Soluciones del 2016 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{11!-10!}{9!}?$

What is the value of $\dfrac{11!-10!}{9!}?$

$99$

$100$

$110$

$121$

$132$

Conceptos:factorial factorización

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Factoriza $10!$ del numerador.

Factor $10!$ out of the numerator

Pista grande:

$11!-10!=10!(11-1)$ y $10!=10\cdot 9!$ .

$11!-10!=10!(11-1)$ and $10!=10\cdot 9!$

Solución:

Al factorizar el numerador se obtiene $\begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring the numerator gives $\begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2.

¿Para qué valor de $x$ se cumple $10^x\cdot 100^{2x}=1000^5$ ?

For what value of $x$ does $10^x\cdot 100^{2x}=1000^5?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Escribe cada base como una potencia de $10$ .

Write every base as a power of $10$

Pista grande:

El lado izquierdo se convierte en $10^{5x}$ y el derecho en $10^{15}$ .

The left side becomes $10^{5x}$ and the right side $10^{15}$

Solución:

Como $100=10^2$ y $1000=10^3,$ la ecuación se convierte en $10^x\cdot 10^{4x}=10^{15},$ así que $10^{5x}=10^{15}.$ Entonces $5x=15,$ lo que da $x=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $100=10^2$ and $1000=10^3,$ the equation becomes $10^x\cdot 10^{4x}=10^{15},$ so $10^{5x}=10^{15}.$ Then $5x=15,$ giving $x=3.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La función resto puede definirse para todos los números reales $x$ e $y$ con $y\neq 0$ mediante $\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,$ donde $\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $\dfrac{x}{y}.$ ¿Cuál es el valor de $\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)$ ?

The remainder function can be defined for all real numbers $x$ and $y$ with $y\neq 0$ by $\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,$ where $\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $\dfrac{x}{y}.$ What is the value of $\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?$

$-\dfrac{3}{8}$

$-\dfrac{1}{40}$

$0$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{31}{40}$

Conceptos:operación personalizada funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Calcula primero $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}$ .

Compute $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}$ first

Pista grande:

$\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1$ .

$\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1$

Solución:

Primero, $\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered}$ y $\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.$

Por consiguiente $\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, $\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered}$ and $\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.$

Therefore $\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

4.

La media, la mediana y la moda de los $7$ valores $60,$ $100,$ $x,$ $40,$ $50,$ $200,$ $90$ son todas iguales a $x.$ ¿Cuál es el valor de $x$ ?

The mean, median, and mode of the $7$ data values $60,$ $100,$ $x,$ $40,$ $50,$ $200,$ $90$ are all equal to $x.$ What is the value of $x?$

$50$

$60$

$75$

$90$

$100$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Iguala la media a $x$ .

Set the mean equal to $x$

Pista grande:

$\dfrac{540+x}{7}=x,$ luego confirma la mediana y la moda.

$\dfrac{540+x}{7}=x,$ then confirm the median and mode

Solución:

La condición sobre la media da $\begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered}$ así que $540+x=7x$ y $x=90.$

En orden no decreciente los datos son $40, 50, 60, 90, 90, 100, 200,$ de modo que la mediana es $90$ y la moda es $90,$ como se requería.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The mean condition gives $\begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered}$ so $540+x=7x$ and $x=90.$

In nondecreasing order the data are $40, 50, 60, 90, 90, 100, 200,$ so the median is $90$ and the mode is $90,$ as required.

Thus, the correct answer is D.

5.

La conjetura de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $2$ puede escribirse como la suma de dos números primos (por ejemplo, $2016=13+2003$ ). Hasta ahora, nadie ha logrado demostrar que la conjetura es verdadera, y nadie ha encontrado un contraejemplo que muestre que es falsa. ¿En qué consistiría un contraejemplo?

Goldbach’s conjecture states that every even integer greater than $2$ can be written as the sum of two prime numbers (for example, $2016=13+2003$ ). So far, no one has been able to prove that the conjecture is true, and no one has found a counterexample to show that the conjecture is false. What would a counterexample consist of?

un entero impar mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números primos

an odd integer greater than $2$ that can be written as the sum of two prime numbers

un entero impar mayor que $2$ que no puede escribirse como la suma de dos números primos

an odd integer greater than $2$ that cannot be written as the sum of two prime numbers

un entero par mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números que no son primos

an even integer greater than $2$ that can be written as the sum of two numbers that are not prime

un entero par mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números primos

an even integer greater than $2$ that can be written as the sum of two prime numbers

un entero par mayor que $2$ que no puede escribirse como la suma de dos números primos

an even integer greater than $2$ that cannot be written as the sum of two prime numbers

Conceptos:contraejemplo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Un contraejemplo mantiene la hipótesis pero rompe la conclusión.

A counterexample keeps the hypothesis but breaks the conclusion

Pista grande:

La hipótesis es “un entero par mayor que $2$ ”; la conclusión es “una suma de dos primos”.

The hypothesis is “even integer greater than $2$ ”; the conclusion is “a sum of two primes”

Solución:

Un contraejemplo debe satisfacer la hipótesis de ser un entero par mayor que $2$ y a la vez incumplir la conclusión de que puede escribirse como la suma de dos números primos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A counterexample must satisfy the hypothesis of being an even integer greater than $2$ while failing the conclusion that it can be written as the sum of two prime numbers.

Thus, the correct answer is E.

6.

Un arreglo triangular de $2016$ monedas tiene $1$ moneda en la primera fila, $2$ monedas en la segunda fila, $3$ monedas en la tercera fila, y así sucesivamente hasta $N$ monedas en la fila $N$ . ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

A triangular array of $2016$ coins has $1$ coin in the first row, $2$ coins in the second row, $3$ coins in the third row, and so on up to $N$ coins in the $N$ th row. What is the sum of the digits of $N?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:número triangular estimación

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

$1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$ .

$1+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$

Pista grande:

Resuelve $N(N+1)=4032$ observando que $N\approx\sqrt{4032}$ .

Solve $N(N+1)=4032$ by noting $N\approx\sqrt{4032}$

Solución:

El número total de monedas es $\begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered}$ así que $N(N+1)=4032.$ Como $63\cdot 64=4032,$ tenemos $N=63,$ y la suma de sus dígitos es $6+3=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total number of coins is $\begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered}$ so $N(N+1)=4032.$ Since $63\cdot 64=4032,$ we have $N=63,$ and the sum of its digits is $6+3=9.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál de estas opciones describe la gráfica de $x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)$ ?

Which of these describes the graph of $x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?$

dos rectas paralelas

two parallel lines

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas que pasan todas por un punto común

three lines that all pass through a common point

tres rectas que no pasan todas por un punto común

three lines that do not all pass through a common point

una recta y una parábola

a line and a parabola

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Mueve todo a un lado y factoriza $x+y+1$ .

Move everything to one side and factor out $x+y+1$

Pista grande:

$(x-y)(x+y)(x+y+1)=0$ es la unión de tres rectas.

$(x-y)(x+y)(x+y+1)=0$ is the union of three lines

Solución:

Al pasar todos los términos a un lado se obtiene $(x^2-y^2)(x+y+1)=0,$ que se factoriza como $(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.$ Por lo tanto, la gráfica es la unión de las rectas $x=y,$ $x=-y,$ y $x+y+1=0.$

Las dos primeras rectas se cortan en el origen, pero la tercera recta $x+y=-1$ es paralela a $x+y=0$ y no pasa por el origen. Así que la gráfica consta de tres rectas que no pasan todas por un punto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Moving all terms to one side gives $(x^2-y^2)(x+y+1)=0,$ which factors as $(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.$ The graph is therefore the union of the lines $x=y,$ $x=-y,$ and $x+y+1=0.$

The first two lines intersect at the origin, but the third line $x+y=-1$ is parallel to $x+y=0$ and does not pass through the origin. So the graph consists of three lines that do not all pass through a common point.

Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el área de la región sombreada del rectángulo $8\times 5$ dado?

What is the area of the shaded region of the given $8\times 5$ rectangle?

$4\tfrac{3}{4}$

$5$

$5\tfrac{1}{4}$

$6\tfrac{1}{2}$

$8$

Conceptos:área del triángulo simetría

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cada segmento dibujado pasa por el centro del rectángulo.

Every drawn segment passes through the center of the rectangle

Pista grande:

La diagonal principal divide la región sombreada en cuatro triángulos, cada uno con base $1$ .

The main diagonal splits the shaded region into four triangles, each with base $1$

Solución:

La diagonal del rectángulo, desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, divide la región sombreada en cuatro triángulos, que se encuentran todos en el centro del rectángulo.

Dos de estos triángulos tienen base horizontal de longitud $1$ y altura $\frac12\cdot 5=\frac52,$ y los otros dos tienen base vertical de longitud $1$ y altura $\frac12\cdot 8=4.$ El área total es $\begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The diagonal of the rectangle from the upper-left corner to the lower-right corner divides the shaded region into four triangles, all meeting at the center of the rectangle.

Two of these triangles have a horizontal base of length $1$ and altitude $\frac12\cdot 5=\frac52,$ and the other two have a vertical base of length $1$ and altitude $\frac12\cdot 8=4.$ The total area is $\begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

9.

Los cinco pequeños cuadrados sombreados dentro de este cuadrado unitario son congruentes y tienen interiores disjuntos. El punto medio de cada lado del cuadrado central coincide con uno de los vértices de los otros cuatro cuadrados pequeños, como se muestra. La longitud del lado común es $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The five small shaded squares inside this unit square are congruent and have disjoint interiors. The midpoint of each side of the middle square coincides with one of the vertices of the other four small squares as shown. The common side length is $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:diagonal racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Traza la diagonal del cuadrado unitario, que tiene longitud $\sqrt{2}$ .

Draw the diagonal of the unit square, which has length $\sqrt{2}$

Pista grande:

Esa diagonal equivale a dos diagonales de cuadrado pequeño más un lado de cuadrado pequeño: $2x\sqrt2+x=\sqrt2$ .

That diagonal equals two small-square diagonals plus one small-square side: $2x\sqrt2+x=\sqrt2$

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado común. La diagonal del cuadrado unitario tiene longitud $\sqrt{2}$ y está formada por dos diagonales de cuadrado pequeño (cada una $x\sqrt2$ ) más un lado de cuadrado pequeño de longitud $x,$ así que $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Al resolver, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Así, $a=4,$ $b=7,$ y $a+b=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the common side length. The diagonal of the unit square has length $\sqrt{2}$ and consists of two small-square diagonals (each $x\sqrt2$ ) plus one small-square side length $x,$ so $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Solving, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Thus $a=4,$ $b=7,$ and $a+b=11.$

Thus, the correct answer is E.

10.

Cinco amigos se sentaron en una fila de $5$ asientos de un cine, numerados del $1$ al $5$ de izquierda a derecha. (Las direcciones “izquierda” y “derecha” son desde el punto de vista de las personas sentadas en los asientos.) Durante la película, Ada fue al vestíbulo a comprar palomitas. Cuando regresó, encontró que Bea se había movido dos asientos a la derecha, Ceci se había movido un asiento a la izquierda, y Dee y Edie habían intercambiado asientos, dejando un asiento del extremo para Ada. ¿En qué asiento había estado sentada Ada antes de levantarse?

Five friends sat in a movie theater in a row containing $5$ seats, numbered $1$ to $5$ from left to right. (The directions “left” and “right” are from the point of view of the people as they sit in the seats.) During the movie Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had moved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and Edie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:invariante deducción lógica

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

El movimiento total hacia la derecha debe igualar al movimiento total hacia la izquierda.

The total rightward movement must equal the total leftward movement

Pista grande:

Bea se mueve $+2,$ Ceci se mueve $-1,$ y Dee y Edie se cancelan; halla el desplazamiento de Ada.

Bea moves $+2,$ Ceci moves $-1,$ and Dee and Edie cancel; find Ada’s shift

Solución:

El desplazamiento neto de los cinco amigos es cero. Dee y Edie intercambiaron asientos, así que sus movimientos se cancelan. Bea se movió $+2$ y Ceci se movió $-1,$ un neto de $+1,$ por lo que Ada debe moverse $-1$ para equilibrar.

Ada regresa a un asiento del extremo; como se movió un asiento a la izquierda, ese asiento debe ser el asiento $1,$ así que había estado sentada en el asiento $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The net displacement of all five friends is zero. Dee and Edie swapped seats, so their movements cancel. Bea moved $+2$ and Ceci moved $-1,$ a net of $+1,$ so Ada must move $-1$ to balance.

Ada returns to an end seat; since she moved one seat to the left, that seat must be seat $1,$ so she had been sitting in seat $2.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Cada uno de los $100$ estudiantes de cierto campamento de verano sabe cantar, bailar o actuar. Algunos estudiantes tienen más de un talento, pero ninguno tiene los tres. Hay $42$ estudiantes que no saben cantar, $65$ que no saben bailar y $29$ que no saben actuar. ¿Cuántos estudiantes tienen dos de estos talentos?

Each of the $100$ students in a certain summer camp can either sing, dance, or act. Some students have more than one talent, but no student has all three talents. There are $42$ students who cannot sing, $65$ students who cannot dance, and $29$ students who cannot act. How many students have two of these talents?

$16$

$25$

$36$

$49$

$64$

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión doble conteo

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Cuenta cuántos estudiantes pueden hacer cada actividad.

Count how many students can do each activity

Pista grande:

Al sumar los tres conteos, los estudiantes con dos talentos se cuentan dos veces; resta $100$ .

Adding the three counts tallies two-talent students twice; subtract $100$

Solución:

Los números de quienes saben cantar, bailar y actuar son $100-42=58,$ $100-65=35,$ y $100-29=71,$ respectivamente, para un total de $58+35+71=164.$

Como ningún estudiante tiene los tres talentos, cada estudiante tiene uno o dos talentos, de modo que los de un solo talento se cuentan una vez y los de dos talentos se cuentan dos veces. El número contado dos veces es $164-100=64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numbers who can sing, dance, and act are $100-42=58,$ $100-65=35,$ and $100-29=71,$ respectively, for a total of $58+35+71=164.$

Since no student has all three talents, each student has one or two talents, so single-talent students are counted once and two-talent students are counted twice. The number counted twice is $164-100=64.$

Thus, the correct answer is E.

12.

En $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ y $CA=8.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC},$ y $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ El punto $E$ está sobre $\overline{AC},$ y $\overline{BE}$ biseca $\angle ABC.$ Las bisectrices se cortan en $F.$ ¿Cuál es la razón $AF:FD$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ and $CA=8.$ Point $D$ lies on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ Point $E$ lies on $\overline{AC},$ and $\overline{BE}$ bisects $\angle ABC.$ The bisectors intersect at $F.$ What is the ratio $AF:FD?$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$7:3$

$5:2$

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz en $\triangle ABC$ para hallar $BD$ .

Apply the Angle Bisector Theorem in $\triangle ABC$ to find $BD$

Pista grande:

En $\triangle ABD,$ el segmento $BF$ biseca $\angle ABD,$ así que $AF:FD=AB:BD$ .

In $\triangle ABD,$ segment $BF$ bisects $\angle ABD,$ so $AF:FD=AB:BD$

Solución:

Al aplicar el teorema de la bisectriz al $\triangle ABC$ se obtiene $BD:DC=AB:AC=6:8,$ así que $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Ahora $BF$ está sobre la bisectriz de $\angle ABD$ en $\triangle ABD,$ así que, por el teorema de la bisectriz de nuevo, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Applying the Angle Bisector Theorem to $\triangle ABC$ gives $BD:DC=AB:AC=6:8,$ so $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Now $BF$ lies along the bisector of $\angle ABD$ in $\triangle ABD,$ so by the Angle Bisector Theorem again, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

13.

Sea $N$ un múltiplo positivo de $5.$ Una bola roja y $N$ bolas verdes se ordenan en una fila en orden aleatorio. Sea $P(N)$ la probabilidad de que al menos $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que $P(5)=1$ y que $P(N)$ tiende a $\dfrac{4}{5}$ cuando $N$ crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de $N$ tal que $P(N)\lt\dfrac{321}{400}$ ?

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\dfrac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\dfrac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N)\lt\dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Conceptos:probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Escribe $N=5k;$ la bola roja tiene $5k+1$ posiciones igualmente probables.

Write $N=5k;$ the red ball has $5k+1$ equally likely positions

Pista grande:

$P(N)=\dfrac{4k+2}{5k+1};$ resuelve $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ .

$P(N)=\dfrac{4k+2}{5k+1};$ solve $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$

Solución:

Escribe $N=5k.$ Numera las posiciones de la bola roja $0,1,\ldots,5k$ desde un extremo; hay $5k+1$ posiciones igualmente probables.

Menos de $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes quedan de cada lado exactamente cuando la bola roja está en una de las posiciones $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ que son $k-1$ posiciones. Por lo tanto $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Al resolver $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ se obtiene $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ así que $1600k+800\lt 1605k+321$ y $5k\gt 479,$ es decir $k\gt 95.8.$ Por lo tanto $k=96$ y $N=480,$ cuya suma de dígitos es $4+8+0=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $N=5k.$ Number the positions of the red ball $0,1,\ldots,5k$ from one end; there are $5k+1$ equally likely positions.

Fewer than $\dfrac{3}{5}$ of the green balls lie on each side exactly when the red ball is in one of the positions $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ which is $k-1$ positions. Hence $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Solving $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ gives $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ so $1600k+800\lt 1605k+321$ and $5k\gt 479,$ meaning $k\gt 95.8.$ Thus $k=96$ and $N=480,$ whose digit sum is $4+8+0=12.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero de $1$ a $8,$ usando cada entero una sola vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Las disposiciones que pueden obtenerse una de otra mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer from $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Cada vértice está en $3$ caras, así que las seis sumas de caras totalizan $3(1+2+\cdots+8)$ .

Each vertex lies on $3$ faces, so the six face-sums total $3(1+2+\cdots+8)$

Pista grande:

La suma por cara es $18;$ demuestra que $1$ y $8$ deben estar en vértices adyacentes.

The face-sum is $18;$ show $1$ and $8$ must be on adjacent vertices

Solución:

Cada vértice pertenece a $3$ caras, así que $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ y la suma de cada cara es $S=18.$

Los subconjuntos de cuatro elementos que contienen $1$ y suman $18$ son $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ y $\{1,4,6,7\}.$ Solo uno omite $8,$ así que al menos dos de las tres caras distintas que pasan por $1$ contienen $8.$ Dos vértices de un cubo pertenecen a dos caras comunes exactamente cuando son adyacentes; por tanto, $1$ y $8$ son adyacentes.

Rotemos el cubo para que $1$ esté en el vértice inferior izquierdo delantero y $8$ en el inferior derecho delantero. La única cara que pasa por $1$ y no contiene $8$ debe usar $4,6,7,$ que pueden colocarse en $3!=6$ órdenes. Cada orden obliga a poner $5,3,2$ en los tres vértices opuestos, y las demás caras suman entonces $18.$ Por tanto, hay $6$ disposiciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each vertex belongs to $3$ faces, so $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ giving each face-sum $S=18.$

The four-element subsets containing $1$ with sum $18$ are $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ and $\{1,4,6,7\}.$ Only one omits $8,$ so at least two of the three distinct faces through $1$ contain $8.$ Two vertices of a cube lie on two common faces exactly when they are adjacent; hence $1$ and $8$ are adjacent.

Rotate the cube so that $1$ is at the lower-left-front vertex and $8$ at the lower-right-front vertex. The unique face through $1$ that does not contain $8$ must use $4,6,7,$ and these can be placed in $3!=6$ orders. Each order forces $5,3,2$ at the three opposite vertices, and the remaining face sums are then $18.$ Hence there are $6$ arrangements.

Thus, the correct answer is C.

15.

Las circunferencias con centros $P,$ $Q,$ y $R,$ de radios $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente, están del mismo lado de la recta $l$ y son tangentes a $l$ en $P',$ $Q',$ y $R',$ respectivamente, con $Q'$ entre $P'$ y $R'.$ La circunferencia con centro $Q$ es tangente exterior a cada una de las otras dos. ¿Cuál es el área del $\triangle PQR$ ?

Circles with centers $P,$ $Q,$ and $R,$ having radii $1,$ $2,$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P',$ $Q',$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La distancia horizontal entre dos puntos de tangencia es $\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}$ .

The horizontal distance between two tangent points is $\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}$

Pista grande:

Coloca $P,Q,R$ a alturas $1,2,3$ y usa la fórmula del cordón.

Place $P,Q,R$ at heights $1,2,3$ and use the shoelace formula

Solución:

Los centros están a alturas $1,$ $2,$ y $3$ sobre la recta $l.$ Como la circunferencia $Q$ es tangente exterior a la circunferencia $P,$ tenemos $PQ=3,$ por lo que la distancia horizontal es $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.$ Como la circunferencia $Q$ es tangente a la circunferencia $R,$ tenemos $QR=5,$ así que $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$

Coloca $P=(0,1),$ $Q=(\sqrt8,2),$ y $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).$ Por la fórmula del cordón, el área es $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers lie at heights $1,$ $2,$ and $3$ above line $l.$ Since circle $Q$ is externally tangent to circle $P,$ we have $PQ=3,$ so the horizontal distance is $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.$ Since circle $Q$ is tangent to circle $R,$ we have $QR=5,$ so $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$

Place $P=(0,1),$ $Q=(\sqrt8,2),$ and $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).$ By the shoelace formula, the area is $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

16.

Las gráficas de $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{\frac{1}{3}} x,$ y $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ se trazan en el mismo sistema de ejes. ¿Cuántos puntos del plano con coordenada $x$ positiva están sobre dos o más de las gráficas?

The graphs of $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{\frac{1}{3}} x,$ and $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive $x$ -coordinates lie on two or more of the graphs?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $u=\log_3 x$ y reescribe las cuatro como $u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u$ .

Let $u=\log_3 x$ and rewrite all four as $u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u$

Pista grande:

Halla cada $x$ donde dos de estas cuatro expresiones sean iguales.

Find every $x$ where two of these four expressions are equal

Solución:

Sea $u=\log_3 x.$ Entonces $\log_x 3=\dfrac1u,$ $\log_{\frac{1}{3}}x=-u,$ y $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.$ Dos gráficas se encuentran donde dos de $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ son iguales para algún valor válido $x\gt 0.$

Igualar $u=\dfrac1u$ da $u=\pm1,$ así que $x=3$ o $x=\dfrac13;$ igualar $-u=-\dfrac1u$ da los mismos valores. Igualar $u=-u$ da $u=0,$ es decir $x=1,$ donde $\log_3 x$ y $\log_{\frac{1}{3}}x$ son ambos $0.$ Los emparejamientos restantes no tienen solución real.

Los puntos de intersección distintos son $(1,0),$ $(3,1),$ $\left(\dfrac13,-1\right),$ $(3,-1),$ y $\left(\dfrac13,1\right),$ así que hay $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $u=\log_3 x.$ Then $\log_x 3=\dfrac1u,$ $\log_{\frac{1}{3}}x=-u,$ and $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.$ Two graphs meet where two of $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ are equal for some valid $x\gt 0.$

Setting $u=\dfrac1u$ gives $u=\pm1,$ so $x=3$ or $x=\dfrac13;$ setting $-u=-\dfrac1u$ gives the same values. Setting $u=-u$ gives $u=0,$ i.e. $x=1,$ where $\log_3 x$ and $\log_{\frac{1}{3}}x$ are both $0.$ The remaining pairings have no real solution.

The distinct intersection points are $(1,0),$ $(3,1),$ $\left(\dfrac13,-1\right),$ $(3,-1),$ and $\left(\dfrac13,1\right),$ so there are $5.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $E,$ $F,$ $G,$ y $H$ los centros, respectivamente, de triángulos equiláteros con bases $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA},$ cada uno exterior al cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado $EFGH$ y el área del cuadrado $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be a square. Let $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ each exterior to the square. What is the ratio of the area of square $EFGH$ to the area of square $ABCD?$

$1$

$\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$

Conceptos:triángulo equilátero baricentro razón de áreas

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El centro de un triángulo equilátero está a $\frac13$ de su altura desde la base.

The center of an equilateral triangle lies $\frac13$ of its height from the base

Pista grande:

Compara las diagonales de los dos cuadrados; la razón de áreas es el cuadrado de la razón de longitudes.

Compare diagonals of the two squares; the area ratio is the square of the length ratio

Solución:

Sea el cuadrado $ABCD$ de lado $6.$ Cada triángulo equilátero tiene altura $3\sqrt3,$ y su centro está a $\frac13$ de esa altura, es decir $\sqrt3,$ del lado del cuadrado.

El cuadrado $ABCD$ tiene diagonal $6\sqrt2.$ El cuadrado $EFGH$ tiene diagonal igual al lado de $ABCD$ más dos veces $\sqrt3,$ es decir $6+2\sqrt3.$ La razón de áreas es el cuadrado de la razón de diagonales: $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let square $ABCD$ have side length $6.$ Each equilateral triangle has height $3\sqrt3,$ and its center lies $\frac13$ of that height, namely $\sqrt3,$ from the square’s side.

Square $ABCD$ has diagonal $6\sqrt2.$ Square $EFGH$ has diagonal equal to the side of $ABCD$ plus twice $\sqrt3,$ namely $6+2\sqrt3.$ The area ratio is the square of the ratio of diagonals: $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

18.

Para cierto entero positivo $n,$ el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

$110=2\cdot5\cdot11,$ así que $110n^3$ tiene exactamente tres factores primos.

$110=2\cdot5\cdot11,$ so $110n^3$ has exactly three prime factors

Pista grande:

Los exponentes más uno se multiplican para dar $110=2\cdot5\cdot11;$ deduce $n=p\cdot q^3$ .

The exponents plus one multiply to $110=2\cdot5\cdot11;$ deduce $n=p\cdot q^3$

Solución:

El número $110n^3$ es divisible entre los tres primos distintos $2,5,11.$ Si sus exponentes primos son $r_1,r_2,\ldots,$ entonces $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,$ donde $110=2\cdot5\cdot11.$ Como ya hay al menos tres factores mayores que $1,$ hay exactamente tres, así que ningún otro primo divide a $n.$

Cada exponente de $110n^3$ es $1\pmod3,$ por lo que cada factor $r_i+1$ del número de divisores es $2\pmod3.$ Los factores $2,5,11$ tienen todos esa forma, así que los exponentes son $1,4,10$ en algún orden. Tras restar el exponente $1$ aportado por $110$ y dividir entre $3,$ los exponentes de $n$ son $0,1,3$ en algún orden. Por tanto, $n=pq^3$ para dos primos distintos $p,q$ elegidos de $2,5,11.$

En consecuencia, $n^4$ tiene exponentes $4$ y $12,$ mientras que $81=3^4$ introduce un tercer primo porque $n$ no es divisible por $3.$ Así, la cantidad de divisores de $81n^4$ es $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number $110n^3$ is divisible by the three distinct primes $2,5,11.$ If its prime exponents are $r_1,r_2,\ldots,$ then $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,$ where $110=2\cdot5\cdot11.$ Because there are already at least three factors greater than $1,$ there are exactly three, so no other prime divides $n.$

Each exponent in $110n^3$ is $1\pmod3,$ so each divisor-count factor $r_i+1$ is $2\pmod3.$ The factors $2,5,11$ all have that form, so the exponents are $1,4,10$ in some order. After subtracting the exponent $1$ from $110$ and dividing by $3,$ the exponents in $n$ are $0,1,3$ in some order. Thus $n=pq^3$ for two distinct primes $p,q$ chosen from $2,5,11.$

Consequently $n^4$ has exponents $4$ and $12,$ while $81=3^4$ introduces a third prime because $n$ is not divisible by $3.$ Hence the number of divisors of $81n^4$ is $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

19.

Jerry parte del $0$ en la recta numérica real. Lanza una moneda justa $8$ veces. Cuando sale cara, se mueve $1$ unidad en la dirección positiva; cuando sale cruz, se mueve $1$ unidad en la dirección negativa. La probabilidad de que alcance $4$ en algún momento de este proceso es $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ? (Por ejemplo, tiene éxito si su secuencia de lanzamientos es HTHHHHHH.)

Jerry starts at $0$ on the real number line. He tosses a fair coin $8$ times. When he gets heads, he moves $1$ unit in the positive direction; when he gets tails, he moves $1$ unit in the negative direction. The probability that he reaches $4$ at some time during this process is $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$ (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)

$69$

$151$

$257$

$293$

$313$

Conceptos:camino aleatorio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Cuenta las $2^8$ secuencias de lanzamientos en las que el total acumulado alcanza $4$ .

Count the $2^8$ toss sequences in which the running total reaches $4$

Pista grande:

Con a lo sumo $2$ cruces siempre alcanza $4;$ con $3$ o $4$ cruces solo funcionan algunos órdenes.

With at most $2$ tails he always reaches $4;$ with $3$ or $4$ tails only some orders work

Solución:

Contemos las secuencias de $8$ lanzamientos cuyo total acumulado alcanza $4.$ Con a lo sumo $2$ cruces, con seguridad alcanza $4,$ lo que aporta $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ secuencias.

Con exactamente $3$ cruces, puede alcanzar $4$ por primera vez en el lanzamiento $4$ o en el $6.$ Alcanzarlo en el lanzamiento $4$ requiere cuatro caras iniciales, tras las cuales la cara restante tiene $4$ posiciones posibles. En caso contrario, los lanzamientos $5$ y $6$ son caras, uno de los cuatro primeros es cruz y los dos últimos son cruces, lo que da otras $4$ posibilidades. Así, este caso aporta $8.$ Con exactamente $4$ cruces, solo funciona HHHHTTTT, lo que da $1.$ No puede alcanzar $4$ con menos de $4$ caras.

Por tanto, hay $37+8+1=46$ secuencias favorables de $2^8=256,$ una probabilidad de $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Entonces $a+b=23+128=151.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Count the sequences of $8$ tosses whose running total reaches $4.$ With at most $2$ tails he certainly reaches $4,$ contributing $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ sequences.

With exactly $3$ tails, he can first reach $4$ on toss $4$ or toss $6.$ Reaching it on toss $4$ requires four initial heads, after which the remaining head has $4$ possible positions. Otherwise, tosses $5$ and $6$ are heads, one of the first four tosses is a tail, and the last two are tails, again giving $4$ possibilities. Thus this case contributes $8.$ With exactly $4$ tails, only HHHHTTTT works, giving $1.$ He cannot reach $4$ with fewer than $4$ heads.

So there are $37+8+1=46$ favorable sequences out of $2^8=256,$ a probability of $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Then $a+b=23+128=151.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Una operación binaria $\diamond$ tiene las propiedades de que $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ y que $a\diamond a=1$ para todos los números reales no nulos $a,$ $b,$ y $c.$ (Aquí el punto $\cdot$ representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación $2016\diamond(6\diamond x)=100$ puede escribirse como $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A binary operation $\diamond$ has the properties that $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ and that $a\diamond a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016\diamond(6\diamond x)=100$ can be written as $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa $a\diamond a=1$ para simplificar $a\diamond(a\diamond a)$ .

Use $a\diamond a=1$ to simplify $a\diamond(a\diamond a)$

Pista grande:

Demuestra que $a\diamond b=\dfrac{a}{b},$ así que $2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}$ .

Show $a\diamond b=\dfrac{a}{b},$ so $2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}$

Solución:

Al poner $b=c=a$ se obtiene $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Luego, al poner $c=b$ se obtiene $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ así que $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Por lo tanto $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered}$ así que $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ y $p+q=25+84=109.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $b=c=a$ gives $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Then setting $c=b$ gives $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ so $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Therefore $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered}$ so $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ and $p+q=25+84=109.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de radio $200\sqrt{2}.$ Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200.$ ¿Cuál es la longitud de su cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of its fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Conceptos:cuadrilátero cíclico ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Cada lado de longitud $200$ subtiende un ángulo central $\theta$ con $\cos\theta=\frac34$ .

Each side of length $200$ subtends a central angle $\theta$ with $\cos\theta=\frac34$

Pista grande:

El cuarto lado subtiende $3\theta;$ usa $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ .

The fourth chord has the same length as one subtending $3\theta;$ use $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo central que subtiende un lado de longitud $200,$ con radio $R=200\sqrt2.$ Por la ley de los cosenos en el triángulo isósceles formado con el centro, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ así que $\cos\theta=\dfrac34.$

Los tres lados iguales ocupan tres arcos consecutivos de ángulo $\theta,$ por lo que el cuarto arco tiene ángulo $2\pi-3\theta.$ Su cuerda tiene la misma longitud que una cuerda de ángulo central $3\theta,$ y $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ El cuadrado de su longitud es $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ así que el cuarto lado mide $500.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\theta$ be the central angle subtending a side of length $200,$ with radius $R=200\sqrt2.$ By the law of cosines on the isosceles triangle from the center, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ so $\cos\theta=\dfrac34.$

The three equal sides use three consecutive arcs of angle $\theta,$ so the fourth arc has angle $2\pi-3\theta.$ Its chord has the same length as a chord with central angle $3\theta,$ and $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ Its length squared is $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ so the fourth side is $500.$

Thus, the correct answer is E.

22.

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros positivos satisfacen $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ y $\text{lcm}(y,z)=900$ ?

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Factoriza: $72=2^3\cdot3^2,$ $600=2^3\cdot3\cdot5^2,$ $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$ .

Factor: $72=2^3\cdot3^2,$ $600=2^3\cdot3\cdot5^2,$ $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$

Pista grande:

Trata cada primo $2,3,5$ por separado, usando el $\max$ de los exponentes.

Handle each prime $2,3,5$ separately, using $\max$ of the exponents

Solución:

Como $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ y $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ el factor $5^2$ divide a $z$ mientras que ni $x$ ni $y$ es divisible por $5.$ Además, $3^2$ divide a $y,$ mientras que ni $x$ ni $z$ es divisible por $3^2,$ y $x$ debe tener el factor $2^3.$

Escribiendo $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ y $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ las condiciones de lcm requieren $\max(j,n)=1$ y $\max(k,m)=2.$ El primer par puede ser $(1,0),(0,1),(1,1),$ y el segundo puede ser $(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).$ Así, hay $3\cdot5=15$ ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ and $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ the factor $5^2$ divides $z$ while neither $x$ nor $y$ is divisible by $5.$ Also $3^2$ divides $y,$ while neither $x$ nor $z$ is divisible by $3^2,$ and $x$ must have the factor $2^3.$

Writing $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ and $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ the lcm conditions require $\max(j,n)=1$ and $\max(k,m)=2.$ The first pair can be $(1,0),(0,1),(1,1),$ and the second can be $(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).$ Thus there are $3\cdot5=15$ ordered triples.

Thus, the correct answer is A.

23.

Se eligen tres números en el intervalo $[0,1]$ de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?

Three numbers in the interval $[0,1]$ are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

Conceptos:probabilidad geométrica desigualdad triangular volumen

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Las ternas $(x,y,z)$ llenan un cubo unitario; el fallo significa que un número es $\ge$ que la suma de los otros dos.

The triples $(x,y,z)$ fill a unit cube; failure means one number $\ge$ the sum of the other two

Pista grande:

Cada región como $z\ge x+y$ es un tetraedro de volumen $\frac16$ .

Each region such as $z\ge x+y$ is a tetrahedron of volume $\frac16$

Solución:

Las ternas ordenadas $(x,y,z)$ llenan el cubo unitario de volumen $1.$ No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.

La región $z\ge x+y$ es un tetraedro con vértices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ de volumen $\frac16.$ Las regiones análogas $x\ge y+z$ y $y\ge x+z$ también tienen volumen $\frac16$ y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es $3\cdot\frac16=\frac12,$ y la probabilidad de triángulo es $1-\frac12=\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ordered triples $(x,y,z)$ fill the unit cube of volume $1.$ They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region $z\ge x+y$ is a tetrahedron with vertices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ of volume $\frac16.$ The analogous regions $x\ge y+z$ and $y\ge x+z$ also have volume $\frac16$ and have disjoint interiors. So the failure probability is $3\cdot\frac16=\frac12,$ and the triangle probability is $1-\frac12=\frac12.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Existe un menor número real positivo $a$ tal que existe un número real positivo $b$ para el cual todas las raíces del polinomio $x^3-ax^2+bx-a$ son reales. De hecho, para este valor de $a$ el valor de $b$ es único. ¿Cuál es este valor de $b$ ?

There is a smallest positive real number $a$ such that there exists a positive real number $b$ such that all the roots of the polynomial $x^3-ax^2+bx-a$ are real. In fact, for this value of $a$ the value of $b$ is unique. What is this value of $b?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:Fórmulas de Vieta Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Si las raíces son $r,s,t,$ entonces $r+s+t=a$ y $rst=a$ .

If the roots are $r,s,t,$ then $r+s+t=a$ and $rst=a$

Pista grande:

Aplica la desigualdad MA-MG a $r,s,t;$ el mínimo $a$ obliga a $r=s=t$ .

Apply AM-GM to $r,s,t;$ the minimum $a$ forces $r=s=t$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las raíces reales $r,s,t$ satisfacen $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ y $rst=a,$ así que $r+s+t=rst.$

El producto positivo significa que las tres raíces son positivas o que dos son negativas. En el segundo caso, escribamos las raíces como $-u,-v,w$ con $u,v,w\gt0.$ La suma positiva obliga a $w\gt u+v,$ y entonces $b=uv-w(u+v)\lt0,$ una contradicción. Por tanto, las tres raíces son positivas.

Por la desigualdad MA-MG, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ de modo que $a=rst\ge 3\sqrt3,$ con igualdad si y solo si $r=s=t=\sqrt3.$ Para este menor $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By Vieta’s formulas, the real roots $r,s,t$ satisfy $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ and $rst=a,$ so $r+s+t=rst.$

The positive product means either all three roots are positive or two are negative. In the latter case write the roots as $-u,-v,w$ with $u,v,w\gt0.$ The positive sum forces $w\gt u+v,$ and then $b=uv-w(u+v)\lt0,$ a contradiction. Hence all three roots are positive.

By the AM-GM inequality, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ so $a=rst\ge 3\sqrt3,$ with equality if and only if $r=s=t=\sqrt3.$ At this smallest $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

25.

Sea $k$ un entero positivo. Bernardo y Silvia se turnan para escribir y borrar números en una pizarra de la siguiente manera: Bernardo empieza escribiendo el menor cuadrado perfecto con $k+1$ dígitos. Cada vez que Bernardo escribe un número, Silvia borra los últimos $k$ dígitos de él. Bernardo escribe entonces el siguiente cuadrado perfecto, Silvia borra los últimos $k$ dígitos, y este proceso continúa hasta que los dos últimos números que quedan en la pizarra difieren en al menos $2.$ Sea $f(k)$ el menor entero positivo que no se escribió en la pizarra. Por ejemplo, si $k=1,$ los números que Bernardo escribe son $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ y $64,$ y los números que muestran en la pizarra tras borrar Silvia son $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $6,$ de modo que $f(1)=5.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)$ ?

Let $k$ be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with $k+1$ digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last $k$ digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last $k$ digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least $2.$ Let $f(k)$ be the smallest positive integer not written on the board. For example, if $k=1,$ then the numbers that Bernardo writes are $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ and $64,$ and the numbers showing on the board after Silvia erases are $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $6,$ and thus $f(1)=5.$ What is the sum of the digits of $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)?$

$7986$

$8002$

$8030$

$8048$

$8064$

Conceptos:cuadrado perfecto funciones piso y techo dígitos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Para el caso par $k=2j,$ los números mostrados son $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ para $n\ge 10^{j}$ .

For even $k=2j,$ the numbers shown are $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ for $n\ge 10^{j}$

Pista grande:

Demuestra que $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},$ luego suma sobre $j$ .

Show $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},$ then add over $j$

Solución:

Tomemos $k=2j.$ El menor cuadrado perfecto con $k+1$ cifras es $10^{k}=(10^{j})^2,$ y después de que Silvia borra las cifras, los números mostrados son $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ para $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Sea $M=10^k.$ Un salto de al menos $2$ de $n$ a $n+1$ exige $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ así que escribimos $n=\frac{M}{2}+m$ con $m\ge0.$ El caso $m=0$ produce un salto de solo $1,$ de modo que el primer salto mayor tiene $m\ge1.$ Sean $A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor$ y $B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.$ Como $M$ es divisible por $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Por tanto, el primer salto de al menos $2$ ocurre para el primer $m$ tal que $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Como $\sqrt M=10^j,$ este valor es $m=10^j-1.$ El último valor mostrado antes del hueco es $\frac{M}{4}+10^j-1,$ así que el menor entero ausente es $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Sumando para $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ dígitos}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ dígitos}}. \end{gathered}$ No hay acarreos, así que la suma de cifras es $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Take $k=2j.$ The smallest perfect square with $k+1$ digits is $10^{k}=(10^{j})^2,$ and after Silvia erases, the numbers shown are $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ for $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Put $M=10^k.$ A jump of at least $2$ from $n$ to $n+1$ requires $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ so write $n=\frac{M}{2}+m$ with $m\ge0.$ The case $m=0$ gives a jump of only $1,$ so the first larger jump has $m\ge1.$ Let $A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor$ and $B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.$ Because $M$ is divisible by $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Therefore the first jump of at least $2$ occurs at the first $m$ for which $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Since $\sqrt M=10^j,$ this is $m=10^j-1.$ The last displayed value before the gap is $\frac{M}{4}+10^j-1,$ so the smallest missing integer is $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Summing over $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ There are no carries, so the digit sum is $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Thus, the correct answer is E.