Question

En una convención de gemelos y trillizos, había $9$ conjuntos de gemelos y $6$ conjuntos de trillizos, todos de familias diferentes. Cada gemelo estrechó la mano de todos los gemelos excepto su hermano/hermana y de la mitad de los trillizos. Cada trillizo estrechó la mano de todos los trillizos excepto sus hermanos y de la mitad de los gemelos. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

At a twins and triplets convention, there were $9$ sets of twins and $6$ sets of triplets, all from different families. Each twin shook hands with all the twins except his/her sibling and with half the triplets. Each triplet shook hands with all the triplets except his/her siblings and with half the twins. How many handshakes took place?

$324$

$441$

$630$

$648$

$882$

Solución:

Hay $18$ gemelos y $18$ trillizos.

Apretones gemelo-gemelo: cada gemelo estrecha la mano de $18 - 2 = 16$ otros gemelos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Apretones trillizo-trillizo: cada trillizo estrecha la mano de $18 - 3 = 15$ otros trillizos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Apretones gemelo-trillizo: cada gemelo estrecha la mano de la mitad de los $18$ trillizos, lo que da $18 \cdot 9 = 162$ (cada apretón de este tipo se cuenta una vez).

El total es $144 + 135 + 162 = 441.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $18$ twins and $18$ triplets.

Twin-twin handshakes: each twin shakes $18 - 2 = 16$ other twins, giving $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Triplet-triplet handshakes: each triplet shakes $18 - 3 = 15$ other triplets, giving $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Twin-triplet handshakes: each twin shakes half the $18$ triplets, giving $18 \cdot 9 = 162$ (each such handshake counted once).

The total is $144 + 135 + 162 = 441.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años