Question

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo de radio $5$ y $AB = 6.$ El punto $C$ es el punto medio del arco menor $AB.$ ¿Cuál es la longitud del segmento $AC$ ?

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB = 6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

Solución:

Sea $O$ el centro y $D$ el punto donde $\overline{OC}$ corta a $\overline{AB}.$ Como $C$ es el punto medio del arco $AB,$ $\overline{OC}$ es la mediatriz de la cuerda, así que $AD = 3.$

En el triángulo rectángulo $ADO,$ $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,$ así que $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.$

Luego en el triángulo rectángulo $ADC,$ $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $O$ be the center and $D$ the point where $\overline{OC}$ meets $\overline{AB}.$ Since $C$ is the midpoint of arc $AB,$ $\overline{OC}$ is the perpendicular bisector of the chord, so $AD = 3.$

In right triangle $ADO,$ $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,$ so $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.$

Then in right triangle $ADC,$ $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años