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Problemas del 2016 AMC 12A

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1.

¿Cuál es el valor de 11!−10!9!?\dfrac{11!-10!}{9!}?
What is the value of 11!−10!9!?\dfrac{11!-10!}{9!}?
9999
100100
110110
121121
132132
Respuesta: B
Conceptos:factorialfactorización
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Factoriza 10!10! del numerador.
Factor 10!10! out of the numerator
Pista grande:
11!−10!=10!(11−1)11!-10!=10!(11-1) y 10!=10⋅9!10!=10\cdot 9!.
11!−10!=10!(11−1)11!-10!=10!(11-1) and 10!=10⋅9!10!=10\cdot 9!
Solución:
Al factorizar el numerador se obtiene 11!−10!9!=10!(11−1)9!=10⋅9!⋅109!=100. \begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Factoring the numerator gives 11!−10!9!=10!(11−1)9!=10⋅9!⋅109!=100. \begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

2.

¿Para qué valor de xx se cumple 10x⋅1002x=1000510^x\cdot 100^{2x}=1000^5?
For what value of xx does 10x⋅1002x=10005?10^x\cdot 100^{2x}=1000^5?
11
22
33
44
55
Respuesta: C
Conceptos:exponente
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Escribe cada base como una potencia de 1010.
Write every base as a power of 1010
Pista grande:
El lado izquierdo se convierte en 105x10^{5x} y el derecho en 101510^{15}.
The left side becomes 105x10^{5x} and the right side 101510^{15}
Solución:
Como 100=102100=10^2 y 1000=103,1000=10^3, la ecuación se convierte en 10x⋅104x=1015, 10^x\cdot 10^{4x}=10^{15}, así que 105x=1015.10^{5x}=10^{15}. Entonces 5x=15,5x=15, lo que da x=3.x=3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since 100=102100=10^2 and 1000=103,1000=10^3, the equation becomes 10x⋅104x=1015, 10^x\cdot 10^{4x}=10^{15}, so 105x=1015.10^{5x}=10^{15}. Then 5x=15,5x=15, giving x=3.x=3.
Thus, the correct answer is C.

3.

La función resto puede definirse para todos los números reales xx e yy con y≠0y\neq 0 mediante rem(x,y)=x−y⌊xy⌋, \text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor, donde ⌊xy⌋\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor denota el mayor entero menor o igual que xy.\dfrac{x}{y}. ¿Cuál es el valor de rem(38,−25)\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?
The remainder function can be defined for all real numbers xx and yy with y≠0y\neq 0 by rem(x,y)=x−y⌊xy⌋, \text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor, where ⌊xy⌋\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor denotes the greatest integer less than or equal to xy.\dfrac{x}{y}. What is the value of rem(38,−25)?\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?
−38-\dfrac{3}{8}
−140-\dfrac{1}{40}
00
38\dfrac{3}{8}
3140\dfrac{31}{40}
Respuesta: B
Conceptos:operación personalizadafunciones piso y techo
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Calcula primero xy=38−25\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}.
Compute xy=38−25\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}} first
Pista grande:
⌊−1516⌋=−1\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.
⌊−1516⌋=−1\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1
Solución:
Primero, xy=38−25=38⋅(−52)=−1516, \begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered} y ⌊−1516⌋=−1.\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.
Por consiguiente rem(38,−25)=38−(−25)(−1)=38−25=15−1640=−140. \begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
First, xy=38−25=38⋅(−52)=−1516, \begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered} and ⌊−1516⌋=−1.\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.
Therefore rem(38,−25)=38−(−25)(−1)=38−25=15−1640=−140. \begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

4.

La media, la mediana y la moda de los 77 valores 60,60, 100,100, x,x, 40,40, 50,50, 200,200, 9090 son todas iguales a x.x. ¿Cuál es el valor de xx?
The mean, median, and mode of the 77 data values 60,60, 100,100, x,x, 40,40, 50,50, 200,200, 9090 are all equal to x.x. What is the value of x?x?
5050
6060
7575
9090
100100
Respuesta: D
Conceptos:mediamediana (datos)moda
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Iguala la media a xx.
Set the mean equal to xx
Pista grande:
540+x7=x,\dfrac{540+x}{7}=x, luego confirma la mediana y la moda.
540+x7=x,\dfrac{540+x}{7}=x, then confirm the median and mode
Solución:
La condición sobre la media da 60+100+x+40+50+200+907=540+x7=x, \begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered} así que 540+x=7x540+x=7x y x=90.x=90.
En orden no decreciente los datos son 40,50,60,90,90,100,200,40, 50, 60, 90, 90, 100, 200, de modo que la mediana es 9090 y la moda es 90,90, como se requería.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The mean condition gives 60+100+x+40+50+200+907=540+x7=x, \begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered} so 540+x=7x540+x=7x and x=90.x=90.
In nondecreasing order the data are 40,50,60,90,90,100,200,40, 50, 60, 90, 90, 100, 200, so the median is 9090 and the mode is 90,90, as required.
Thus, the correct answer is D.

5.

La conjetura de Goldbach afirma que todo entero par mayor que 22 puede escribirse como la suma de dos números primos (por ejemplo, 2016=13+20032016=13+2003). Hasta ahora, nadie ha logrado demostrar que la conjetura es verdadera, y nadie ha encontrado un contraejemplo que muestre que es falsa. ¿En qué consistiría un contraejemplo?
Goldbach’s conjecture states that every even integer greater than 22 can be written as the sum of two prime numbers (for example, 2016=13+20032016=13+2003). So far, no one has been able to prove that the conjecture is true, and no one has found a counterexample to show that the conjecture is false. What would a counterexample consist of?
un entero impar mayor que 22 que puede escribirse como la suma de dos números primos
an odd integer greater than 22 that can be written as the sum of two prime numbers
un entero impar mayor que 22 que no puede escribirse como la suma de dos números primos
an odd integer greater than 22 that cannot be written as the sum of two prime numbers
un entero par mayor que 22 que puede escribirse como la suma de dos números que no son primos
an even integer greater than 22 that can be written as the sum of two numbers that are not prime
un entero par mayor que 22 que puede escribirse como la suma de dos números primos
an even integer greater than 22 that can be written as the sum of two prime numbers
un entero par mayor que 22 que no puede escribirse como la suma de dos números primos
an even integer greater than 22 that cannot be written as the sum of two prime numbers
Respuesta: E
Conceptos:contraejemplodeducción lógica
Nivel de dificultad: 1100
Pista pequeña:
Un contraejemplo mantiene la hipótesis pero rompe la conclusión.
A counterexample keeps the hypothesis but breaks the conclusion
Pista grande:
La hipótesis es “un entero par mayor que 22”; la conclusión es “una suma de dos primos”.
The hypothesis is “even integer greater than 22”; the conclusion is “a sum of two primes”
Solución:
Un contraejemplo debe satisfacer la hipótesis de ser un entero par mayor que 22 y a la vez incumplir la conclusión de que puede escribirse como la suma de dos números primos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
A counterexample must satisfy the hypothesis of being an even integer greater than 22 while failing the conclusion that it can be written as the sum of two prime numbers.
Thus, the correct answer is E.

6.

Un arreglo triangular de 20162016 monedas tiene 11 moneda en la primera fila, 22 monedas en la segunda fila, 33 monedas en la tercera fila, y así sucesivamente hasta NN monedas en la fila NN. ¿Cuál es la suma de los dígitos de NN?
A triangular array of 20162016 coins has 11 coin in the first row, 22 coins in the second row, 33 coins in the third row, and so on up to NN coins in the NNth row. What is the sum of the digits of N?N?
66
77
88
99
1010
Respuesta: D
Conceptos:número triangularestimación
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
1+2+⋯+N=N(N+1)21+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}.
1+2+⋯+N=N(N+1)21+2+\cdots+N=\dfrac{N(N+1)}{2}
Pista grande:
Resuelve N(N+1)=4032N(N+1)=4032 observando que N≈4032N\approx\sqrt{4032}.
Solve N(N+1)=4032N(N+1)=4032 by noting N≈4032N\approx\sqrt{4032}
Solución:
El número total de monedas es 1+2+⋯+N=N(N+1)2=2016, \begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered} así que N(N+1)=4032.N(N+1)=4032. Como 63⋅64=4032,63\cdot 64=4032, tenemos N=63,N=63, y la suma de sus dígitos es 6+3=9.6+3=9.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The total number of coins is 1+2+⋯+N=N(N+1)2=2016, \begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered} so N(N+1)=4032.N(N+1)=4032. Since 63⋅64=4032,63\cdot 64=4032, we have N=63,N=63, and the sum of its digits is 6+3=9.6+3=9.
Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál de estas opciones describe la gráfica de x2(x+y+1)=y2(x+y+1)x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?
Which of these describes the graph of x2(x+y+1)=y2(x+y+1)?x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?
dos rectas paralelas
two parallel lines
dos rectas que se cortan
two intersecting lines
tres rectas que pasan todas por un punto común
three lines that all pass through a common point
tres rectas que no pasan todas por un punto común
three lines that do not all pass through a common point
una recta y una parábola
a line and a parabola
Respuesta: D
Conceptos:factorizacióndiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Mueve todo a un lado y factoriza x+y+1x+y+1.
Move everything to one side and factor out x+y+1x+y+1
Pista grande:
(x−y)(x+y)(x+y+1)=0(x-y)(x+y)(x+y+1)=0 es la unión de tres rectas.
(x−y)(x+y)(x+y+1)=0(x-y)(x+y)(x+y+1)=0 is the union of three lines
Solución:
Al pasar todos los términos a un lado se obtiene (x2−y2)(x+y+1)=0, (x^2-y^2)(x+y+1)=0, que se factoriza como (x−y)(x+y)(x+y+1)=0. (x-y)(x+y)(x+y+1)=0. Por lo tanto, la gráfica es la unión de las rectas x=y,x=y, x=−y,x=-y, y x+y+1=0.x+y+1=0.
Las dos primeras rectas se cortan en el origen, pero la tercera recta x+y=−1x+y=-1 es paralela a x+y=0x+y=0 y no pasa por el origen. Así que la gráfica consta de tres rectas que no pasan todas por un punto común.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Moving all terms to one side gives (x2−y2)(x+y+1)=0, (x^2-y^2)(x+y+1)=0, which factors as (x−y)(x+y)(x+y+1)=0. (x-y)(x+y)(x+y+1)=0. The graph is therefore the union of the lines x=y,x=y, x=−y,x=-y, and x+y+1=0.x+y+1=0.
The first two lines intersect at the origin, but the third line x+y=−1x+y=-1 is parallel to x+y=0x+y=0 and does not pass through the origin. So the graph consists of three lines that do not all pass through a common point.
Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el área de la región sombreada del rectángulo 8×58\times 5 dado?
What is the area of the shaded region of the given 8×58\times 5 rectangle?
4344\tfrac{3}{4}
55
5145\tfrac{1}{4}
6126\tfrac{1}{2}
88
Respuesta: D
Conceptos:área del triángulosimetría
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
Cada segmento dibujado pasa por el centro del rectángulo.
Every drawn segment passes through the center of the rectangle
Pista grande:
La diagonal principal divide la región sombreada en cuatro triángulos, cada uno con base 11.
The main diagonal splits the shaded region into four triangles, each with base 11
Solución:
La diagonal del rectángulo, desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, divide la región sombreada en cuatro triángulos, que se encuentran todos en el centro del rectángulo.
Dos de estos triángulos tienen base horizontal de longitud 11 y altura 12⋅5=52,\frac12\cdot 5=\frac52, y los otros dos tienen base vertical de longitud 11 y altura 12⋅8=4.\frac12\cdot 8=4. El área total es 2⋅12⋅1⋅52+2⋅12⋅1⋅4=52+4=132. \begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The diagonal of the rectangle from the upper-left corner to the lower-right corner divides the shaded region into four triangles, all meeting at the center of the rectangle.
Two of these triangles have a horizontal base of length 11 and altitude 12⋅5=52,\frac12\cdot 5=\frac52, and the other two have a vertical base of length 11 and altitude 12⋅8=4.\frac12\cdot 8=4. The total area is 2⋅12⋅1⋅52+2⋅12⋅1⋅4=52+4=132. \begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.

9.

Los cinco pequeños cuadrados sombreados dentro de este cuadrado unitario son congruentes y tienen interiores disjuntos. El punto medio de cada lado del cuadrado central coincide con uno de los vértices de los otros cuatro cuadrados pequeños, como se muestra. La longitud del lado común es a−2b,\dfrac{a-\sqrt{2}}{b}, donde aa y bb son enteros positivos. ¿Cuánto vale a+ba+b?
The five small shaded squares inside this unit square are congruent and have disjoint interiors. The midpoint of each side of the middle square coincides with one of the vertices of the other four small squares as shown. The common side length is a−2b,\dfrac{a-\sqrt{2}}{b}, where aa and bb are positive integers. What is a+b?a+b?
77
88
99
1010
1111
Respuesta: E
Conceptos:diagonalracionalización del denominador
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Traza la diagonal del cuadrado unitario, que tiene longitud 2\sqrt{2}.
Draw the diagonal of the unit square, which has length 2\sqrt{2}
Pista grande:
Esa diagonal equivale a dos diagonales de cuadrado pequeño más un lado de cuadrado pequeño: 2x2+x=22x\sqrt2+x=\sqrt2.
That diagonal equals two small-square diagonals plus one small-square side: 2x2+x=22x\sqrt2+x=\sqrt2
Solución:
Sea xx la longitud del lado común. La diagonal del cuadrado unitario tiene longitud 2\sqrt{2} y está formada por dos diagonales de cuadrado pequeño (cada una x2x\sqrt2) más un lado de cuadrado pequeño de longitud x,x, así que 2x2+x=2. 2x\sqrt2+x=\sqrt2.
Al resolver, x=222+1=2 (22−1)(22+1)(22−1)=4−27. \begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered} Así, a=4,a=4, b=7,b=7, y a+b=11.a+b=11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let xx be the common side length. The diagonal of the unit square has length 2\sqrt{2} and consists of two small-square diagonals (each x2x\sqrt2) plus one small-square side length x,x, so 2x2+x=2. 2x\sqrt2+x=\sqrt2.
Solving, x=222+1=2 (22−1)(22+1)(22−1)=4−27. \begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered} Thus a=4,a=4, b=7,b=7, and a+b=11.a+b=11.
Thus, the correct answer is E.

10.

Cinco amigos se sentaron en una fila de 55 asientos de un cine, numerados del 11 al 55 de izquierda a derecha. (Las direcciones “izquierda” y “derecha” son desde el punto de vista de las personas sentadas en los asientos.) Durante la película, Ada fue al vestíbulo a comprar palomitas. Cuando regresó, encontró que Bea se había movido dos asientos a la derecha, Ceci se había movido un asiento a la izquierda, y Dee y Edie habían intercambiado asientos, dejando un asiento del extremo para Ada. ¿En qué asiento había estado sentada Ada antes de levantarse?
Five friends sat in a movie theater in a row containing 55 seats, numbered 11 to 55 from left to right. (The directions “left” and “right” are from the point of view of the people as they sit in the seats.) During the movie Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had moved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and Edie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?
11
22
33
44
55
Respuesta: B
Conceptos:invariantededucción lógica
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
El movimiento total hacia la derecha debe igualar al movimiento total hacia la izquierda.
The total rightward movement must equal the total leftward movement
Pista grande:
Bea se mueve +2,+2, Ceci se mueve −1,-1, y Dee y Edie se cancelan; halla el desplazamiento de Ada.
Bea moves +2,+2, Ceci moves −1,-1, and Dee and Edie cancel; find Ada’s shift
Solución:
El desplazamiento neto de los cinco amigos es cero. Dee y Edie intercambiaron asientos, así que sus movimientos se cancelan. Bea se movió +2+2 y Ceci se movió −1,-1, un neto de +1,+1, por lo que Ada debe moverse −1-1 para equilibrar.
Ada regresa a un asiento del extremo; como se movió un asiento a la izquierda, ese asiento debe ser el asiento 1,1, así que había estado sentada en el asiento 2.2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The net displacement of all five friends is zero. Dee and Edie swapped seats, so their movements cancel. Bea moved +2+2 and Ceci moved −1,-1, a net of +1,+1, so Ada must move −1-1 to balance.
Ada returns to an end seat; since she moved one seat to the left, that seat must be seat 1,1, so she had been sitting in seat 2.2.
Thus, the correct answer is B.

11.

Cada uno de los 100100 estudiantes de cierto campamento de verano sabe cantar, bailar o actuar. Algunos estudiantes tienen más de un talento, pero ninguno tiene los tres. Hay 4242 estudiantes que no saben cantar, 6565 que no saben bailar y 2929 que no saben actuar. ¿Cuántos estudiantes tienen dos de estos talentos?
Each of the 100100 students in a certain summer camp can either sing, dance, or act. Some students have more than one talent, but no student has all three talents. There are 4242 students who cannot sing, 6565 students who cannot dance, and 2929 students who cannot act. How many students have two of these talents?
1616
2525
3636
4949
6464
Respuesta: E
Conceptos:conteo complementarioinclusión-exclusióndoble conteo
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Cuenta cuántos estudiantes pueden hacer cada actividad.
Count how many students can do each activity
Pista grande:
Al sumar los tres conteos, los estudiantes con dos talentos se cuentan dos veces; resta 100100.
Adding the three counts tallies two-talent students twice; subtract 100100
Solución:
Los números de quienes saben cantar, bailar y actuar son 100−42=58,100-42=58, 100−65=35,100-65=35, y 100−29=71,100-29=71, respectivamente, para un total de 58+35+71=164.58+35+71=164.
Como ningún estudiante tiene los tres talentos, cada estudiante tiene uno o dos talentos, de modo que los de un solo talento se cuentan una vez y los de dos talentos se cuentan dos veces. El número contado dos veces es 164−100=64.164-100=64.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The numbers who can sing, dance, and act are 100−42=58,100-42=58, 100−65=35,100-65=35, and 100−29=71,100-29=71, respectively, for a total of 58+35+71=164.58+35+71=164.
Since no student has all three talents, each student has one or two talents, so single-talent students are counted once and two-talent students are counted twice. The number counted twice is 164−100=64.164-100=64.
Thus, the correct answer is E.

12.

En △ABC,\triangle ABC, AB=6,AB=6, BC=7,BC=7, y CA=8.CA=8. El punto DD está sobre BC‾,\overline{BC}, y AD‾\overline{AD} biseca ∠BAC.\angle BAC. El punto EE está sobre AC‾,\overline{AC}, y BE‾\overline{BE} biseca ∠ABC.\angle ABC. Las bisectrices se cortan en F.F. ¿Cuál es la razón AF:FDAF:FD?
In △ABC,\triangle ABC, AB=6,AB=6, BC=7,BC=7, and CA=8.CA=8. Point DD lies on BC‾,\overline{BC}, and AD‾\overline{AD} bisects ∠BAC.\angle BAC. Point EE lies on AC‾,\overline{AC}, and BE‾\overline{BE} bisects ∠ABC.\angle ABC. The bisectors intersect at F.F. What is the ratio AF:FD?AF:FD?
3:23:2
5:35:3
2:12:1
7:37:3
5:25:2
Respuesta: C
Conceptos:teorema de la bisectrizrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Aplica el teorema de la bisectriz en △ABC\triangle ABC para hallar BDBD.
Apply the Angle Bisector Theorem in △ABC\triangle ABC to find BDBD
Pista grande:
En △ABD,\triangle ABD, el segmento BFBF biseca ∠ABD,\angle ABD, así que AF:FD=AB:BDAF:FD=AB:BD.
In △ABD,\triangle ABD, segment BFBF bisects ∠ABD,\angle ABD, so AF:FD=AB:BDAF:FD=AB:BD
Solución:
Al aplicar el teorema de la bisectriz al △ABC\triangle ABC se obtiene BD:DC=AB:AC=6:8,BD:DC=AB:AC=6:8, así que BD=66+8⋅7=3.BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.
Ahora BFBF está sobre la bisectriz de ∠ABD\angle ABD en △ABD,\triangle ABD, así que, por el teorema de la bisectriz de nuevo, AF:FD=AB:BD=6:3=2:1. \begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Applying the Angle Bisector Theorem to △ABC\triangle ABC gives BD:DC=AB:AC=6:8,BD:DC=AB:AC=6:8, so BD=66+8⋅7=3.BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.
Now BFBF lies along the bisector of ∠ABD\angle ABD in △ABD,\triangle ABD, so by the Angle Bisector Theorem again, AF:FD=AB:BD=6:3=2:1. \begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}
Thus, the correct answer is C.

13.

Sea NN un múltiplo positivo de 5.5. Una bola roja y NN bolas verdes se ordenan en una fila en orden aleatorio. Sea P(N)P(N) la probabilidad de que al menos 35\dfrac{3}{5} de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que P(5)=1P(5)=1 y que P(N)P(N) tiende a 45\dfrac{4}{5} cuando NN crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de NN tal que P(N)<321400P(N)\lt\dfrac{321}{400}?
Let NN be a positive multiple of 5.5. One red ball and NN green balls are arranged in a line in random order. Let P(N)P(N) be the probability that at least 35\dfrac{3}{5} of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that P(5)=1P(5)=1 and that P(N)P(N) approaches 45\dfrac{4}{5} as NN grows large. What is the sum of the digits of the least value of NN such that P(N)<321400?P(N)\lt\dfrac{321}{400}?
1212
1414
1616
1818
2020
Respuesta: A
Conceptos:probabilidad básicadesigualdad
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Escribe N=5k;N=5k; la bola roja tiene 5k+15k+1 posiciones igualmente probables.
Write N=5k;N=5k; the red ball has 5k+15k+1 equally likely positions
Pista grande:
P(N)=4k+25k+1;P(N)=\dfrac{4k+2}{5k+1}; resuelve 4k+25k+1<321400\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}.
P(N)=4k+25k+1;P(N)=\dfrac{4k+2}{5k+1}; solve 4k+25k+1<321400\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}
Solución:
Escribe N=5k.N=5k. Numera las posiciones de la bola roja 0,1,…,5k0,1,\ldots,5k desde un extremo; hay 5k+15k+1 posiciones igualmente probables.
Menos de 35\dfrac{3}{5} de las bolas verdes quedan de cada lado exactamente cuando la bola roja está en una de las posiciones 2k+1,2k+2,…,3k−1,2k+1,2k+2,\ldots,3k-1, que son k−1k-1 posiciones. Por lo tanto P(N)=1−k−15k+1=4k+25k+1. P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.
Al resolver 4k+25k+1<321400\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400} se obtiene 400(4k+2)<321(5k+1),400(4k+2)\lt 321(5k+1), así que 1600k+800<1605k+3211600k+800\lt 1605k+321 y 5k>479,5k\gt 479, es decir k>95.8.k\gt 95.8. Por lo tanto k=96k=96 y N=480,N=480, cuya suma de dígitos es 4+8+0=12.4+8+0=12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Write N=5k.N=5k. Number the positions of the red ball 0,1,…,5k0,1,\ldots,5k from one end; there are 5k+15k+1 equally likely positions.
Fewer than 35\dfrac{3}{5} of the green balls lie on each side exactly when the red ball is in one of the positions 2k+1,2k+2,…,3k−1,2k+1,2k+2,\ldots,3k-1, which is k−1k-1 positions. Hence P(N)=1−k−15k+1=4k+25k+1. P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.
Solving 4k+25k+1<321400\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400} gives 400(4k+2)<321(5k+1),400(4k+2)\lt 321(5k+1), so 1600k+800<1605k+3211600k+800\lt 1605k+321 and 5k>479,5k\gt 479, meaning k>95.8.k\gt 95.8. Thus k=96k=96 and N=480,N=480, whose digit sum is 4+8+0=12.4+8+0=12.
Thus, the correct answer is A.

14.

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero de 11 a 8,8, usando cada entero una sola vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Las disposiciones que pueden obtenerse una de otra mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles?
Each vertex of a cube is to be labeled with an integer from 11 through 8,8, with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?
11
33
66
1212
2424
Respuesta: C
Conceptos:geometría del cuboanálisis por casossimetría
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Cada vértice está en 33 caras, así que las seis sumas de caras totalizan 3(1+2+⋯+8)3(1+2+\cdots+8).
Each vertex lies on 33 faces, so the six face-sums total 3(1+2+⋯+8)3(1+2+\cdots+8)
Pista grande:
La suma por cara es 18;18; demuestra que 11 y 88 deben estar en vértices adyacentes.
The face-sum is 18;18; show 11 and 88 must be on adjacent vertices
Solución:
Cada vértice pertenece a 33 caras, así que 6S=3(1+2+⋯+8)=108,6S=3(1+2+\cdots+8)=108, y la suma de cada cara es S=18.S=18.
Los subconjuntos de cuatro elementos que contienen 11 y suman 1818 son {1,2,7,8},\{1,2,7,8\}, {1,3,6,8},\{1,3,6,8\}, {1,4,5,8},\{1,4,5,8\}, y {1,4,6,7}.\{1,4,6,7\}. Solo uno omite 8,8, así que al menos dos de las tres caras distintas que pasan por 11 contienen 8.8. Dos vértices de un cubo pertenecen a dos caras comunes exactamente cuando son adyacentes; por tanto, 11 y 88 son adyacentes.
Rotemos el cubo para que 11 esté en el vértice inferior izquierdo delantero y 88 en el inferior derecho delantero. La única cara que pasa por 11 y no contiene 88 debe usar 4,6,7,4,6,7, que pueden colocarse en 3!=63!=6 órdenes. Cada orden obliga a poner 5,3,25,3,2 en los tres vértices opuestos, y las demás caras suman entonces 18.18. Por tanto, hay 66 disposiciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Each vertex belongs to 33 faces, so 6S=3(1+2+⋯+8)=108,6S=3(1+2+\cdots+8)=108, giving each face-sum S=18.S=18.
The four-element subsets containing 11 with sum 1818 are {1,2,7,8},\{1,2,7,8\}, {1,3,6,8},\{1,3,6,8\}, {1,4,5,8},\{1,4,5,8\}, and {1,4,6,7}.\{1,4,6,7\}. Only one omits 8,8, so at least two of the three distinct faces through 11 contain 8.8. Two vertices of a cube lie on two common faces exactly when they are adjacent; hence 11 and 88 are adjacent.
Rotate the cube so that 11 is at the lower-left-front vertex and 88 at the lower-right-front vertex. The unique face through 11 that does not contain 88 must use 4,6,7,4,6,7, and these can be placed in 3!=63!=6 orders. Each order forces 5,3,25,3,2 at the three opposite vertices, and the remaining face sums are then 18.18. Hence there are 66 arrangements.
Thus, the correct answer is C.

15.

Las circunferencias con centros P,P, Q,Q, y R,R, de radios 1,1, 2,2, y 3,3, respectivamente, están del mismo lado de la recta ll y son tangentes a ll en P′,P', Q′,Q', y R′,R', respectivamente, con Q′Q' entre P′P' y R′.R'. La circunferencia con centro QQ es tangente exterior a cada una de las otras dos. ¿Cuál es el área del △PQR\triangle PQR?
Circles with centers P,P, Q,Q, and R,R, having radii 1,1, 2,2, and 3,3, respectively, lie on the same side of line ll and are tangent to ll at P′,P', Q′,Q', and R′,R', respectively, with Q′Q' between P′P' and R′.R'. The circle with center QQ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of △PQR?\triangle PQR?
00
23\sqrt{\dfrac{2}{3}}
11
6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}
32\sqrt{\dfrac{3}{2}}
Respuesta: D
Conceptos:circunferencias tangentesTeorema de Pitágorasfórmula del cordón
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
La distancia horizontal entre dos puntos de tangencia es (r1+r2)2−(r2−r1)2\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}.
The horizontal distance between two tangent points is (r1+r2)2−(r2−r1)2\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}
Pista grande:
Coloca P,Q,RP,Q,R a alturas 1,2,31,2,3 y usa la fórmula del cordón.
Place P,Q,RP,Q,R at heights 1,2,31,2,3 and use the shoelace formula
Solución:
Los centros están a alturas 1,1, 2,2, y 33 sobre la recta l.l. Como la circunferencia QQ es tangente exterior a la circunferencia P,P, tenemos PQ=3,PQ=3, por lo que la distancia horizontal es P′Q′=32−12=8.P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}. Como la circunferencia QQ es tangente a la circunferencia R,R, tenemos QR=5,QR=5, así que Q′R′=52−12=24.Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.
Coloca P=(0,1),P=(0,1), Q=(8,2),Q=(\sqrt8,2), y R=(8+24,3).R=(\sqrt8+\sqrt{24},3). Por la fórmula del cordón, el área es 12∣8(3−1)+(8+24)(1−2)∣=12(24−8)=6−2. \begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The centers lie at heights 1,1, 2,2, and 33 above line l.l. Since circle QQ is externally tangent to circle P,P, we have PQ=3,PQ=3, so the horizontal distance is P′Q′=32−12=8.P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}. Since circle QQ is tangent to circle R,R, we have QR=5,QR=5, so Q′R′=52−12=24.Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.
Place P=(0,1),P=(0,1), Q=(8,2),Q=(\sqrt8,2), and R=(8+24,3).R=(\sqrt8+\sqrt{24},3). By the shoelace formula, the area is 12∣8(3−1)+(8+24)(1−2)∣=12(24−8)=6−2. \begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.

16.

Las gráficas de y=log⁡3x,y=\log_3 x, y=log⁡x3,y=\log_x 3, y=log⁡13x,y=\log_{\frac{1}{3}} x, y y=log⁡x13y=\log_x\dfrac{1}{3} se trazan en el mismo sistema de ejes. ¿Cuántos puntos del plano con coordenada xx positiva están sobre dos o más de las gráficas?
The graphs of y=log⁡3x,y=\log_3 x, y=log⁡x3,y=\log_x 3, y=log⁡13x,y=\log_{\frac{1}{3}} x, and y=log⁡x13y=\log_x\dfrac{1}{3} are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive xx-coordinates lie on two or more of the graphs?
22
33
44
55
66
Respuesta: D
Conceptos:logaritmosustitución
Nivel de dificultad: 1860
Pista pequeña:
Sea u=log⁡3xu=\log_3 x y reescribe las cuatro como u, 1u, −u, −1uu,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u.
Let u=log⁡3xu=\log_3 x and rewrite all four as u, 1u, −u, −1uu,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u
Pista grande:
Halla cada xx donde dos de estas cuatro expresiones sean iguales.
Find every xx where two of these four expressions are equal
Solución:
Sea u=log⁡3x.u=\log_3 x. Entonces log⁡x3=1u,\log_x 3=\dfrac1u, log⁡13x=−u,\log_{\frac{1}{3}}x=-u, y log⁡x13=−1u.\log_x\dfrac13=-\dfrac1u. Dos gráficas se encuentran donde dos de u,1u,−u,−1uu,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u son iguales para algún valor válido x>0.x\gt 0.
Igualar u=1uu=\dfrac1u da u=±1,u=\pm1, así que x=3x=3 o x=13;x=\dfrac13; igualar −u=−1u-u=-\dfrac1u da los mismos valores. Igualar u=−uu=-u da u=0,u=0, es decir x=1,x=1, donde log⁡3x\log_3 x y log⁡13x\log_{\frac{1}{3}}x son ambos 0.0. Los emparejamientos restantes no tienen solución real.
Los puntos de intersección distintos son (1,0),(1,0), (3,1),(3,1), (13,−1),\left(\dfrac13,-1\right), (3,−1),(3,-1), y (13,1),\left(\dfrac13,1\right), así que hay 5.5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let u=log⁡3x.u=\log_3 x. Then log⁡x3=1u,\log_x 3=\dfrac1u, log⁡13x=−u,\log_{\frac{1}{3}}x=-u, and log⁡x13=−1u.\log_x\dfrac13=-\dfrac1u. Two graphs meet where two of u,1u,−u,−1uu,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u are equal for some valid x>0.x\gt 0.
Setting u=1uu=\dfrac1u gives u=±1,u=\pm1, so x=3x=3 or x=13;x=\dfrac13; setting −u=−1u-u=-\dfrac1u gives the same values. Setting u=−uu=-u gives u=0,u=0, i.e. x=1,x=1, where log⁡3x\log_3 x and log⁡13x\log_{\frac{1}{3}}x are both 0.0. The remaining pairings have no real solution.
The distinct intersection points are (1,0),(1,0), (3,1),(3,1), (13,−1),\left(\dfrac13,-1\right), (3,−1),(3,-1), and (13,1),\left(\dfrac13,1\right), so there are 5.5.
Thus, the correct answer is D.

17.

Sea ABCDABCD un cuadrado. Sean E,E, F,F, G,G, y HH los centros, respectivamente, de triángulos equiláteros con bases AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, y DA‾,\overline{DA}, cada uno exterior al cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado EFGHEFGH y el área del cuadrado ABCDABCD?
Let ABCDABCD be a square. Let E,E, F,F, G,G, and HH be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, CD‾,\overline{CD}, and DA‾,\overline{DA}, each exterior to the square. What is the ratio of the area of square EFGHEFGH to the area of square ABCD?ABCD?
11
2+33\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}
2\sqrt{2}
2+32\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}
3\sqrt{3}
Respuesta: B
Conceptos:triángulo equiláterobaricentrorazón de áreas
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
El centro de un triángulo equilátero está a 13\frac13 de su altura desde la base.
The center of an equilateral triangle lies 13\frac13 of its height from the base
Pista grande:
Compara las diagonales de los dos cuadrados; la razón de áreas es el cuadrado de la razón de longitudes.
Compare diagonals of the two squares; the area ratio is the square of the length ratio
Solución:
Sea el cuadrado ABCDABCD de lado 6.6. Cada triángulo equilátero tiene altura 33,3\sqrt3, y su centro está a 13\frac13 de esa altura, es decir 3,\sqrt3, del lado del cuadrado.
El cuadrado ABCDABCD tiene diagonal 62.6\sqrt2. El cuadrado EFGHEFGH tiene diagonal igual al lado de ABCDABCD más dos veces 3,\sqrt3, es decir 6+23.6+2\sqrt3. La razón de áreas es el cuadrado de la razón de diagonales: (6+2362)2=(3+332)2=12+6318=2+33. \begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let square ABCDABCD have side length 6.6. Each equilateral triangle has height 33,3\sqrt3, and its center lies 13\frac13 of that height, namely 3,\sqrt3, from the square’s side.
Square ABCDABCD has diagonal 62.6\sqrt2. Square EFGHEFGH has diagonal equal to the side of ABCDABCD plus twice 3,\sqrt3, namely 6+23.6+2\sqrt3. The area ratio is the square of the ratio of diagonals: (6+2362)2=(3+332)2=12+6318=2+33. \begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

18.

Para cierto entero positivo n,n, el número 110n3110n^3 tiene 110110 divisores enteros positivos, incluyendo 11 y el propio número 110n3.110n^3. ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número 81n481n^4?
For some positive integer n,n, the number 110n3110n^3 has 110110 positive integer divisors, including 11 and the number 110n3.110n^3. How many positive integer divisors does the number 81n481n^4 have?
110110
191191
261261
325325
425425
Respuesta: D
Conceptos:conteo de factoresfactorización en primos
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
110=2⋅5⋅11,110=2\cdot5\cdot11, así que 110n3110n^3 tiene exactamente tres factores primos.
110=2⋅5⋅11,110=2\cdot5\cdot11, so 110n3110n^3 has exactly three prime factors
Pista grande:
Los exponentes más uno se multiplican para dar 110=2⋅5⋅11;110=2\cdot5\cdot11; deduce n=p⋅q3n=p\cdot q^3.
The exponents plus one multiply to 110=2⋅5⋅11;110=2\cdot5\cdot11; deduce n=p⋅q3n=p\cdot q^3
Solución:
El número 110n3110n^3 es divisible entre los tres primos distintos 2,5,11.2,5,11. Si sus exponentes primos son r1,r2,…,r_1,r_2,\ldots, entonces (r1+1)(r2+1)⋯=110,(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110, donde 110=2⋅5⋅11.110=2\cdot5\cdot11. Como ya hay al menos tres factores mayores que 1,1, hay exactamente tres, así que ningún otro primo divide a n.n.
Cada exponente de 110n3110n^3 es 1(mod3),1\pmod3, por lo que cada factor ri+1r_i+1 del número de divisores es 2(mod3).2\pmod3. Los factores 2,5,112,5,11 tienen todos esa forma, así que los exponentes son 1,4,101,4,10 en algún orden. Tras restar el exponente 11 aportado por 110110 y dividir entre 3,3, los exponentes de nn son 0,1,30,1,3 en algún orden. Por tanto, n=pq3n=pq^3 para dos primos distintos p,qp,q elegidos de 2,5,11.2,5,11.
En consecuencia, n4n^4 tiene exponentes 44 y 12,12, mientras que 81=3481=3^4 introduce un tercer primo porque nn no es divisible por 3.3. Así, la cantidad de divisores de 81n481n^4 es (4+1)(4+1)(12+1)=5⋅5⋅13=325. \begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The number 110n3110n^3 is divisible by the three distinct primes 2,5,11.2,5,11. If its prime exponents are r1,r2,…,r_1,r_2,\ldots, then (r1+1)(r2+1)⋯=110,(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110, where 110=2⋅5⋅11.110=2\cdot5\cdot11. Because there are already at least three factors greater than 1,1, there are exactly three, so no other prime divides n.n.
Each exponent in 110n3110n^3 is 1(mod3),1\pmod3, so each divisor-count factor ri+1r_i+1 is 2(mod3).2\pmod3. The factors 2,5,112,5,11 all have that form, so the exponents are 1,4,101,4,10 in some order. After subtracting the exponent 11 from 110110 and dividing by 3,3, the exponents in nn are 0,1,30,1,3 in some order. Thus n=pq3n=pq^3 for two distinct primes p,qp,q chosen from 2,5,11.2,5,11.
Consequently n4n^4 has exponents 44 and 12,12, while 81=3481=3^4 introduces a third prime because nn is not divisible by 3.3. Hence the number of divisors of 81n481n^4 is (4+1)(4+1)(12+1)=5⋅5⋅13=325. \begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.

19.

Jerry parte del 00 en la recta numérica real. Lanza una moneda justa 88 veces. Cuando sale cara, se mueve 11 unidad en la dirección positiva; cuando sale cruz, se mueve 11 unidad en la dirección negativa. La probabilidad de que alcance 44 en algún momento de este proceso es ab,\dfrac{a}{b}, donde aa y bb son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale a+ba+b? (Por ejemplo, tiene éxito si su secuencia de lanzamientos es HTHHHHHH.)
Jerry starts at 00 on the real number line. He tosses a fair coin 88 times. When he gets heads, he moves 11 unit in the positive direction; when he gets tails, he moves 11 unit in the negative direction. The probability that he reaches 44 at some time during this process is ab,\dfrac{a}{b}, where aa and bb are relatively prime positive integers. What is a+b?a+b? (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)
6969
151151
257257
293293
313313
Respuesta: B
Conceptos:camino aleatorioanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Cuenta las 282^8 secuencias de lanzamientos en las que el total acumulado alcanza 44.
Count the 282^8 toss sequences in which the running total reaches 44
Pista grande:
Con a lo sumo 22 cruces siempre alcanza 4;4; con 33 o 44 cruces solo funcionan algunos órdenes.
With at most 22 tails he always reaches 4;4; with 33 or 44 tails only some orders work
Solución:
Contemos las secuencias de 88 lanzamientos cuyo total acumulado alcanza 4.4. Con a lo sumo 22 cruces, con seguridad alcanza 4,4, lo que aporta (80)+(81)+(82)=1+8+28=37 \begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered} secuencias.
Con exactamente 33 cruces, puede alcanzar 44 por primera vez en el lanzamiento 44 o en el 6.6. Alcanzarlo en el lanzamiento 44 requiere cuatro caras iniciales, tras las cuales la cara restante tiene 44 posiciones posibles. En caso contrario, los lanzamientos 55 y 66 son caras, uno de los cuatro primeros es cruz y los dos últimos son cruces, lo que da otras 44 posibilidades. Así, este caso aporta 8.8. Con exactamente 44 cruces, solo funciona HHHHTTTT, lo que da 1.1. No puede alcanzar 44 con menos de 44 caras.
Por tanto, hay 37+8+1=4637+8+1=46 secuencias favorables de 28=256,2^8=256, una probabilidad de 46256=23128.\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}. Entonces a+b=23+128=151.a+b=23+128=151.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Count the sequences of 88 tosses whose running total reaches 4.4. With at most 22 tails he certainly reaches 4,4, contributing (80)+(81)+(82)=1+8+28=37 \begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered} sequences.
With exactly 33 tails, he can first reach 44 on toss 44 or toss 6.6. Reaching it on toss 44 requires four initial heads, after which the remaining head has 44 possible positions. Otherwise, tosses 55 and 66 are heads, one of the first four tosses is a tail, and the last two are tails, again giving 44 possibilities. Thus this case contributes 8.8. With exactly 44 tails, only HHHHTTTT works, giving 1.1. He cannot reach 44 with fewer than 44 heads.
So there are 37+8+1=4637+8+1=46 favorable sequences out of 28=256,2^8=256, a probability of 46256=23128.\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}. Then a+b=23+128=151.a+b=23+128=151.
Thus, the correct answer is B.

20.

Una operación binaria ⋄\diamond tiene las propiedades de que a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c y que a⋄a=1a\diamond a=1 para todos los números reales no nulos a,a, b,b, y c.c. (Aquí el punto ⋅\cdot representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación 2016⋄(6⋄x)=1002016\diamond(6\diamond x)=100 puede escribirse como pq,\dfrac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale p+qp+q?
A binary operation ⋄\diamond has the properties that a⋄(b⋄c)=(a⋄b)⋅ca\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c and that a⋄a=1a\diamond a=1 for all nonzero real numbers a,a, b,b, and c.c. (Here the dot ⋅\cdot represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation 2016⋄(6⋄x)=1002016\diamond(6\diamond x)=100 can be written as pq,\dfrac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. What is p+q?p+q?
109109
201201
301301
30493049
33,60133{,}601
Respuesta: A
Conceptos:operación personalizadaecuación funcional
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Usa a⋄a=1a\diamond a=1 para simplificar a⋄(a⋄a)a\diamond(a\diamond a).
Use a⋄a=1a\diamond a=1 to simplify a⋄(a⋄a)a\diamond(a\diamond a)
Pista grande:
Demuestra que a⋄b=ab,a\diamond b=\dfrac{a}{b}, así que 2016⋄(6⋄x)=20166x2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}.
Show a⋄b=ab,a\diamond b=\dfrac{a}{b}, so 2016⋄(6⋄x)=20166x2016\diamond(6\diamond x)=\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}
Solución:
Al poner b=c=ab=c=a se obtiene a⋄1=a⋄(a⋄a)a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a) =(a⋄a)⋅a=a.=(a\diamond a)\cdot a=a. Luego, al poner c=bc=b se obtiene a=a⋄1a=a\diamond 1 =a⋄(b⋄b)=(a⋄b)⋅b,=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b, así que a⋄b=ab.a\diamond b=\dfrac{a}{b}.
Por lo tanto 2016⋄(6⋄x)=2016⋄6x=20166x=336x=100, \begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered} así que x=100336=2584x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84} y p+q=25+84=109.p+q=25+84=109.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Setting b=c=ab=c=a gives a⋄1=a⋄(a⋄a)a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a) =(a⋄a)⋅a=a.=(a\diamond a)\cdot a=a. Then setting c=bc=b gives a=a⋄1a=a\diamond 1 =a⋄(b⋄b)=(a⋄b)⋅b,=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b, so a⋄b=ab.a\diamond b=\dfrac{a}{b}.
Therefore 2016⋄(6⋄x)=2016⋄6x=20166x=336x=100, \begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{\frac{6}{x}}\\ =336x=100, \end{gathered} so x=100336=2584x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84} and p+q=25+84=109.p+q=25+84=109.
Thus, the correct answer is A.

21.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2002.200\sqrt{2}. Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud 200.200. ¿Cuál es la longitud de su cuarto lado?
A quadrilateral is inscribed in a circle of radius 2002.200\sqrt{2}. Three of the sides of this quadrilateral have length 200.200. What is the length of its fourth side?
200200
2002200\sqrt{2}
2003200\sqrt{3}
3002300\sqrt{2}
500500
Respuesta: E
Conceptos:cuadrilátero cíclicoley de los cosenosidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:
Cada lado de longitud 200200 subtiende un ángulo central θ\theta con cos⁡θ=34\cos\theta=\frac34.
Each side of length 200200 subtends a central angle θ\theta with cos⁡θ=34\cos\theta=\frac34
Pista grande:
El cuarto lado subtiende 3θ;3\theta; usa cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta.
The fourth chord has the same length as one subtending 3θ;3\theta; use cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta
Solución:
Sea θ\theta el ángulo central que subtiende un lado de longitud 200,200, con radio R=2002.R=200\sqrt2. Por la ley de los cosenos en el triángulo isósceles formado con el centro, 2002=2R2(1−cos⁡θ)=160000(1−cos⁡θ), \begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered} así que cos⁡θ=34.\cos\theta=\dfrac34.
Los tres lados iguales ocupan tres arcos consecutivos de ángulo θ,\theta, por lo que el cuarto arco tiene ángulo 2π−3θ.2\pi-3\theta. Su cuerda tiene la misma longitud que una cuerda de ángulo central 3θ,3\theta, y cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ=4⋅2764−94=−916. \begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered} El cuadrado de su longitud es 2R2(1−cos⁡3θ)=160000(1+916)=160000⋅2516=250000, \begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered} así que el cuarto lado mide 500.500.
Por tanto, la respuesta correcta es E.
Let θ\theta be the central angle subtending a side of length 200,200, with radius R=2002.R=200\sqrt2. By the law of cosines on the isosceles triangle from the center, 2002=2R2(1−cos⁡θ)=160000(1−cos⁡θ), \begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered} so cos⁡θ=34.\cos\theta=\dfrac34.
The three equal sides use three consecutive arcs of angle θ,\theta, so the fourth arc has angle 2π−3θ.2\pi-3\theta. Its chord has the same length as a chord with central angle 3θ,3\theta, and cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ=4⋅2764−94=−916. \begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered} Its length squared is 2R2(1−cos⁡3θ)=160000(1+916)=160000⋅2516=250000, \begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered} so the fourth side is 500.500.
Thus, the correct answer is E.

22.

¿Cuántas ternas ordenadas (x,y,z)(x,y,z) de enteros positivos satisfacen lcm(x,y)=72,\text{lcm}(x,y)=72, lcm(x,z)=600,\text{lcm}(x,z)=600, y lcm(y,z)=900\text{lcm}(y,z)=900?
How many ordered triples (x,y,z)(x,y,z) of positive integers satisfy lcm(x,y)=72,\text{lcm}(x,y)=72, lcm(x,z)=600,\text{lcm}(x,z)=600, and lcm(y,z)=900?\text{lcm}(y,z)=900?
1515
1616
2424
2727
6464
Respuesta: A
Conceptos:mínimo común múltiplofactorización en primosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
Factoriza: 72=23⋅32,72=2^3\cdot3^2, 600=23⋅3⋅52,600=2^3\cdot3\cdot5^2, 900=22⋅32⋅52900=2^2\cdot3^2\cdot5^2.
Factor: 72=23⋅32,72=2^3\cdot3^2, 600=23⋅3⋅52,600=2^3\cdot3\cdot5^2, 900=22⋅32⋅52900=2^2\cdot3^2\cdot5^2
Pista grande:
Trata cada primo 2,3,52,3,5 por separado, usando el max⁡\max de los exponentes.
Handle each prime 2,3,52,3,5 separately, using max⁡\max of the exponents
Solución:
Como lcm(x,y)=23⋅32\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2 y lcm(x,z)=23⋅3⋅52,\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2, el factor 525^2 divide a zz mientras que ni xx ni yy es divisible por 5.5. Además, 323^2 divide a y,y, mientras que ni xx ni zz es divisible por 32,3^2, y xx debe tener el factor 23.2^3.
Escribiendo x=23⋅3 j,x=2^3\cdot3^{\,j}, y=2 k⋅32,y=2^{\,k}\cdot3^2, y z=2 m⋅3 n⋅52,z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2, las condiciones de lcm requieren max⁡(j,n)=1\max(j,n)=1 y max⁡(k,m)=2.\max(k,m)=2. El primer par puede ser (1,0),(0,1),(1,1),(1,0),(0,1),(1,1), y el segundo puede ser (2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2). Así, hay 3⋅5=153\cdot5=15 ternas ordenadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Because lcm(x,y)=23⋅32\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2 and lcm(x,z)=23⋅3⋅52,\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2, the factor 525^2 divides zz while neither xx nor yy is divisible by 5.5. Also 323^2 divides y,y, while neither xx nor zz is divisible by 32,3^2, and xx must have the factor 23.2^3.
Writing x=23⋅3 j,x=2^3\cdot3^{\,j}, y=2 k⋅32,y=2^{\,k}\cdot3^2, and z=2 m⋅3 n⋅52,z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2, the lcm conditions require max⁡(j,n)=1\max(j,n)=1 and max⁡(k,m)=2.\max(k,m)=2. The first pair can be (1,0),(0,1),(1,1),(1,0),(0,1),(1,1), and the second can be (2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2).(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2). Thus there are 3⋅5=153\cdot5=15 ordered triples.
Thus, the correct answer is A.

23.

Se eligen tres números en el intervalo [0,1][0,1] de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?
Three numbers in the interval [0,1][0,1] are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?
16\dfrac{1}{6}
13\dfrac{1}{3}
12\dfrac{1}{2}
23\dfrac{2}{3}
56\dfrac{5}{6}
Respuesta: C
Conceptos:probabilidad geométricadesigualdad triangularvolumen
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
Las ternas (x,y,z)(x,y,z) llenan un cubo unitario; el fallo significa que un número es ≥\ge que la suma de los otros dos.
The triples (x,y,z)(x,y,z) fill a unit cube; failure means one number ≥\ge the sum of the other two
Pista grande:
Cada región como z≥x+yz\ge x+y es un tetraedro de volumen 16\frac16.
Each region such as z≥x+yz\ge x+y is a tetrahedron of volume 16\frac16
Solución:
Las ternas ordenadas (x,y,z)(x,y,z) llenan el cubo unitario de volumen 1.1. No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.
La región z≥x+yz\ge x+y es un tetraedro con vértices (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1) de volumen 16.\frac16. Las regiones análogas x≥y+zx\ge y+z y y≥x+zy\ge x+z también tienen volumen 16\frac16 y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es 3⋅16=12,3\cdot\frac16=\frac12, y la probabilidad de triángulo es 1−12=12.1-\frac12=\frac12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The ordered triples (x,y,z)(x,y,z) fill the unit cube of volume 1.1. They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.
The region z≥x+yz\ge x+y is a tetrahedron with vertices (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1) of volume 16.\frac16. The analogous regions x≥y+zx\ge y+z and y≥x+zy\ge x+z also have volume 16\frac16 and have disjoint interiors. So the failure probability is 3⋅16=12,3\cdot\frac16=\frac12, and the triangle probability is 1−12=12.1-\frac12=\frac12.
Thus, the correct answer is C.

24.

Existe un menor número real positivo aa tal que existe un número real positivo bb para el cual todas las raíces del polinomio x3−ax2+bx−ax^3-ax^2+bx-a son reales. De hecho, para este valor de aa el valor de bb es único. ¿Cuál es este valor de bb?
There is a smallest positive real number aa such that there exists a positive real number bb such that all the roots of the polynomial x3−ax2+bx−ax^3-ax^2+bx-a are real. In fact, for this value of aa the value of bb is unique. What is this value of b?b?
88
99
1010
1111
1212
Respuesta: B
Conceptos:Fórmulas de VietaDesigualdad MA-MG
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:
Si las raíces son r,s,t,r,s,t, entonces r+s+t=ar+s+t=a y rst=arst=a.
If the roots are r,s,t,r,s,t, then r+s+t=ar+s+t=a and rst=arst=a
Pista grande:
Aplica la desigualdad MA-MG a r,s,t;r,s,t; el mínimo aa obliga a r=s=tr=s=t.
Apply AM-GM to r,s,t;r,s,t; the minimum aa forces r=s=tr=s=t
Solución:
Por las fórmulas de Vieta, las raíces reales r,s,tr,s,t satisfacen r+s+t=a,r+s+t=a, rs+st+tr=b,rs+st+tr=b, y rst=a,rst=a, así que r+s+t=rst.r+s+t=rst.
El producto positivo significa que las tres raíces son positivas o que dos son negativas. En el segundo caso, escribamos las raíces como −u,−v,w-u,-v,w con u,v,w>0.u,v,w\gt0. La suma positiva obliga a w>u+v,w\gt u+v, y entonces b=uv−w(u+v)<0,b=uv-w(u+v)\lt0, una contradicción. Por tanto, las tres raíces son positivas.
Por la desigualdad MA-MG, 27rst≤(r+s+t)3=(rst)3,27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3, de modo que a=rst≥33,a=rst\ge 3\sqrt3, con igualdad si y solo si r=s=t=3.r=s=t=\sqrt3. Para este menor a,a, b=rs+st+tr=3r2=3⋅3=9. \begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
By Vieta’s formulas, the real roots r,s,tr,s,t satisfy r+s+t=a,r+s+t=a, rs+st+tr=b,rs+st+tr=b, and rst=a,rst=a, so r+s+t=rst.r+s+t=rst.
The positive product means either all three roots are positive or two are negative. In the latter case write the roots as −u,−v,w-u,-v,w with u,v,w>0.u,v,w\gt0. The positive sum forces w>u+v,w\gt u+v, and then b=uv−w(u+v)<0,b=uv-w(u+v)\lt0, a contradiction. Hence all three roots are positive.
By the AM-GM inequality, 27rst≤(r+s+t)3=(rst)3,27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3, so a=rst≥33,a=rst\ge 3\sqrt3, with equality if and only if r=s=t=3.r=s=t=\sqrt3. At this smallest a,a, b=rs+st+tr=3r2=3⋅3=9. \begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

25.

Sea kk un entero positivo. Bernardo y Silvia se turnan para escribir y borrar números en una pizarra de la siguiente manera: Bernardo empieza escribiendo el menor cuadrado perfecto con k+1k+1 dígitos. Cada vez que Bernardo escribe un número, Silvia borra los últimos kk dígitos de él. Bernardo escribe entonces el siguiente cuadrado perfecto, Silvia borra los últimos kk dígitos, y este proceso continúa hasta que los dos últimos números que quedan en la pizarra difieren en al menos 2.2. Sea f(k)f(k) el menor entero positivo que no se escribió en la pizarra. Por ejemplo, si k=1,k=1, los números que Bernardo escribe son 16,16, 25,25, 36,36, 49,49, y 64,64, y los números que muestran en la pizarra tras borrar Silvia son 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, y 6,6, de modo que f(1)=5.f(1)=5. ¿Cuál es la suma de los dígitos de f(2)+f(4)f(2)+f(4) +f(6)+⋯+f(2016)+f(6)+\cdots+f(2016)?
Let kk be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with k+1k+1 digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last kk digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last kk digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least 2.2. Let f(k)f(k) be the smallest positive integer not written on the board. For example, if k=1,k=1, then the numbers that Bernardo writes are 16,16, 25,25, 36,36, 49,49, and 64,64, and the numbers showing on the board after Silvia erases are 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, and 6,6, and thus f(1)=5.f(1)=5. What is the sum of the digits of f(2)+f(4)f(2)+f(4) +f(6)+⋯+f(2016)?+f(6)+\cdots+f(2016)?
79867986
80028002
80308030
80488048
80648064
Respuesta: E
Conceptos:cuadrado perfectofunciones piso y techodígitos
Nivel de dificultad: 2720
Pista pequeña:
Para el caso par k=2j,k=2j, los números mostrados son ⌊n210k⌋\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor para n≥10jn\ge 10^{j}.
For even k=2j,k=2j, the numbers shown are ⌊n210k⌋\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor for n≥10jn\ge 10^{j}
Pista grande:
Demuestra que f(2j)=102j4+10j,f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}, luego suma sobre jj.
Show f(2j)=102j4+10j,f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}, then add over jj
Solución:
Tomemos k=2j.k=2j. El menor cuadrado perfecto con k+1k+1 cifras es 10k=(10j)2,10^{k}=(10^{j})^2, y después de que Silvia borra las cifras, los números mostrados son ⌊n210k⌋\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor para n=10j,10j+1,…n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots
Sea M=10k.M=10^k. Un salto de al menos 22 de nn a n+1n+1 exige (n+1)2−n2=2n+1>M,(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M, así que escribimos n=M2+mn=\frac{M}{2}+m con m≥0.m\ge0. El caso m=0m=0 produce un salto de solo 1,1, de modo que el primer salto mayor tiene m≥1.m\ge1. Sean A=⌊n2M⌋A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor y B=⌊(n+1)2M⌋.B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor. Como MM es divisible por 4,4, A=M4+m+⌊m2M⌋,B=M4+m+1+⌊(m+1)2M⌋. \begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}
Por tanto, el primer salto de al menos 22 ocurre para el primer mm tal que m2<M≤(m+1)2.m^2\lt M\le(m+1)^2. Como M=10j,\sqrt M=10^j, este valor es m=10j−1.m=10^j-1. El último valor mostrado antes del hueco es M4+10j−1,\frac{M}{4}+10^j-1, así que el menor entero ausente es f(2j)=102j4+10j.f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.
Sumando para j=1,…,1008,j=1,\ldots,1008, ∑j=11008f(2j)=25∑j=01007102j+10∑j=0100710j=2525⋯25⏟2016 dıˊgitos+111⋯10⏟1009 dıˊgitos. \begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ dígitos}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ dígitos}}. \end{gathered} No hay acarreos, así que la suma de cifras es 1008⋅(2+5)1008\cdot(2+5) +1008⋅1=1008⋅8=8064.+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.
Por tanto, la respuesta correcta es E.
Take k=2j.k=2j. The smallest perfect square with k+1k+1 digits is 10k=(10j)2,10^{k}=(10^{j})^2, and after Silvia erases, the numbers shown are ⌊n210k⌋\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor for n=10j,10j+1,…n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots
Put M=10k.M=10^k. A jump of at least 22 from nn to n+1n+1 requires (n+1)2−n2=2n+1>M,(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M, so write n=M2+mn=\frac{M}{2}+m with m≥0.m\ge0. The case m=0m=0 gives a jump of only 1,1, so the first larger jump has m≥1.m\ge1. Let A=⌊n2M⌋A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor and B=⌊(n+1)2M⌋.B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor. Because MM is divisible by 4,4, A=M4+m+⌊m2M⌋,B=M4+m+1+⌊(m+1)2M⌋. \begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}
Therefore the first jump of at least 22 occurs at the first mm for which m2<M≤(m+1)2.m^2\lt M\le(m+1)^2. Since M=10j,\sqrt M=10^j, this is m=10j−1.m=10^j-1. The last displayed value before the gap is M4+10j−1,\frac{M}{4}+10^j-1, so the smallest missing integer is f(2j)=102j4+10j.f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.
Summing over j=1,…,1008,j=1,\ldots,1008, ∑j=11008f(2j)=25∑j=01007102j+10∑j=0100710j=2525⋯25⏟2016 digits+111⋯10⏟1009 digits. \begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered} There are no carries, so the digit sum is 1008⋅(2+5)1008\cdot(2+5) +1008⋅1=1008⋅8=8064.+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.
Thus, the correct answer is E.