Question

Sean $A(2, 2)$ y $B(7, 7)$ puntos en el plano. Define $R$ como la región del primer cuadrante formada por aquellos puntos $C$ tales que $\triangle ABC$ es un triángulo acutángulo. ¿Cuál es el entero más cercano al área de la región $R$ ?

Let $A(2, 2)$ and $B(7, 7)$ be points in the plane. Define $R$ as the region in the first quadrant consisting of those points $C$ such that $\triangle ABC$ is an acute triangle. What is the closest integer to the area of the region $R?$

$25$

$39$

$51$

$60$

$80$

Solución:

La recta $AB$ tiene pendiente $1.$ Para que $\angle A$ sea agudo, $C$ debe estar más allá de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB;$ en el primer cuadrante esa recta va entre $P(4, 0)$ y $Q(0, 4).$ Para que $\angle B$ sea agudo, $C$ debe estar antes de la recta que pasa por $B$ perpendicular a $AB,$ entre $S(14, 0)$ y $T(0, 14).$

Para que $\angle C$ sea agudo, $C$ debe estar fuera del círculo $U$ de diámetro $AB,$ cuyo radio es $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.$

La región es el gran triángulo rectángulo $OST$ menos el pequeño triángulo rectángulo $OPQ$ menos el área equivalente al semicírculo de $U$ dentro de la franja: $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Line $AB$ has slope $1.$ For $\angle A$ to be acute, $C$ must lie beyond the line through $A$ perpendicular to $AB;$ in the first quadrant that line runs between $P(4, 0)$ and $Q(0, 4).$ For $\angle B$ to be acute, $C$ must lie before the line through $B$ perpendicular to $AB,$ between $S(14, 0)$ and $T(0, 14).$

For $\angle C$ to be acute, $C$ must lie outside the circle $U$ with diameter $AB,$ whose radius is $\dfrac{AB}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.$

The region is the large right triangle $OST$ minus the small right triangle $OPQ$ minus the semicircle-equivalent area of $U$ inside the strip: $\begin{aligned} &\dfrac12 \cdot 14^2 - \dfrac12 \cdot 4^2 \\ &\quad {}- \pi\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2 \\ &= 98 - 8 - \dfrac{25\pi}{2} \\ &= 90 - \dfrac{25\pi}{2} \approx 51. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años