2016 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{11!-10!}{9!}?$

What is the value of $\dfrac{11!-10!}{9!}?$

$99$

$100$

$110$

$121$

$132$

Respuesta: B

Conceptos:factorial factorización

Nivel de dificultad: 920

Solución:

Al factorizar el numerador se obtiene $\begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring the numerator gives $\begin{gathered} \dfrac{11!-10!}{9!}\\ =\dfrac{10!(11-1)}{9!}\\ =\dfrac{10\cdot 9!\cdot 10}{9!}\\ =100. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2.

¿Para qué valor de $x$ se cumple $10^x\cdot 100^{2x}=1000^5$ ?

For what value of $x$ does $10^x\cdot 100^{2x}=1000^5?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Como $100=10^2$ y $1000=10^3,$ la ecuación se convierte en $10^x\cdot 10^{4x}=10^{15},$ así que $10^{5x}=10^{15}.$ Entonces $5x=15,$ lo que da $x=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $100=10^2$ and $1000=10^3,$ the equation becomes $10^x\cdot 10^{4x}=10^{15},$ so $10^{5x}=10^{15}.$ Then $5x=15,$ giving $x=3.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La función resto puede definirse para todos los números reales $x$ e $y$ con $y\neq 0$ mediante $\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,$ donde $\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $\dfrac{x}{y}.$ ¿Cuál es el valor de $\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)$ ?

The remainder function can be defined for all real numbers $x$ and $y$ with $y\neq 0$ by $\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,$ where $\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $\dfrac{x}{y}.$ What is the value of $\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?$

$-\dfrac{3}{8}$

$-\dfrac{1}{40}$

$0$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{31}{40}$

Respuesta: B

Conceptos:operación personalizada funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Primero, $\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{3/8}{-2/5}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered}$ y $\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.$

Por consiguiente $\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, $\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{3/8}{-2/5}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered}$ and $\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.$

Therefore $\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

4.

La media, la mediana y la moda de los $7$ valores $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ son todas iguales a $x.$ ¿Cuál es el valor de $x$ ?

The mean, median, and mode of the $7$ data values $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ are all equal to $x.$ What is the value of $x?$

$50$

$60$

$75$

$90$

$100$

Respuesta: D

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

La condición sobre la media da $\begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered}$ así que $540+x=7x$ y $x=90.$

En orden no decreciente los datos son $40, 50, 60, 90, 90, 100, 200,$ de modo que la mediana es $90$ y la moda es $90,$ como se requería.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The mean condition gives $\begin{gathered} \small \dfrac{60+100+x+40+50+200+90}{7}\\ =\dfrac{540+x}{7}\\ =x, \end{gathered}$ so $540+x=7x$ and $x=90.$

In nondecreasing order the data are $40, 50, 60, 90, 90, 100, 200,$ so the median is $90$ and the mode is $90,$ as required.

Thus, the correct answer is D.

5.

La conjetura de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $2$ puede escribirse como la suma de dos números primos (por ejemplo, $2016=13+2003$ ). Hasta ahora, nadie ha logrado demostrar que la conjetura es verdadera, y nadie ha encontrado un contraejemplo que muestre que es falsa. ¿En qué consistiría un contraejemplo?

Goldbach's conjecture states that every even integer greater than $2$ can be written as the sum of two prime numbers (for example, $2016=13+2003$ ). So far, no one has been able to prove that the conjecture is true, and no one has found a counterexample to show that the conjecture is false. What would a counterexample consist of?

un entero impar mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números primos

an odd integer greater than $2$ that can be written as the sum of two prime numbers

un entero impar mayor que $2$ que no puede escribirse como la suma de dos números primos

an odd integer greater than $2$ that cannot be written as the sum of two prime numbers

un entero par mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números que no son primos

an even integer greater than $2$ that can be written as the sum of two numbers that are not prime

un entero par mayor que $2$ que puede escribirse como la suma de dos números primos

an even integer greater than $2$ that can be written as the sum of two prime numbers

un entero par mayor que $2$ que no puede escribirse como la suma de dos números primos

an even integer greater than $2$ that cannot be written as the sum of two prime numbers

Respuesta: E

Conceptos:contraejemplo deducción lógica

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Un contraejemplo debe satisfacer la hipótesis de ser un entero par mayor que $2$ y a la vez incumplir la conclusión de que puede escribirse como la suma de dos números primos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A counterexample must satisfy the hypothesis of being an even integer greater than $2$ while failing the conclusion that it can be written as the sum of two prime numbers.

Thus, the correct answer is E.

6.

Un arreglo triangular de $2016$ monedas tiene $1$ moneda en la primera fila, $2$ monedas en la segunda fila, $3$ monedas en la tercera fila, y así sucesivamente hasta $N$ monedas en la fila $N$ . ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

A triangular array of $2016$ coins has $1$ coin in the first row, $2$ coins in the second row, $3$ coins in the third row, and so on up to $N$ coins in the $N$ th row. What is the sum of the digits of $N?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:número triangular estimación

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El número total de monedas es $\begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered}$ así que $N(N+1)=4032.$ Como $63\cdot 64=4032,$ tenemos $N=63,$ y la suma de sus dígitos es $6+3=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total number of coins is $\begin{gathered} 1+2+\cdots+N\\ =\dfrac{N(N+1)}{2}\\ =2016, \end{gathered}$ so $N(N+1)=4032.$ Since $63\cdot 64=4032,$ we have $N=63,$ and the sum of its digits is $6+3=9.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál de estas opciones describe la gráfica de $x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)$ ?

Which of these describes the graph of $x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?$

dos rectas paralelas

two parallel lines

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas que pasan todas por un punto común

three lines that all pass through a common point

tres rectas que no pasan todas por un punto común

three lines that do not all pass through a common point

una recta y una parábola

a line and a parabola

Respuesta: D

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Al pasar todos los términos a un lado se obtiene $(x^2-y^2)(x+y+1)=0,$ que se factoriza como $(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.$ Por lo tanto, la gráfica es la unión de las rectas $x=y,$ $x=-y,$ y $x+y+1=0.$

Las dos primeras rectas se cortan en el origen, pero la tercera recta $x+y=-1$ es paralela a $x+y=0$ y no pasa por el origen. Así que la gráfica consta de tres rectas que no pasan todas por un punto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Moving all terms to one side gives $(x^2-y^2)(x+y+1)=0,$ which factors as $(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.$ The graph is therefore the union of the lines $x=y,$ $x=-y,$ and $x+y+1=0.$

The first two lines intersect at the origin, but the third line $x+y=-1$ is parallel to $x+y=0$ and does not pass through the origin. So the graph consists of three lines that do not all pass through a common point.

Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el área de la región sombreada del rectángulo $8\times 5$ dado?

What is the area of the shaded region of the given $8\times 5$ rectangle?

$4\tfrac{3}{4}$

$5$

$5\tfrac{1}{4}$

$6\tfrac{1}{2}$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo simetría

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

La diagonal del rectángulo, desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, divide la región sombreada en cuatro triángulos, que se encuentran todos en el centro del rectángulo.

Dos de estos triángulos tienen base horizontal de longitud $1$ y altura $\frac12\cdot 5=\frac52,$ y los otros dos tienen base vertical de longitud $1$ y altura $\frac12\cdot 8=4.$ El área total es $\begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The diagonal of the rectangle from the upper-left corner to the lower-right corner divides the shaded region into four triangles, all meeting at the center of the rectangle.

Two of these triangles have a horizontal base of length $1$ and altitude $\frac12\cdot 5=\frac52,$ and the other two have a vertical base of length $1$ and altitude $\frac12\cdot 8=4.$ The total area is $\begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

9.

Los cinco pequeños cuadrados sombreados dentro de este cuadrado unitario son congruentes y tienen interiores disjuntos. El punto medio de cada lado del cuadrado central coincide con uno de los vértices de los otros cuatro cuadrados pequeños, como se muestra. La longitud del lado común es $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

The five small shaded squares inside this unit square are congruent and have disjoint interiors. The midpoint of each side of the middle square coincides with one of the vertices of the other four small squares as shown. The common side length is $\dfrac{a-\sqrt{2}}{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:diagonal racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado común. La diagonal del cuadrado unitario tiene longitud $\sqrt{2}$ y está formada por dos diagonales de cuadrado pequeño (cada una $x\sqrt2$ ) más un lado de cuadrado pequeño de longitud $x,$ así que $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Al resolver, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Así, $a=4,$ $b=7,$ y $a+b=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the common side length. The diagonal of the unit square has length $\sqrt{2}$ and consists of two small-square diagonals (each $x\sqrt2$ ) plus one small-square side length $x,$ so $2x\sqrt2+x=\sqrt2.$

Solving, $\begin{gathered} x=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2+1}\\ =\dfrac{\sqrt2\,(2\sqrt2-1)}{(2\sqrt2+1)(2\sqrt2-1)}\\ =\dfrac{4-\sqrt2}{7}. \end{gathered}$ Thus $a=4,$ $b=7,$ and $a+b=11.$

Thus, the correct answer is E.

10.

Cinco amigos se sentaron en una fila de $5$ asientos de un cine, numerados del $1$ al $5$ de izquierda a derecha. (Las direcciones "izquierda" y "derecha" son desde el punto de vista de las personas sentadas en los asientos.) Durante la película, Ada fue al vestíbulo a comprar palomitas. Cuando regresó, encontró que Bea se había movido dos asientos a la derecha, Ceci se había movido un asiento a la izquierda, y Dee y Edie habían intercambiado asientos, dejando un asiento del extremo para Ada. ¿En qué asiento había estado sentada Ada antes de levantarse?

Five friends sat in a movie theater in a row containing $5$ seats, numbered $1$ to $5$ from left to right. (The directions "left" and "right" are from the point of view of the people as they sit in the seats.) During the movie Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had moved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and Edie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:invariante deducción lógica

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

El desplazamiento neto de los cinco amigos es cero. Dee y Edie intercambiaron asientos, así que sus movimientos se cancelan. Bea se movió $+2$ y Ceci se movió $-1,$ un neto de $+1,$ por lo que Ada debe moverse $-1$ para equilibrar.

Ada regresa a un asiento del extremo; como se movió un asiento a la izquierda, ese asiento debe ser el asiento $1,$ así que había estado sentada en el asiento $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The net displacement of all five friends is zero. Dee and Edie swapped seats, so their movements cancel. Bea moved $+2$ and Ceci moved $-1,$ a net of $+1,$ so Ada must move $-1$ to balance.

Ada returns to an end seat; since she moved one seat to the left, that seat must be seat $1,$ so she had been sitting in seat $2.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Cada uno de los $100$ estudiantes de cierto campamento de verano sabe cantar, bailar o actuar. Algunos estudiantes tienen más de un talento, pero ninguno tiene los tres. Hay $42$ estudiantes que no saben cantar, $65$ que no saben bailar y $29$ que no saben actuar. ¿Cuántos estudiantes tienen dos de estos talentos?

Each of the $100$ students in a certain summer camp can either sing, dance, or act. Some students have more than one talent, but no student has all three talents. There are $42$ students who cannot sing, $65$ students who cannot dance, and $29$ students who cannot act. How many students have two of these talents?

$16$

$25$

$36$

$49$

$64$

Respuesta: E

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión doble conteo

Nivel de dificultad: 1470

Solución:

Los números de quienes saben cantar, bailar y actuar son $100-42=58,$ $100-65=35,$ y $100-29=71,$ respectivamente, para un total de $58+35+71=164.$

Como ningún estudiante tiene los tres talentos, cada estudiante tiene uno o dos talentos, de modo que los de un solo talento se cuentan una vez y los de dos talentos se cuentan dos veces. El número contado dos veces es $164-100=64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numbers who can sing, dance, and act are $100-42=58,$ $100-65=35,$ and $100-29=71,$ respectively, for a total of $58+35+71=164.$

Since no student has all three talents, each student has one or two talents, so single-talent students are counted once and two-talent students are counted twice. The number counted twice is $164-100=64.$

Thus, the correct answer is E.

12.

En $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ y $CA=8.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC},$ y $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ El punto $E$ está sobre $\overline{AC},$ y $\overline{BE}$ biseca $\angle ABC.$ Las bisectrices se cortan en $F.$ ¿Cuál es la razón $AF:FD$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $BC=7,$ and $CA=8.$ Point $D$ lies on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ Point $E$ lies on $\overline{AC},$ and $\overline{BE}$ bisects $\angle ABC.$ The bisectors intersect at $F.$ What is the ratio $AF:FD?$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$7:3$

$5:2$

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Al aplicar el teorema de la bisectriz al $\triangle ABC$ se obtiene $BD:DC=AB:AC=6:8,$ así que $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Ahora $BF$ está sobre la bisectriz de $\angle ABD$ en $\triangle ABD,$ así que, por el teorema de la bisectriz de nuevo, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Applying the Angle Bisector Theorem to $\triangle ABC$ gives $BD:DC=AB:AC=6:8,$ so $BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.$

Now $BF$ lies along the bisector of $\angle ABD$ in $\triangle ABD,$ so by the Angle Bisector Theorem again, $\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

13.

Sea $N$ un múltiplo positivo de $5.$ Una bola roja y $N$ bolas verdes se ordenan en una fila en orden aleatorio. Sea $P(N)$ la probabilidad de que al menos $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que $P(5)=1$ y que $P(N)$ tiende a $\dfrac{4}{5}$ cuando $N$ crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de $N$ tal que $P(N)\lt\dfrac{321}{400}$ ?

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\dfrac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\dfrac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N)\lt\dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Escribe $N=5k.$ Numera las posiciones de la bola roja $0,1,\ldots,5k$ desde un extremo; hay $5k+1$ posiciones igualmente probables.

Menos de $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes quedan de cada lado exactamente cuando la bola roja está en una de las posiciones $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ que son $k-1$ posiciones. Por lo tanto $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Al resolver $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ se obtiene $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ así que $1600k+800\lt 1605k+321$ y $5k\gt 479,$ es decir $k\gt 95.8.$ Por lo tanto $k=96$ y $N=480,$ cuya suma de dígitos es $4+8+0=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $N=5k.$ Number the positions of the red ball $0,1,\ldots,5k$ from one end; there are $5k+1$ equally likely positions.

Fewer than $\dfrac{3}{5}$ of the green balls lie on each side exactly when the red ball is in one of the positions $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ which is $k-1$ positions. Hence $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Solving $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ gives $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ so $1600k+800\lt 1605k+321$ and $5k\gt 479,$ meaning $k\gt 95.8.$ Thus $k=96$ and $N=480,$ whose digit sum is $4+8+0=12.$

Thus, the correct answer is A.

14.

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero de $1$ a $8,$ usando cada entero una sola vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Las disposiciones que pueden obtenerse una de otra mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer from $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Cada vértice pertenece a $3$ caras, así que $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ lo que da una suma por cara $S=18.$

Los subconjuntos de cuatro elementos que contienen $1$ con suma $18$ son $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ y $\{1,4,6,7\}.$ Tres de ellos contienen a la vez $1$ y $8,$ así que $1$ y $8$ deben estar en dos vértices adyacentes.

Rota el cubo de modo que $1$ quede en el vértice inferior izquierdo frontal y $8$ en el vértice inferior derecho frontal. Los números $4,6,7$ deben etiquetar los vértices restantes de la cara que contiene a $1,$ lo cual puede hacerse de $3!=6$ maneras; luego $5,3,2$ quedan forzados en los vértices opuestos. Por lo tanto hay $6$ disposiciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each vertex belongs to $3$ faces, so $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ giving each face-sum $S=18.$

The four-element subsets containing $1$ with sum $18$ are $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ and $\{1,4,6,7\}.$ Three of these contain both $1$ and $8,$ so $1$ and $8$ must lie on two adjacent vertices.

Rotate the cube so that $1$ is at the lower-left-front vertex and $8$ at the lower-right-front vertex. The numbers $4,6,7$ must label the remaining vertices of the face containing $1,$ which can be done in $3!=6$ ways; then $5,3,2$ are forced onto the opposite vertices. Hence there are $6$ arrangements.

Thus, the correct answer is C.

15.

Las circunferencias con centros $P,$ $Q,$ y $R,$ de radios $1,$ $2,$ y $3,$ respectivamente, están del mismo lado de la recta $l$ y son tangentes a $l$ en $P',$ $Q',$ y $R',$ respectivamente, con $Q'$ entre $P'$ y $R'.$ La circunferencia con centro $Q$ es tangente exterior a cada una de las otras dos. ¿Cuál es el área del $\triangle PQR$ ?

Circles with centers $P,$ $Q,$ and $R,$ having radii $1,$ $2,$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P',$ $Q',$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Los centros están a alturas $1,$ $2,$ y $3$ sobre la recta $l.$ Como la circunferencia $Q$ es tangente exterior a la circunferencia $P,$ tenemos $PQ=3,$ por lo que la distancia horizontal es $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.$ Como la circunferencia $Q$ es tangente a la circunferencia $R,$ tenemos $QR=5,$ así que $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$

Coloca $P=(0,1),$ $Q=(\sqrt8,2),$ y $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).$ Por la fórmula del cordón, el área es $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers lie at heights $1,$ $2,$ and $3$ above line $l.$ Since circle $Q$ is externally tangent to circle $P,$ we have $PQ=3,$ so the horizontal distance is $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.$ Since circle $Q$ is tangent to circle $R,$ we have $QR=5,$ so $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$

Place $P=(0,1),$ $Q=(\sqrt8,2),$ and $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).$ By the shoelace formula, the area is $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

16.

Las gráficas de $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{1/3} x,$ y $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ se trazan en el mismo sistema de ejes. ¿Cuántos puntos del plano con coordenada $x$ positiva están sobre dos o más de las gráficas?

The graphs of $y=\log_3 x,$ $y=\log_x 3,$ $y=\log_{1/3} x,$ and $y=\log_x\dfrac{1}{3}$ are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive $x$ -coordinates lie on two or more of the graphs?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

Sea $u=\log_3 x.$ Entonces $\log_x 3=\dfrac1u,$ $\log_{1/3}x=-u,$ y $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.$ Dos gráficas se encuentran donde dos de $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ son iguales para algún $x\gt 0$ válido.

Igualar $u=\dfrac1u$ da $u=\pm1,$ así que $x=3$ o $x=\dfrac13;$ igualar $-u=-\dfrac1u$ da los mismos valores. Igualar $u=-u$ da $u=0,$ es decir $x=1,$ donde $\log_3 x$ y $\log_{1/3}x$ son ambos $0.$ Los emparejamientos restantes no tienen solución real.

Los puntos de intersección distintos son $(1,0),$ $(3,1),$ $\left(\dfrac13,-1\right),$ $(3,-1),$ y $\left(\dfrac13,1\right),$ así que hay $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $u=\log_3 x.$ Then $\log_x 3=\dfrac1u,$ $\log_{1/3}x=-u,$ and $\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.$ Two graphs meet where two of $u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u$ are equal for some valid $x\gt 0.$

Setting $u=\dfrac1u$ gives $u=\pm1,$ so $x=3$ or $x=\dfrac13;$ setting $-u=-\dfrac1u$ gives the same values. Setting $u=-u$ gives $u=0,$ i.e. $x=1,$ where $\log_3 x$ and $\log_{1/3}x$ are both $0.$ The remaining pairings have no real solution.

The distinct intersection points are $(1,0),$ $(3,1),$ $\left(\dfrac13,-1\right),$ $(3,-1),$ and $\left(\dfrac13,1\right),$ so there are $5.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $E,$ $F,$ $G,$ y $H$ los centros, respectivamente, de triángulos equiláteros con bases $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA},$ cada uno exterior al cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado $EFGH$ y el área del cuadrado $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be a square. Let $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ each exterior to the square. What is the ratio of the area of square $EFGH$ to the area of square $ABCD?$

$1$

$\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero baricentro razón de áreas

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Sea el cuadrado $ABCD$ de lado $6.$ Cada triángulo equilátero tiene altura $3\sqrt3,$ y su centro está a $\frac13$ de esa altura, es decir $\sqrt3,$ del lado del cuadrado.

El cuadrado $ABCD$ tiene diagonal $6\sqrt2.$ El cuadrado $EFGH$ tiene diagonal igual al lado de $ABCD$ más dos veces $\sqrt3,$ es decir $6+2\sqrt3.$ La razón de áreas es el cuadrado de la razón de diagonales: $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let square $ABCD$ have side length $6.$ Each equilateral triangle has height $3\sqrt3,$ and its center lies $\frac13$ of that height, namely $\sqrt3,$ from the square's side.

Square $ABCD$ has diagonal $6\sqrt2.$ Square $EFGH$ has diagonal equal to the side of $ABCD$ plus twice $\sqrt3,$ namely $6+2\sqrt3.$ The area ratio is the square of the ratio of diagonals: $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

18.

Para cierto entero positivo $n,$ el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Escribe $110n^3=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots$ de modo que el número de divisores sea $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110.$ Como $110=2\cdot5\cdot11,$ hay exactamente tres primos distintos, que deben ser $2,5,11,$ con exponentes $1,4,10$ en algún orden.

Tomando $r_1=1,$ $r_2=4,$ $r_3=10$ para los primos $2,5,11$ se obtiene $\begin{gathered} n^3=\dfrac{2^1\cdot 5^4\cdot 11^{10}}{2\cdot5\cdot11}\\ =5^3\cdot 11^9, \end{gathered}$ así que $n=5\cdot 11^3.$

Entonces $81n^4=3^4\cdot 5^4\cdot 11^{12},$ y como $3,5,11$ son primos distintos, el número de divisores es $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $110n^3=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots$ so that the number of divisors is $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110.$ Since $110=2\cdot5\cdot11,$ there are exactly three distinct primes, which must be $2,5,11,$ with exponents $1,4,10$ in some order.

Taking $r_1=1,$ $r_2=4,$ $r_3=10$ for the primes $2,5,11$ gives $\begin{gathered} n^3=\dfrac{2^1\cdot 5^4\cdot 11^{10}}{2\cdot5\cdot11}\\ =5^3\cdot 11^9, \end{gathered}$ so $n=5\cdot 11^3.$

Then $81n^4=3^4\cdot 5^4\cdot 11^{12},$ and since $3,5,11$ are distinct primes, the number of divisors is $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

19.

Jerry parte del $0$ en la recta numérica real. Lanza una moneda justa $8$ veces. Cuando sale cara, se mueve $1$ unidad en la dirección positiva; cuando sale cruz, se mueve $1$ unidad en la dirección negativa. La probabilidad de que alcance $4$ en algún momento de este proceso es $\dfrac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ? (Por ejemplo, tiene éxito si su secuencia de lanzamientos es HTHHHHHH.)

Jerry starts at $0$ on the real number line. He tosses a fair coin $8$ times. When he gets heads, he moves $1$ unit in the positive direction; when he gets tails, he moves $1$ unit in the negative direction. The probability that he reaches $4$ at some time during this process is $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$ (For example, he succeeds if his sequence of tosses is HTHHHHHH.)

$69$

$151$

$257$

$293$

$313$

Respuesta: B

Conceptos:camino aleatorio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Cuenta las secuencias de $8$ lanzamientos cuyo total acumulado alcanza $4.$ Con a lo sumo $2$ cruces ciertamente alcanza $4,$ lo que aporta $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ secuencias.

Con exactamente $3$ cruces alcanza $4$ solo si lo hace antes de la segunda cruz, lo que permite a lo sumo una cruz en los primeros $5$ lanzamientos; esto da $4+4=8$ secuencias. Con exactamente $4$ cruces, solo funciona HHHHTTTT, lo que da $1.$ No puede alcanzar $4$ con menos de $4$ caras.

Así que hay $37+8+1=46$ secuencias favorables de un total de $2^8=256,$ una probabilidad de $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Entonces $a+b=23+128=151.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Count the sequences of $8$ tosses whose running total reaches $4.$ With at most $2$ tails he certainly reaches $4,$ contributing $\begin{gathered} \binom80+\binom81+\binom82\\ =1+8+28\\ =37 \end{gathered}$ sequences.

With exactly $3$ tails he reaches $4$ only if he does so before the second tail, which allows at most one tail in the first $5$ tosses; this gives $4+4=8$ sequences. With exactly $4$ tails, only HHHHTTTT works, giving $1.$ He cannot reach $4$ with fewer than $4$ heads.

So there are $37+8+1=46$ favorable sequences out of $2^8=256,$ a probability of $\dfrac{46}{256}=\dfrac{23}{128}.$ Then $a+b=23+128=151.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Una operación binaria $\diamond$ tiene las propiedades de que $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ y que $a\diamond a=1$ para todos los números reales no nulos $a,$ $b,$ y $c.$ (Aquí el punto $\cdot$ representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación $2016\diamond(6\diamond x)=100$ puede escribirse como $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A binary operation $\diamond$ has the properties that $a\diamond(b\diamond c)=(a\diamond b)\cdot c$ and that $a\diamond a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016\diamond(6\diamond x)=100$ can be written as $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

Respuesta: A

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Al poner $b=c=a$ se obtiene $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Luego, al poner $c=b$ se obtiene $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ así que $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Por lo tanto $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{6/x}\\ =336x=100, \end{gathered}$ así que $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ y $p+q=25+84=109.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $b=c=a$ gives $a\diamond 1=a\diamond(a\diamond a)$ $=(a\diamond a)\cdot a=a.$ Then setting $c=b$ gives $a=a\diamond 1$ $=a\diamond(b\diamond b)=(a\diamond b)\cdot b,$ so $a\diamond b=\dfrac{a}{b}.$

Therefore $\begin{gathered} 2016\diamond(6\diamond x)\\ =2016\diamond\dfrac{6}{x}\\ =\dfrac{2016}{6/x}\\ =336x=100, \end{gathered}$ so $x=\dfrac{100}{336}=\dfrac{25}{84}$ and $p+q=25+84=109.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de radio $200\sqrt{2}.$ Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200.$ ¿Cuál es la longitud de su cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of its fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrilátero cíclico ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2040

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo central que subtiende un lado de longitud $200,$ con radio $R=200\sqrt2.$ Por la ley de cosenos en el triángulo isósceles desde el centro, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ así que $\cos\theta=\dfrac34.$

El cuarto lado subtiende el ángulo central $3\theta,$ y $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ El cuadrado de su longitud es $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ así que el cuarto lado es $500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\theta$ be the central angle subtending a side of length $200,$ with radius $R=200\sqrt2.$ By the law of cosines on the isosceles triangle from the center, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ so $\cos\theta=\dfrac34.$

The fourth side subtends the central angle $3\theta,$ and $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ Its length squared is $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ so the fourth side is $500.$

Thus, the correct answer is E.

22.

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros positivos satisfacen $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ y $\text{lcm}(y,z)=900$ ?

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

Respuesta: A

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2160

Solución:

Como $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ y $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ el factor $5^2$ divide a $z$ mientras que ni $x$ ni $y$ es divisible por $5.$ Además, $3^2$ divide a $y,$ mientras que ni $x$ ni $z$ es divisible por $3^2,$ y $x$ debe tener el factor $2^3.$

Escribiendo $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ y $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ las condiciones de lcm requieren $\max(j,n)=1$ y $\max(k,m)=2.$ Hay $3$ opciones para $(j,n)$ y $5$ opciones para $(k,m),$ lo que da $3\cdot5=15$ ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ and $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ the factor $5^2$ divides $z$ while neither $x$ nor $y$ is divisible by $5.$ Also $3^2$ divides $y,$ while neither $x$ nor $z$ is divisible by $3^2,$ and $x$ must have the factor $2^3.$

Writing $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ and $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ the lcm conditions require $\max(j,n)=1$ and $\max(k,m)=2.$ There are $3$ choices for $(j,n)$ and $5$ choices for $(k,m),$ giving $3\cdot5=15$ ordered triples.

Thus, the correct answer is A.

23.

Se eligen tres números en el intervalo $[0,1]$ de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?

Three numbers in the interval $[0,1]$ are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica desigualdad triangular volumen

Nivel de dificultad: 2160

Solución:

Las ternas ordenadas $(x,y,z)$ llenan el cubo unitario de volumen $1.$ No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.

La región $z\ge x+y$ es un tetraedro con vértices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ de volumen $\frac16.$ Las regiones análogas $x\ge y+z$ y $y\ge x+z$ también tienen volumen $\frac16$ y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es $3\cdot\frac16=\frac12,$ y la probabilidad de triángulo es $1-\frac12=\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ordered triples $(x,y,z)$ fill the unit cube of volume $1.$ They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region $z\ge x+y$ is a tetrahedron with vertices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ of volume $\frac16.$ The analogous regions $x\ge y+z$ and $y\ge x+z$ also have volume $\frac16$ and have disjoint interiors. So the failure probability is $3\cdot\frac16=\frac12,$ and the triangle probability is $1-\frac12=\frac12.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Existe un menor número real positivo $a$ tal que existe un número real positivo $b$ para el cual todas las raíces del polinomio $x^3-ax^2+bx-a$ son reales. De hecho, para este valor de $a$ el valor de $b$ es único. ¿Cuál es este valor de $b$ ?

There is a smallest positive real number $a$ such that there exists a positive real number $b$ such that all the roots of the polynomial $x^3-ax^2+bx-a$ are real. In fact, for this value of $a$ the value of $b$ is unique. What is this value of $b?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Como $a$ y $b$ son positivos, todas las raíces $r,s,t$ deben ser positivas. Por las fórmulas de Vieta, $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ y $rst=a,$ así que $r+s+t=rst.$

Por la desigualdad MA-MG, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ así que $a=rst\ge 3\sqrt3,$ con igualdad si y solo si $r=s=t=\sqrt3.$ En este menor $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $a$ and $b$ are positive, all roots $r,s,t$ must be positive. By Vieta's formulas, $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ and $rst=a,$ so $r+s+t=rst.$

By the AM-GM inequality, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ so $a=rst\ge 3\sqrt3,$ with equality if and only if $r=s=t=\sqrt3.$ At this smallest $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

25.

Sea $k$ un entero positivo. Bernardo y Silvia se turnan para escribir y borrar números en una pizarra de la siguiente manera: Bernardo empieza escribiendo el menor cuadrado perfecto con $k+1$ dígitos. Cada vez que Bernardo escribe un número, Silvia borra los últimos $k$ dígitos de él. Bernardo escribe entonces el siguiente cuadrado perfecto, Silvia borra los últimos $k$ dígitos, y este proceso continúa hasta que los dos últimos números que quedan en la pizarra difieren en al menos $2.$ Sea $f(k)$ el menor entero positivo que no se escribió en la pizarra. Por ejemplo, si $k=1,$ los números que Bernardo escribe son $16, 25, 36, 49,$ y $64,$ y los números que muestran en la pizarra tras borrar Silvia son $1, 2, 3, 4,$ y $6,$ de modo que $f(1)=5.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)$ ?

Let $k$ be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with $k+1$ digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last $k$ digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last $k$ digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least $2.$ Let $f(k)$ be the smallest positive integer not written on the board. For example, if $k=1,$ then the numbers that Bernardo writes are $16, 25, 36, 49,$ and $64,$ and the numbers showing on the board after Silvia erases are $1, 2, 3, 4,$ and $6,$ and thus $f(1)=5.$ What is the sum of the digits of $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)?$

$7986$

$8002$

$8030$

$8048$

$8064$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado perfecto funciones piso y techo dígitos

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

Toma $k=2j.$ El menor cuadrado perfecto con $k+1$ dígitos es $10^{k}=(10^{j})^2,$ y tras borrar Silvia, los números mostrados son $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ para $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$ Los términos consecutivos aumentan en $0$ o $1$ hasta el primer salto de al menos $2.$

Ese primer salto ocurre en $n=\dfrac{10^{k}}{2}+m$ con $m=10^{j}-1,$ y se calcula que el último número escrito antes del hueco da $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}.$

Sumando sobre $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ No hay acarreos, así que la suma de dígitos es $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take $k=2j.$ The smallest perfect square with $k+1$ digits is $10^{k}=(10^{j})^2,$ and after Silvia erases, the numbers shown are $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ for $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$ Consecutive terms increase by $0$ or $1$ until the first jump of at least $2.$

That first jump occurs at $n=\dfrac{10^{k}}{2}+m$ with $m=10^{j}-1,$ and one computes that the last number written before the gap gives $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j}.$

Summing over $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ There are no carries, so the digit sum is $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Thus, the correct answer is E.

Problemas del 2016 AMC 12A

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución: