2025 AMC 12B Problema 9

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 9 del 2025 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:exponenciación modular dígitos

Nivel de dificultad: 1510

¿Cuál es el dígito de las decenas de $6^{6^6}$ ?

What is the tens digit of $6^{6^6}?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

Aquí $6^6 = 46656.$ Para $n \ge 2,$ los dos últimos dígitos de $6^n$ se repiten con periodo $5$ recorriendo $36, 16, 96, 76, 56.$ Como $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ termina en $56,$ así que el dígito de las decenas es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $6^6 = 46656.$ For $n \ge 2,$ the last two digits of $6^n$ cycle with period $5$ through $36, 16, 96, 76, 56.$ Since $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ ends in $56,$ so the tens digit is $5.$

Thus, the correct answer is C.

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