Question

Sea $S$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano de coordenadas tales que dos de las tres cantidades $3,$ $x+2,$ y $y-4$ son iguales y la tercera de las tres cantidades no es mayor que este valor común. ¿Cuál de las siguientes es una descripción correcta de $S$ ?

Let $S$ be the set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that two of the three quantities $3,$ $x+2,$ and $y-4$ are equal and the third of the three quantities is no greater than this common value. Which of the following is a correct description of $S?$

un solo punto

a single point

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas cuyas intersecciones por pares son tres puntos distintos

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

un triángulo

a triangle

tres rayos con un extremo común

three rays with a common endpoint

Solución:

Considera cuáles dos de $3,$ $x+2,$ $y-4$ son el par mayor (iguales).

Si $3=x+2\ge y-4:$ entonces $x=1$ y $y\le7,$ un rayo hacia abajo desde $(1,7).$ Si $3=y-4\ge x+2:$ entonces $y=7$ y $x\le1,$ un rayo hacia la izquierda desde $(1,7).$ Si $x+2=y-4\ge3:$ entonces $y=x+6$ y $x\ge1,$ un rayo desde $(1,7)$ que va hacia arriba y a la derecha.

Los tres rayos comparten el extremo $(1,7),$ así que $S$ son tres rayos con un extremo común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Consider which two of $3,$ $x+2,$ $y-4$ are the (equal) larger pair.

If $3=x+2\ge y-4:$ then $x=1$ and $y\le7,$ a downward ray from $(1,7).$ If $3=y-4\ge x+2:$ then $y=7$ and $x\le1,$ a leftward ray from $(1,7).$ If $x+2=y-4\ge3:$ then $y=x+6$ and $x\ge1,$ a ray from $(1,7)$ going up and to the right.

All three rays share the endpoint $(1,7),$ so $S$ is three rays with a common endpoint.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años