Question

Los cinco pequeños cuadrados sombreados dentro de este cuadrado unitario son congruentes y tienen interiores disjuntos. El punto medio de cada lado del cuadrado central coincide con uno de los vértices de los otros cuatro cuadrados pequeños, como se muestra. La longitud del lado común es $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The five small shaded squares inside this unit square are congruent and have disjoint interiors. The midpoint of each side of the middle square coincides with one of the vertices of the other four small squares as shown. The common side length is $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado común. La diagonal del cuadrado unitario tiene longitud $\sqrt{2}$ y está formada por dos diagonales de cuadrado pequeño (cada una $x\sqrt2$ ) más un lado de cuadrado pequeño de longitud $x,$ así que $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Al resolver, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Así, $a=4,$ $b=7,$ y $a+b=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the common side length. The diagonal of the unit square has length $\sqrt{2}$ and consists of two small-square diagonals (each $x\sqrt2$ ) plus one small-square side length $x,$ so $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Solving, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Thus $a=4,$ $b=7,$ and $a+b=11.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años