Question

Los puntos $B$ y $C$ están sobre $\overline{AD}.$ La longitud de $\overline{AB}$ es $4$ veces la longitud de $\overline{BD},$ y la longitud de $\overline{AC}$ es $9$ veces la longitud de $\overline{CD}.$ ¿La longitud de $\overline{BC}$ es qué fracción de la longitud de $\overline{AD}$ ?

Points $B$ and $C$ lie on $\overline{AD}.$ The length of $\overline{AB}$ is $4$ times the length of $\overline{BD},$ and the length of $\overline{AC}$ is $9$ times the length of $\overline{CD}.$ The length of $\overline{BC}$ is what fraction of the length of $\overline{AD}?$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{5}$

Solución:

Como $AB = 4\,BD$ y $AB + BD = AD,$ tenemos $5\,BD = AD,$ así que $BD = \tfrac{1}{5}AD.$

Del mismo modo $AC = 9\,CD$ con $AC + CD = AD$ da $CD = \tfrac{1}{10}AD.$

Como $B$ y $C$ se miden ambos desde $A,$ $\;BC = BD - CD$ $= \tfrac{1}{5}AD - \tfrac{1}{10}AD$ $= \tfrac{1}{10}AD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB = 4\,BD$ and $AB + BD = AD,$ we have $5\,BD = AD,$ so $BD = \tfrac{1}{5}AD.$

Likewise $AC = 9\,CD$ with $AC + CD = AD$ gives $CD = \tfrac{1}{10}AD.$

Because $B$ and $C$ both measure from $A,$ $\;BC = BD - CD$ $= \tfrac{1}{5}AD - \tfrac{1}{10}AD$ $= \tfrac{1}{10}AD.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años