Question

Se elige al azar un punto $P$ de la región rectangular con vértices $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $P$ esté más cerca del origen que del punto $(3,1)$ ?

A point $P$ is randomly selected from the rectangular region with vertices $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ What is the probability that $P$ is closer to the origin than it is to the point $(3,1)?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Solución:

Los puntos más cercanos a $(0,0)$ que a $(3,1)$ están del lado del origen de la mediatriz de ese segmento, la recta $3x+y=5.$

Dentro del rectángulo, esta región es un trapecio cuyos lados paralelos tienen longitudes $\dfrac53$ (en $y=0$ ) y $\dfrac43$ (en $y=1$ ), así que su área es $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.$ El rectángulo tiene área $2,$ así que la probabilidad es $\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The points closer to $(0,0)$ than to $(3,1)$ lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line $3x+y=5.$

Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths $\dfrac53$ (at $y=0$ ) and $\dfrac43$ (at $y=1$ ), so its area is $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.$ The rectangle has area $2,$ so the probability is $\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años