Question

Para cierto entero positivo $n,$ el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

$110=2\cdot5\cdot11,$ así que $110n^3$ tiene exactamente tres factores primos.

$110=2\cdot5\cdot11,$ so $110n^3$ has exactly three prime factors

Pista grande:

Los exponentes más uno se multiplican para dar $110=2\cdot5\cdot11;$ deduce $n=p\cdot q^3$ .

The exponents plus one multiply to $110=2\cdot5\cdot11;$ deduce $n=p\cdot q^3$

Solución:

El número $110n^3$ es divisible entre los tres primos distintos $2,5,11.$ Si sus exponentes primos son $r_1,r_2,\ldots,$ entonces $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,$ donde $110=2\cdot5\cdot11.$ Como ya hay al menos tres factores mayores que $1,$ hay exactamente tres, así que ningún otro primo divide a $n.$

Cada exponente de $110n^3$ es $1\pmod3,$ por lo que cada factor $r_i+1$ del número de divisores es $2\pmod3.$ Los factores $2,5,11$ tienen todos esa forma, así que los exponentes son $1,4,10$ en algún orden. Tras restar el exponente $1$ aportado por $110$ y dividir entre $3,$ los exponentes de $n$ son $0,1,3$ en algún orden. Por tanto, $n=pq^3$ para dos primos distintos $p,q$ elegidos de $2,5,11.$

En consecuencia, $n^4$ tiene exponentes $4$ y $12,$ mientras que $81=3^4$ introduce un tercer primo porque $n$ no es divisible por $3.$ Así, la cantidad de divisores de $81n^4$ es $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number $110n^3$ is divisible by the three distinct primes $2,5,11.$ If its prime exponents are $r_1,r_2,\ldots,$ then $(r_1+1)(r_2+1)\cdots=110,$ where $110=2\cdot5\cdot11.$ Because there are already at least three factors greater than $1,$ there are exactly three, so no other prime divides $n.$

Each exponent in $110n^3$ is $1\pmod3,$ so each divisor-count factor $r_i+1$ is $2\pmod3.$ The factors $2,5,11$ all have that form, so the exponents are $1,4,10$ in some order. After subtracting the exponent $1$ from $110$ and dividing by $3,$ the exponents in $n$ are $0,1,3$ in some order. Thus $n=pq^3$ for two distinct primes $p,q$ chosen from $2,5,11.$

Consequently $n^4$ has exponents $4$ and $12,$ while $81=3^4$ introduces a third prime because $n$ is not divisible by $3.$ Hence the number of divisors of $81n^4$ is $\begin{gathered} (4+1)(4+1)(12+1)\\ =5\cdot5\cdot13\\ =325. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años