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2022 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Sea TkT_k la transformación del plano coordenado que primero rota el plano kk grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego lo refleja respecto al eje yy. ¿Cuál es el menor entero positivo nn tal que realizar la secuencia de transformaciones T1,T_1, T2,T_2, T3,T_3, …,\ldots, TnT_n devuelve el punto (1,0)(1,0) a sí mismo?
Let TkT_k be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane kk degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the yy-axis. What is the least positive integer nn such that performing the sequence of transformations T1,T_1, T2,T_2, T3,T_3, …,\ldots, TnT_n returns the point (1,0)(1,0) back to itself?
359359
360360
719719
720720
721721
Respuesta: A
Conceptos:transformaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:
Un punto en el ángulo θ\theta es enviado por TkT_k al ángulo (180−k)−θ(180-k)-\theta
A point at angle θ\theta is sent by TkT_k to angle (180−k)−θ(180-k)-\theta
Pista grande:
Rastrea el ángulo de (1,0);(1,0); considera también el caso impar de n,n, donde la transformación neta es una reflexión
Track the angle of (1,0);(1,0); also consider odd n,n, where the net map is a reflection
Solución:
Rotar un punto en el ángulo θ\theta en k∘k^\circ da θ+k,\theta+k, y reflejar respecto al eje yy envía el ángulo ϕ\phi a 180−ϕ.180-\phi. Así que TkT_k envía θ\theta a (180−k)−θ.(180-k)-\theta.
Partiendo de (1,0)(1,0) en el ángulo 0,0, aplicar T1,T2,…T_1,T_2,\ldots da los ángulos 179,−1,178,−2,177,….179,-1,178,-2,177,\ldots. Después de un número par 2m2m de pasos el ángulo es −m,-m, y después de un número impar 2m+12m+1 es 179−m.179-m.
Para que el punto regrese, el ángulo debe ser un múltiplo de 360∘.360^\circ. El caso par requiere m=360,m=360, es decir n=720.n=720. El caso impar requiere 179−m=0,179-m=0, es decir m=179m=179 y n=359,n=359, donde la reflexión neta fija (1,0).(1,0).
El menor nn de este tipo es 359.359.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Rotating a point at angle θ\theta by k∘k^\circ gives θ+k,\theta+k, and reflecting across the yy-axis sends angle ϕ\phi to 180−ϕ.180-\phi. So TkT_k sends θ\theta to (180−k)−θ.(180-k)-\theta.
Starting from (1,0)(1,0) at angle 0,0, applying T1,T2,…T_1,T_2,\ldots gives angles 179,−1,178,−2,177,….179,-1,178,-2,177,\ldots. After an even number 2m2m of steps the angle is −m,-m, and after an odd number 2m+12m+1 it is 179−m.179-m.
For the point to return, the angle must be a multiple of 360∘.360^\circ. The even case needs m=360,m=360, i.e. n=720.n=720. The odd case needs 179−m=0,179-m=0, i.e. m=179m=179 and n=359,n=359, where the net reflection fixes (1,0).(1,0).
The least such nn is 359.359.
Thus, the correct answer is A.
Problema 17#17
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Problema 19#19

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