Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ ?

How many solutions does the equation $\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ have on the interval $[0, 2\pi]?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

En $[0, 2\pi],$ $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ decrece de manera constante desde $1$ hasta $-1$ .

On $[0, 2\pi],$ $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ decreases steadily from $1$ to $-1$

Pista grande:

$\tan(2x)$ tiene período $\tfrac{\pi}{2};$ cuenta cuántas de sus ramas cruzan esa curva decreciente

$\tan(2x)$ has period $\tfrac{\pi}{2};$ count how many of its branches cross that decreasing curve

Solución:

En $[0, 2\pi],$ la gráfica de $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ es un solo arco que decrece de $1$ a $-1.$

La función $\tan(2x)$ tiene período $\tfrac{\pi}{2}$ y asíntotas verticales en $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ Estas dividen el intervalo en cinco ramas. En cada rama, $\tan(2x)$ es estrictamente creciente, mientras que $\cos(\tfrac{x}{2})$ es decreciente, así que hay a lo sumo una intersección por rama.

Cada una de las tres ramas interiores va de $-\infty$ a $+\infty,$ así que tiene una intersección. En la primera rama, $\tan(0)=0\lt1=\cos(0)$ y la tangente tiende a $+\infty.$ En la última, la tangente comienza en $-\infty$ y termina en $0\gt-1=\cos\pi.$ Por tanto, las dos ramas exteriores también tienen una intersección cada una, para un total de $5$ .

Así, E es la respuesta correcta.

On $[0, 2\pi],$ the graph of $\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)$ is a single arc decreasing from $1$ down to $-1.$

The function $\tan(2x)$ has period $\tfrac{\pi}{2}$ with vertical asymptotes at $x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.$ These split the interval into five branches. On every branch $\tan(2x)$ is strictly increasing, while $\cos(\tfrac{x}{2})$ is decreasing, so there is at most one intersection per branch.

Each of the three interior branches runs from $-\infty$ to $+\infty,$ so each has one intersection. On the first branch, $\tan(0)=0\lt1=\cos(0)$ and the tangent tends to $+\infty.$ On the last, the tangent starts at $-\infty$ and ends at $0\gt-1=\cos\pi.$ Thus the two outer branches also have one intersection each, for $5$ total.

Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 9

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años