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2017 AMC 12A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2017 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Sea SS el conjunto de puntos (x,y)(x,y) del plano de coordenadas tales que dos de las tres cantidades 3,3, x+2,x+2, y y−4y-4 son iguales y la tercera de las tres cantidades no es mayor que este valor común. ¿Cuál de las siguientes es una descripción correcta de SS?

Let SS be the set of points (x,y)(x,y) in the coordinate plane such that two of the three quantities 3,3, x+2,x+2, and y−4y-4 are equal and the third of the three quantities is no greater than this common value. Which of the following is a correct description of S?S?

un solo punto

a single point

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas cuyas intersecciones por pares son tres puntos distintos

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

un triángulo

a triangle

tres rayos con un extremo común

three rays with a common endpoint

Respuesta: E
Conceptos:geometría analíticaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:

Iguala dos de las tres cantidades y exige que la tercera sea a lo sumo ese valor común

Set two of the three quantities equal and require the third to be at most that common value

Pista grande:

Cada uno de los tres emparejamientos produce un rayo, y los tres parten del mismo punto (1,7)(1,7)

Each of the three pairings produces a ray, and all three start at the same point (1,7)(1,7)

Solución:

Considera cuáles dos de 3,3, x+2,x+2, y−4y-4 son el par mayor (iguales).

Si 3=x+2≥y−4:3=x+2\ge y-4: entonces x=1x=1 y y≤7,y\le7, un rayo hacia abajo desde (1,7).(1,7). Si 3=y−4≥x+2:3=y-4\ge x+2: entonces y=7y=7 y x≤1,x\le1, un rayo hacia la izquierda desde (1,7).(1,7). Si x+2=y−4≥3:x+2=y-4\ge3: entonces y=x+6y=x+6 y x≥1,x\ge1, un rayo desde (1,7)(1,7) que va hacia arriba y a la derecha.

Los tres rayos comparten el extremo (1,7),(1,7), así que SS son tres rayos con un extremo común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Consider which two of 3,3, x+2,x+2, y−4y-4 are the (equal) larger pair.

If 3=x+2≥y−4:3=x+2\ge y-4: then x=1x=1 and y≤7,y\le7, a downward ray from (1,7).(1,7). If 3=y−4≥x+2:3=y-4\ge x+2: then y=7y=7 and x≤1,x\le1, a leftward ray from (1,7).(1,7). If x+2=y−4≥3:x+2=y-4\ge3: then y=x+6y=x+6 and x≥1,x\ge1, a ray from (1,7)(1,7) going up and to the right.

All three rays share the endpoint (1,7),(1,7), so SS is three rays with a common endpoint.

Thus, the correct answer is E.

Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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