Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ ?

How many solutions does the equation $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ have on the interval $[0, 2\pi]?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

En $[0, 2\pi],$ la gráfica de $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ es un único arco que decrece desde $1$ hasta $-1.$

La función $\tan(2x)$ tiene período $\tfrac{\pi}{2}$ con asíntotas verticales en $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ Estas dividen el intervalo en cinco tramos, y en cada tramo $\tan(2x)$ recorre todos los valores reales.

Como el arco del coseno está acotado, cada una de las cinco ramas lo corta exactamente una vez, dando $5$ soluciones.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

On $[0, 2\pi],$ the graph of $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ is a single arc decreasing from $1$ down to $-1.$

The function $\tan(2x)$ has period $\tfrac{\pi}{2}$ with vertical asymptotes at $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ These split the interval into five stretches, and on each stretch $\tan(2x)$ runs through all real values.

Since the cosine arc is bounded, each of the five branches meets it exactly once, giving $5$ solutions.

Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años