Question

Para cierto entero positivo $n,$ el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Solución:

Escribe $110n^3=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots$ de modo que el número de divisores sea $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110.$ Como $110=2\cdot5\cdot11,$ hay exactamente tres primos distintos, que deben ser $2,5,11,$ con exponentes $1,4,10$ en algún orden.

Tomando $r_1=1,$ $r_2=4,$ $r_3=10$ para los primos $2,5,11$ se obtiene $\begin{gathered} n^3=\dfrac{2^1\cdot 5^4\cdot 11^{10}}{2\cdot5\cdot11}\\ =5^3\cdot 11^9, \end{gathered}$ así que $n=5\cdot 11^3.$

Entonces $81n^4=3^4\cdot 5^4\cdot 11^{12},$ y como $3,5,11$ son primos distintos, el número de divisores es $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $110n^3=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots$ so that the number of divisors is $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110.$ Since $110=2\cdot5\cdot11,$ there are exactly three distinct primes, which must be $2,5,11,$ with exponents $1,4,10$ in some order.

Taking $r_1=1,$ $r_2=4,$ $r_3=10$ for the primes $2,5,11$ gives $\begin{gathered} n^3=\dfrac{2^1\cdot 5^4\cdot 11^{10}}{2\cdot5\cdot11}\\ =5^3\cdot 11^9, \end{gathered}$ so $n=5\cdot 11^3.$

Then $81n^4=3^4\cdot 5^4\cdot 11^{12},$ and since $3,5,11$ are distinct primes, the number of divisors is $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años