is an arithmetic progression. What is $x?$

$125\sqrt{3}$

$270$

$162\sqrt{5}$

$434$

$225\sqrt{6}$

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Diferencias iguales de logaritmos significan que $162, x, y, z, 1250$ es una sucesión geométrica

Equal differences of logs mean $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence

Pista grande:

Halla la razón común $r$ a partir de $162r^4 = 1250$ .

Find the common ratio $r$ from $162r^4 = 1250$

Solución:

Como los logaritmos están en progresión aritmética, $162, x, y, z, 1250$ es una sucesión geométrica. Su razón común $r$ satisface $162 r^4 = 1250,$ así que $r^4 = \tfrac{625}{81}$ y $r = \tfrac53.$

Por consiguiente $x = 162\cdot\tfrac53 = 270.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because the logarithms are in arithmetic progression, $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence. Its common ratio $r$ satisfies $162 r^4 = 1250,$ so $r^4 = \tfrac{625}{81}$ and $r = \tfrac53.$

Therefore $x = 162\cdot\tfrac53 = 270.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Los conejos Peter y Pauline tienen tres crías: Flopsie, Mopsie y Cottontail. Estos cinco conejos se van a distribuir en cuatro tiendas de mascotas distintas de modo que ninguna tienda reciba a la vez a un padre y a una cría. No se exige que cada tienda reciba un conejo. ¿De cuántas maneras distintas se puede hacer esto?

Rabbits Peter and Pauline have three offspring—Flopsie, Mopsie, and Cottontail. These five rabbits are to be distributed to four different pet stores so that no store gets both a parent and a child. It is not required that every store gets a rabbit. In how many different ways can this be done?

$96$

$108$

$156$

$204$

$372$

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Divide en casos según si los dos padres van a la misma tienda

Split into cases by whether the two parents go to the same store

Pista grande:

Misma tienda: $4$ opciones para los padres y $3^3$ asignaciones de las crías; tiendas distintas: $4\cdot 3$ y $2^3$

Same store: $4$ parent choices and $3^3$ child assignments; different stores: $4\cdot 3$ and $2^3$

Solución:

Si los dos padres comparten tienda, hay $4$ opciones para ella, y cada cría debe ir a una de las otras tres tiendas: $4\cdot 3^3 = 108$ maneras.

Si los padres van a tiendas distintas, hay $4\cdot 3 = 12$ opciones, y cada cría debe ir a una de las dos tiendas restantes: $12\cdot 2^3 = 96$ maneras.

El total es $108 + 96 = 204.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the two parents share a store, there are $4$ choices for it, and each child must go to one of the other three stores: $4\cdot 3^3 = 108$ ways.

If the parents go to different stores, there are $4\cdot 3 = 12$ choices, and each child must go to one of the two remaining stores: $12\cdot 2^3 = 96$ ways.

The total is $108 + 96 = 204.$

Thus, the correct answer is D.

16.

$A,$ $B,$ y $C$ son tres montones de piedras. El peso medio de las piedras en $A$ es $40$ libras, el peso medio de las piedras en $B$ es $50$ libras, el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $B$ es $43$ libras, y el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $C$ es $44$ libras. ¿Cuál es el mayor valor entero posible para el peso medio, en libras, de las piedras en los montones combinados $B$ y $C$ ?

$A,$ $B,$ and $C$ are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in $A$ is $40$ pounds, the mean weight of the rocks in $B$ is $50$ pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $B$ is $43$ pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $C$ is $44$ pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles $B$ and $C?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sean $a, b, c$ las cantidades; la media $43$ de $A,B$ da $7b = 3a$ .

Let $a, b, c$ be the counts; the $A,B$ mean $43$ gives $7b = 3a$

Pista grande:

Escribe la media de $B,C$ en términos de $k$ y $c$ usando $a = 7k,\ b = 3k$ y la media $44$ de $A,C$

Write the $B,C$ mean in terms of $k$ and $c$ using $a = 7k,\ b = 3k$ and the $A,C$ mean $44$

Solución:

Sean $a, b, c$ las cantidades de piedras de los montones. De $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ obtenemos $7b = 3a,$ así que $a = 7k$ y $b = 3k.$

Sea $\mu_{BC}$ la media de $B$ y $C.$ Usando la media $44$ de $A, C$ para expresar $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ hallamos $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ y por tanto $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Como $B$ es más pesado que $A,$ la media de $B$ y $C$ supera $44,$ lo que obliga a $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ es decir, $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ El valor $59$ se alcanza tomando $k=15c;$ entonces el montón $C$ tiene media $464$ y la fórmula anterior da $\mu_{BC}=59.$ Por tanto, la mayor media entera es $59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of rocks in the piles. From $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ we get $7b = 3a,$ so $a = 7k$ and $b = 3k.$

Let $\mu_{BC}$ be the mean of $B$ and $C.$ Using the $A, C$ mean $44$ to express $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ we find $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ so $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Since $B$ is heavier than $A,$ the mean of $B$ and $C$ exceeds $44,$ forcing $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ i.e. $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ The value $59$ is attainable by taking $k=15c;$ then pile $C$ has mean $464$ and the displayed formula gives $\mu_{BC}=59.$ Thus the greatest integer mean is $59.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Un grupo de $12$ piratas acuerda repartirse un cofre del tesoro lleno de monedas de oro de la siguiente manera. El $k$ -ésimo pirata en tomar su parte se lleva $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12$ -ésimo pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k$ th pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12$ th pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Conceptos:divisibilidad factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Antes de que el $k$ -ésimo pirata tome su parte, el cofre contiene $\dfrac{12}{12 - k}$ veces lo que queda después

Before the $k$ th pirate takes a share, the chest holds $\dfrac{12}{12 - k}$ times what remains after

Pista grande:

Si quedan $n$ monedas para el último pirata, el conteo inicial es $\dfrac{12^{11}n}{11!};$ hazlo entero con el menor $n$

If $n$ coins remain for the last pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}n}{11!};$ make it an integer with smallest $n$

Solución:

Para $1 \le k \le 11,$ el número de monedas antes de que el $k$ -ésimo pirata tome su parte es $\dfrac{12}{12 - k}$ veces el número posterior. Por tanto, si quedan $n$ monedas para el $12$ -ésimo pirata, el número inicial es $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

El menor $n$ que hace que esta cantidad sea un entero positivo es $5^2\cdot7\cdot11=1925.$ Antes del pirata $k,$ el número restante es el número inicial multiplicado por $\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}};$ al sustituir este valor de $n$ , se comprueba que es entero para todo $k.$ Por lo tanto, todas las partes son enteras y el $12$ -ésimo pirata recibe $1925$ monedas.

Así, la respuesta correcta es D.

For $1 \le k \le 11,$ the number of coins before the $k$ th pirate takes a share is $\dfrac{12}{12 - k}$ times the number afterward. So if $n$ coins are left for the $12$ th pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

The smallest $n$ making this a positive integer is $5^2\cdot7\cdot11=1925.$ Before pirate $k,$ the remaining count is the initial count multiplied by $\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}};$ substituting this $n$ shows it is an integer for every $k.$ Hence all shares are integral, and the $12$ th pirate receives $1925$ coins.

Thus, the correct answer is D.

18.

Seis esferas de radio $1$ se colocan de modo que sus centros están en los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ Las seis esferas son tangentes internamente a una esfera mayor cuyo centro es el centro del hexágono. Una octava esfera es tangente externamente a las seis esferas más pequeñas y tangente internamente a la esfera mayor. ¿Cuál es el radio de esta octava esfera?

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt{3}$

$2$

Conceptos:esfera Geometría 3D Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

La esfera grande tiene radio $3;$ sea $r$ el radio de la octava esfera y su centro a distancia $x$ del centro, con $x + r = 3$ .

The large sphere has radius $3;$ let the eighth sphere have radius $r$ and center at distance $x$ from the center, with $x + r = 3$

Pista grande:

El centro de una esfera pequeña, el centro $O,$ y el centro de la octava forman un triángulo rectángulo: $(r + 1)^2 = 2^2 + x^2$

A center of a small sphere, the center $O,$ and the eighth center form a right triangle: $(r + 1)^2 = 2^2 + x^2$

Solución:

Cada centro pequeño está a $2$ del centro $O,$ y las esferas pequeñas tienen radio $1,$ así que la esfera grande tiene radio $3.$ Sea $r$ el radio de la octava esfera y $G$ su centro, a distancia $x$ de $O;$ entonces $x + r = 3.$

Como $G$ es equidistante de dos vértices opuestos del hexágono, $GO$ es perpendicular a la recta que va a un vértice, y el Teorema de Pitágoras da $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

Esto se simplifica a $2r + 1 = 13 - 6r,$ así que $r = \tfrac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each small center is $2$ from the center $O,$ and the small spheres have radius $1,$ so the large sphere has radius $3.$ Let the eighth sphere have radius $r$ and center $G$ at distance $x$ from $O;$ then $x + r = 3.$

Since $G$ is equidistant from two opposite hexagon vertices, $GO$ is perpendicular to the line to a vertex, and the Pythagorean Theorem gives $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

This simplifies to $2r + 1 = 13 - 6r,$ so $r = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is B.

19.

En el $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ y $AC = 97.$ Una circunferencia con centro $A$ y radio $AB$ corta a $\overline{BC}$ en los puntos $B$ y $X.$ Además, $\overline{BX}$ y $\overline{CX}$ tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC = 97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

La potencia de un punto desde $C$ da $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ .

Power of a Point from $C$ gives $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$

Pista grande:

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factoriza con $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factor with $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

Solución:

Por el teorema de la potencia de un punto, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ , donde $AB$ es el radio. Así que $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Como $BC = BX + CX$ y $CX$ son enteros, son factores complementarios de $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ Dado que $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ la única posibilidad es $CX = 33$ y $BC = 61.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ where $AB$ is the radius. Thus $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Since $BC = BX + CX$ and $CX$ are integers, they are complementary factors of $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ As $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ the only possibility is $CX = 33$ and $BC = 61.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Sea $S$ el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ Para $a,$ $b \in S,$ define $a \succ b$ para indicar que $0 \lt a - b \le 9$ o $b - a \gt 9.$ ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de elementos de $S$ tienen la propiedad de que $x \succ y,$ $y \succ z,$ y $z \succ x$ ?

Let $S$ be the set $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ For $a,$ $b \in S,$ define $a \succ b$ to mean that either $0 \lt a - b \le 9$ or $b - a \gt 9.$ How many ordered triples $(x, y, z)$ of elements of $S$ have the property that $x \succ y,$ $y \succ z,$ and $z \succ x?$

$810$

$855$

$900$

$950$

$988$

Conceptos:aritmética modular conteo básico

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Trabaja módulo $19;$ entonces $a \succ b$ significa $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

Work modulo $19;$ then $a \succ b$ means $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

Pista grande:

Fija $x$ ( $19$ formas); sea $y = x + i$ con $1 \le i \le 9,$ entonces $z$ tiene $i$ opciones

Fix $x$ ( $19$ ways); let $y = x + i$ with $1 \le i \le 9,$ then $z$ has $i$ options

Solución:

Leyendo los elementos módulo $19,$ la relación $a \succ b$ se cumple exactamente cuando $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.$

Hay $19$ opciones para $x.$ Una vez fijado $x$ , toma $y = x + i$ para algún $1 \le i \le 9.$ Entonces $z$ debe satisfacer $x + 10 \le z \le x + 9 + i,$ lo que da $i$ opciones.

El total es $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the elements modulo $19,$ the relation $a \succ b$ holds exactly when $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.$

There are $19$ choices for $x.$ Once $x$ is fixed, take $y = x + i$ for some $1 \le i \le 9.$ Then $z$ must satisfy $x + 10 \le z \le x + 9 + i,$ giving $i$ choices.

The total is $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Considera $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

¿Cuál de los siguientes intervalos contiene a $A$ ?

Consider $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

Which of the following intervals contains $A?$

$(\log 2016, \log 2017)$

$(\log 2017, \log 2018)$

$(\log 2018, \log 2019)$

$(\log 2019, \log 2020)$

$(\log 2020, \log 2021)$

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite inducción

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Rastrea dónde se sitúa el valor anidado: $0 \lt A_n \lt 1$ para $n$ pequeño, luego $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

Track where the nested value sits: $0 \lt A_n \lt 1$ for small $n,$ then $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

Pista grande:

Para $n = 2012$ el valor satisface $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ así que estima $2013 + A_{2012}$ .

For $n = 2012$ the value satisfies $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so estimate $2013 + A_{2012}$

Solución:

Sea $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ Se comprueba que $0 \lt A_n \lt 1$ para $2 \le n \le 9,$ luego $1 \lt A_n \lt 2$ para $10 \le n \le 98,$ luego $2 \lt A_n \lt 3$ para $99 \le n \le 997,$ y $3 \lt A_n \lt 4$ para $998 \le n \le 9996.$

Por consiguiente $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ así que $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ y en consecuencia $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ One checks $0 \lt A_n \lt 1$ for $2 \le n \le 9,$ then $1 \lt A_n \lt 2$ for $10 \le n \le 98,$ then $2 \lt A_n \lt 3$ for $99 \le n \le 997,$ and $3 \lt A_n \lt 4$ for $998 \le n \le 9996.$

Hence $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ and therefore $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Un palíndromo es un número entero no negativo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda cuando se escribe en base $10$ sin ceros a la izquierda. Se elige uniformemente al azar un palíndromo $n$ de $6$ dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que $\dfrac{n}{11}$ sea también un palíndromo?

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base $10$ with no leading zeros. A $6$ -digit palindrome $n$ is chosen uniformly at random. What is the probability that $\dfrac{n}{11}$ is also a palindrome?

$\dfrac{8}{25}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{11}{30}$

Conceptos:palíndromo probabilidad básica dígitos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Muestra que $m = \dfrac{n}{11}$ debe ser un palíndromo de $5$ dígitos $\overline{abcba}$ .

Show $m = \dfrac{n}{11}$ must be a $5$ -digit palindrome $\overline{abcba}$

Pista grande:

El producto $11m$ es un palíndromo exactamente cuando $a + b \le 9$ y $b + c \le 9;$ cuenta esos casos

The product $11m$ is a palindrome exactly when $a + b \le 9$ and $b + c \le 9;$ count those

Solución:

Sea $m= \frac{n}{11}.$ Si $m$ tuviera cuatro dígitos, entonces $n<110000,$ así que el primer y el último dígito del palíndromo de seis dígitos $n$ serían ambos $1.$ Esto obliga a que el primer y el último dígito del palíndromo $m$ también sean $1,$ de donde $m<2000$ y $n<22000,$ una contradicción. Por tanto, $m$ es un palíndromo de cinco dígitos $\overline{abcba}.$

Al escribir $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba},$ no hay acarreos exactamente cuando $a+b\le9$ y $b+c\le9;$ los dígitos resultantes son $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.$ Si $a+b\ge10,$ los dígitos inicial y final difieren; si solo $b+c\ge10,$ difiere el siguiente par. Así, las condiciones también son necesarias. La cantidad de $m$ válidos es $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

Hay $9\cdot 10^2 = 900$ palíndromos de seis dígitos, por lo que la probabilidad es $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $m= \frac{n}{11}.$ If $m$ had four digits, then $n<110000,$ so the first and last digits of the six-digit palindrome $n$ would both be $1.$ This forces the first and last digits of the palindromic $m$ to be $1,$ hence $m<2000$ and $n<22000,$ a contradiction. Therefore $m$ is a five-digit palindrome $\overline{abcba}.$

Writing $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba},$ no carries occur exactly when $a+b\le9$ and $b+c\le9;$ the resulting digits are $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.$ If $a+b\ge10,$ the leading and trailing digits differ; if only $b+c\ge10,$ the next pair differs. Thus the conditions are also necessary. The number of valid $m$ is $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

There are $9\cdot 10^2 = 900$ six-digit palindromes, so the probability is $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, the correct answer is E.

23.

$ABCD$ es un cuadrado de lado $\sqrt{3} + 1.$ El punto $P$ está en $\overline{AC}$ tal que $AP = \sqrt{2}.$ La región cuadrada delimitada por $ABCD$ se rota $90^\circ$ en sentido antihorario con centro $P,$ barriendo una región cuya área es $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $\gcd(a, b, c) = 1.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

$ABCD$ is a square of side length $\sqrt{3} + 1.$ Point $P$ is on $\overline{AC}$ such that $AP = \sqrt{2}.$ The square region bounded by $ABCD$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise with center $P,$ sweeping out a region whose area is $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

Conceptos:transformación sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Rastrea las imágenes $A', B', C', D';$ la región barrida son cuatro sectores circulares más cuatro triángulos

Track the images $A', B', C', D';$ the swept region is four circular sectors plus four triangles

Pista grande:

$AP = \sqrt{2}$ y $PC = \sqrt{6}$ dan los radios de los sectores, y $\triangle BPH$ es un triángulo de $30$ – $60$ – $90.$

$AP = \sqrt{2}$ and $PC = \sqrt{6}$ give the sector radii, and $\triangle BPH$ is a $30$ – $60$ – $90$ triangle

Solución:

Sean $A', B', C', D'$ las imágenes de los vértices bajo la rotación. La región barrida se descompone en cuatro sectores circulares y cuatro triángulos.

Como $AP = \sqrt{2}$ y $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ los sectores en $A$ y $C$ tienen áreas $\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{2}.$ Si $H$ es el punto medio de $AA',$ entonces $PH=AH=1$ y $HB=\sqrt3,$ así que $\triangle BPH$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ y $PB=2.$ Por tanto, los dos sectores de $60^\circ$ a lo largo de $BC$ tienen área $\frac{2\pi}{3}$ cada uno. Los dos triángulos de altura $PH$ aportan $\sqrt3-1,$ y el otro par congruente tiene altura $\sqrt3$ y aporta $3-\sqrt3.$ Así, los cuatro triángulos aportan $2.$

El área total es $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ por lo que $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $A', B', C', D'$ be the images of the vertices under the rotation. The swept region decomposes into four circular sectors and four triangles.

Since $AP = \sqrt{2}$ and $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ the sectors at $A$ and $C$ have areas $\tfrac{\pi}{2}$ and $\tfrac{3\pi}{2}.$ If $H$ is the midpoint of $AA',$ then $PH=AH=1$ and $HB=\sqrt3,$ so $\triangle BPH$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle and $PB=2.$ Hence the two $60^\circ$ sectors along $BC$ each have area $\frac{2\pi}{3}.$ The two triangles with altitude $PH$ contribute $\sqrt3-1,$ and the other congruent pair has altitude $\sqrt3$ and contributes $3-\sqrt3.$ Thus the four triangles contribute $2.$

The total area is $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ so $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Se eligen al azar tres segmentos distintos entre los segmentos cuyos extremos son los vértices de un $12$ -ágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que las longitudes de estos tres segmentos sean las tres longitudes de los lados de un triángulo con área positiva?

Three distinct segments are chosen at random among the segments whose endpoints are the vertices of a regular $12$ -gon. What is the probability that the lengths of these three segments are the three side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{553}{715}$

$\dfrac{443}{572}$

$\dfrac{111}{143}$

$\dfrac{81}{104}$

$\dfrac{223}{286}$

Conceptos:polígono regular desigualdad triangular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Hay $6$ longitudes posibles $d_k = 2\sin(15k^\circ);$ cuenta cuántos segmentos tienen cada longitud

There are $6$ possible lengths $d_k = 2\sin(15k^\circ);$ count how many segments have each length

Pista grande:

Usa el conteo complementario: resta las ternas cuya longitud más larga es al menos la suma de las otras dos

Use complementary counting: subtract the triples whose longest length is at least the sum of the other two

Solución:

Inscribamos el $12$ -ágono en un círculo unitario. Las longitudes son $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ para $1 \le k \le 6,$ con $12$ segmentos de cada longitud $d_1, \ldots, d_5$ y $6$ de longitud $d_6.$

Al comparar sumas, las ternas prohibidas $(a, b, c)$ con $d_a \le d_b \le d_c$ y $d_c \ge d_a + d_b$ son $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Las tres primeras ternas que terminan en $3,4,5$ aportan $3\binom{12}{2}12;$ las dos ternas con longitud repetida que terminan en $6$ aportan $2\binom{12}{2}6;$ las tres ternas de longitudes distintas sin diámetro aportan $3\cdot12^3;$ y las otras dos ternas con diámetro aportan $2\cdot12^2\cdot6.$ Al dividir su suma entre $\binom{66}{3}$ , se obtiene probabilidad de fracaso $\frac{63}{286},$ y la respuesta es $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inscribe the $12$ -gon in a unit circle. The segment lengths are $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ for $1 \le k \le 6,$ with $12$ segments of each length $d_1, \ldots, d_5$ and $6$ of length $d_6.$

Comparing sums, the forbidden index triples $(a, b, c)$ with $d_a \le d_b \le d_c$ and $d_c \ge d_a + d_b$ are $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

The first three triples ending in $3,4,5$ contribute $3\binom{12}{2}12;$ the two repeated-length triples ending in $6$ contribute $2\binom{12}{2}6;$ the three triples of distinct non-diameter lengths contribute $3\cdot12^3;$ and the two remaining diameter triples contribute $2\cdot12^2\cdot6.$ Dividing their sum by $\binom{66}{3}$ gives failure probability $\frac{63}{286},$ so the answer is $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definida por $f(z) = z^2 + iz + 1.$ ¿Cuántos números complejos $z$ hay tales que $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ y tanto la parte real como la parte imaginaria de $f(z)$ son enteros con valor absoluto a lo sumo $10$ ?

Let $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ be defined by $f(z) = z^2 + iz + 1.$ How many complex numbers $z$ are there such that $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ and both the real and the imaginary parts of $f(z)$ are integers with absolute value at most $10?$

$399$

$401$

$413$

$431$

$441$

Conceptos:número complejo punto reticular

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Muestra que $f$ es inyectiva en el semiplano superior, así que contar $z$ equivale a contar los $f(z)$ válidos

Show $f$ is one-to-one on the upper half-plane, so counting $z$ equals counting valid $f(z)$

Pista grande:

La imagen es $\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\};$ cuenta los puntos reticulares con $|\operatorname{Re}|, |\operatorname{Im}| \le 10$

The image is $\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\};$ count lattice points with $|\operatorname{Re}|, |\operatorname{Im}| \le 10$

Solución:

En el semiplano superior $H,$ si $f(z_1) = f(z_2)$ , entonces $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ como $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0,$ el factor $z_1 + z_2 + i \ne 0,$ así que $f$ es inyectiva en $H.$

Para $r$ real, los valores fronterizos $f(r)=r^2+1+ir$ trazan la parábola $\operatorname{Re}(w)=(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Como $f(i)=-1$ queda a su izquierda y $f$ es continua e inyectiva en $H,$ su imagen consta exactamente de los valores $w$ que satisfacen $\operatorname{Re}(w)<(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Por tanto, contamos $w = a + ib$ con $a, b \in \mathbb{Z},$ $|a|, |b| \le 10,$ y $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Así, la respuesta correcta es A.

On the upper half-plane $H,$ if $f(z_1) = f(z_2)$ then $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ since $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0,$ the factor $z_1 + z_2 + i \ne 0,$ so $f$ is one-to-one on $H.$

For real $r,$ the boundary values $f(r)=r^2+1+ir$ trace the parabola $\operatorname{Re}(w)=(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Since $f(i)=-1$ lies to its left and $f$ is continuous and one-to-one on $H,$ its image consists precisely of the values $w$ satisfying $\operatorname{Re}(w)<(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Thus we count $w = a + ib$ with $a, b \in \mathbb{Z},$ $|a|, |b| \le 10,$ and $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.