Question

Un objeto en el plano se mueve de un punto reticular a otro. En cada paso, el objeto puede moverse una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda, una unidad hacia arriba o una unidad hacia abajo. Si el objeto parte del origen y recorre un camino de diez pasos, ¿cuántos puntos distintos podrían ser el punto final?

An object in the plane moves from one lattice point to another. At each step, the object may move one unit to the right, one unit to the left, one unit up, or one unit down. If the object starts at the origin and takes a ten-step path, how many different points could be the final point?

$120$

$121$

$221$

$230$

$231$

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Después de $10$ pasos, el punto final $(a, b)$ cumple $|a| + |b| \le 10$ con $a + b$ par.

After $10$ steps the endpoint $(a, b)$ satisfies $|a| + |b| \le 10$ with $a + b$ even

Pista grande:

Cuenta los puntos reticulares con suma de coordenadas par dentro del rombo $|a| + |b| \le 10$ .

Count lattice points with even coordinate sum inside the diamond $|a| + |b| \le 10$

Solución:

Cada paso cambia la suma de coordenadas en $1,$ así que después de $10$ pasos el punto final $(a, b)$ tiene $a + b$ par y $|a| + |b| \le 10.$ Cualquier punto así es alcanzable: camina $|a| + |b|$ pasos hasta él, y luego usa el número par restante de pasos yendo y volviendo.

Los puntos alcanzables están sobre las rectas $a + b = 2k$ para $-5 \le k \le 5.$ Cada una de estas rectas corta al rombo en exactamente $11$ puntos reticulares.

Con $11$ rectas y $11$ puntos cada una, hay $121$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each step changes the coordinate sum by $1,$ so after $10$ steps the endpoint $(a, b)$ has $a + b$ even, and $|a| + |b| \le 10.$ Any such point is reachable: walk $|a| + |b|$ steps to it, then use the remaining even number of steps going out and back.

The reachable points lie on the lines $a + b = 2k$ for $-5 \le k \le 5.$ Each such line meets the diamond in exactly $11$ lattice points.

With $11$ lines and $11$ points each, there are $121$ points.

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años