Question

¿Cuántos enteros pares de tres dígitos tienen la propiedad de que sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, están en orden estrictamente creciente?

How many even three-digit integers have the property that their digits, read left to right, are in strictly increasing order?

$21$

$34$

$51$

$72$

$150$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

El dígito de las unidades es par; los dos dígitos más pequeños deben ser ambos menores que él.

The units digit is even; the two smaller digits must both be less than it

Pista grande:

Para cada dígito de las unidades par $c,$ cuenta las maneras de elegir dos dígitos crecientes menores que $c$ .

For each even units digit $c,$ count the ways to choose two increasing digits below $c$

Solución:

Sean los dígitos $a \lt b \lt c$ con $c$ par. Como $a \geq 1,$ ningún dígito es cero, y $c \neq 2$ (no hay espacio para dos dígitos más pequeños distintos de cero).

Una vez fijado el dígito de las unidades $c$ , dos dígitos distintos cualesquiera menores que él pueden ordenarse de forma creciente de una única manera. Así, el conteo para cada $c$ es $\binom{c-1}{2}.$

Para $c = 4, 6, 8$ esto da $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the digits be $a \lt b \lt c$ with $c$ even. Since $a \geq 1,$ no digit is zero, and $c \neq 2$ (there is no room for two smaller nonzero digits).

Once the units digit $c$ is fixed, any two distinct digits below it can be arranged in increasing order in exactly one way. So the count for each $c$ is $\binom{c-1}{2}.$

For $c = 4, 6, 8$ this gives $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años