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2020 AMC 12A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación tan⁡(2x)=cos⁡(x2)\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) en el intervalo [0,2π][0, 2\pi]?
How many solutions does the equation tan⁡(2x)=cos⁡(x2)\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) have on the interval [0,2π]?[0, 2\pi]?
11
22
33
44
55
Respuesta: E
Conceptos:trigonometría
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
En [0,2π],[0, 2\pi], cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) decrece de manera constante desde 11 hasta −1-1.
On [0,2π],[0, 2\pi], cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) decreases steadily from 11 to −1-1
Pista grande:
tan⁡(2x)\tan(2x) tiene período π2;\tfrac{\pi}{2}; cuenta cuántas de sus ramas cruzan esa curva decreciente
tan⁡(2x)\tan(2x) has period π2;\tfrac{\pi}{2}; count how many of its branches cross that decreasing curve
Solución:
En [0,2π],[0, 2\pi], la gráfica de cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) es un solo arco que decrece de 11 a −1.-1.
La función tan⁡(2x)\tan(2x) tiene período π2\tfrac{\pi}{2} y asíntotas verticales en x=π4,3π4,5π4,7π4.x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}. Estas dividen el intervalo en cinco ramas. En cada rama, tan⁡(2x)\tan(2x) es estrictamente creciente, mientras que cos⁡(x2)\cos(\tfrac{x}{2}) es decreciente, así que hay a lo sumo una intersección por rama.
Cada una de las tres ramas interiores va de −∞-\infty a +∞,+\infty, así que tiene una intersección. En la primera rama, tan⁡(0)=0<1=cos⁡(0)\tan(0)=0\lt1=\cos(0) y la tangente tiende a +∞.+\infty. En la última, la tangente comienza en −∞-\infty y termina en 0>−1=cos⁡π.0\gt-1=\cos\pi. Por tanto, las dos ramas exteriores también tienen una intersección cada una, para un total de 55.
Así, E es la respuesta correcta.
On [0,2π],[0, 2\pi], the graph of cos⁡(x2)\cos\left(\tfrac{x}{2}\right) is a single arc decreasing from 11 down to −1.-1.
The function tan⁡(2x)\tan(2x) has period π2\tfrac{\pi}{2} with vertical asymptotes at x=π4,3π4,5π4,7π4.x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}. These split the interval into five branches. On every branch tan⁡(2x)\tan(2x) is strictly increasing, while cos⁡(x2)\cos(\tfrac{x}{2}) is decreasing, so there is at most one intersection per branch.
Each of the three interior branches runs from −∞-\infty to +∞,+\infty, so each has one intersection. On the first branch, tan⁡(0)=0<1=cos⁡(0)\tan(0)=0\lt1=\cos(0) and the tangent tends to +∞.+\infty. On the last, the tangent starts at −∞-\infty and ends at 0>−1=cos⁡π.0\gt-1=\cos\pi. Thus the two outer branches also have one intersection each, for 55 total.
Thus, E is the correct answer.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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