Question

Sea $T_k$ la transformación del plano coordenado que primero rota el plano $k$ grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego lo refleja respecto al eje $y$ . ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ tal que realizar la secuencia de transformaciones $T_1,T_2,T_3,\ldots,T_n$ devuelve el punto $(1,0)$ a sí mismo?

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1,T_2,T_3,\ldots,T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

Solución:

Rotar un punto en el ángulo $\theta$ en $k^\circ$ da $\theta+k,$ y reflejar respecto al eje $y$ envía el ángulo $\phi$ a $180-\phi.$ Así que $T_k$ envía $\theta$ a $(180-k)-\theta.$

Partiendo de $(1,0)$ en el ángulo $0,$ aplicar $T_1,T_2,\ldots$ da los ángulos $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ Después de un número par $2m$ de pasos el ángulo es $-m,$ y después de un número impar $2m+1$ es $179-m.$

Para que el punto regrese, el ángulo debe ser un múltiplo de $360^\circ.$ El caso par requiere $m=360,$ es decir $n=720.$ El caso impar requiere $179-m=0,$ es decir $m=179$ y $n=359,$ donde la reflexión neta fija $(1,0).$

El menor $n$ de este tipo es $359.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rotating a point at angle $\theta$ by $k^\circ$ gives $\theta+k,$ and reflecting across the $y$ -axis sends angle $\phi$ to $180-\phi.$ So $T_k$ sends $\theta$ to $(180-k)-\theta.$

Starting from $(1,0)$ at angle $0,$ applying $T_1,T_2,\ldots$ gives angles $179,-1,178,-2,177,\ldots.$ After an even number $2m$ of steps the angle is $-m,$ and after an odd number $2m+1$ it is $179-m.$

For the point to return, the angle must be a multiple of $360^\circ.$ The even case needs $m=360,$ i.e. $n=720.$ The odd case needs $179-m=0,$ i.e. $m=179$ and $n=359,$ where the net reflection fixes $(1,0).$

The least such $n$ is $359.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años