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2020 AMC 12B Problema 18

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 18 del 2020 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:geometría analíticadescomposición de áreastriángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1910

18.

En el cuadrado ABCD,ABCD, los puntos EE y HH están sobre AB‾\overline{AB} y DA‾,\overline{DA}, respectivamente, de modo que AE=AH.AE = AH. Los puntos FF y GG están sobre BC‾\overline{BC} y CD‾,\overline{CD}, respectivamente, y los puntos II y JJ están sobre EH‾\overline{EH} de modo que FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH} y GJ‾⊥EH‾.\overline{GJ} \perp \overline{EH}. Ve la figura de abajo. El triángulo AEH,AEH, el cuadrilátero BFIE,BFIE, el cuadrilátero DHJG,DHJG, y el pentágono FCGJIFCGJI tienen área 1.1. ¿Cuánto vale FI2FI^2?

In square ABCD,ABCD, points EE and HH lie on AB‾\overline{AB} and DA‾,\overline{DA}, respectively, so that AE=AH.AE = AH. Points FF and GG lie on BC‾\overline{BC} and CD‾,\overline{CD}, respectively, and points II and JJ lie on EH‾\overline{EH} so that FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH} and GJ‾⊥EH‾.\overline{GJ} \perp \overline{EH}. See the figure below. Triangle AEH,AEH, quadrilateral BFIE,BFIE, quadrilateral DHJG,DHJG, and pentagon FCGJIFCGJI each has area 1.1. What is FI2?FI^2?

73\dfrac73

8−428 - 4\sqrt{2}

1+21 + \sqrt{2}

742\dfrac74 \sqrt{2}

222\sqrt{2}

Solución:

Las cuatro regiones tienen área total 4,4, así que el cuadrado tiene lado 2.2. Pon A=(0,0),A = (0, 0), B=(2,0),B = (2, 0), C=(2,2),C = (2, 2), D=(0,2).D = (0, 2). Como △AEH\triangle AEH es un triángulo rectángulo isósceles de área 1,1, obtenemos AE=AH=2,AE = AH = \sqrt2, así que E=(2,0)E = (\sqrt2, 0) y H=(0,2).H = (0, \sqrt2). La recta EHEH es x+y=2.x + y = \sqrt2.

Sea F=(2,t).F = (2, t). Su distancia perpendicular a la recta EHEH es FI=2+t−22.FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}. Escribiendo s=FI/2=2+t−22,s = FI/\sqrt2 = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{2}, el cuadrilátero BFIEBFIE tiene área 1.1. Al resolver esta condición se obtiene s2=4−22.s^2 = 4 - 2\sqrt2.

Entonces FI2=2s2=8−42.FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The four regions have total area 4,4, so the square has side 2.2. Put A=(0,0),A = (0, 0), B=(2,0),B = (2, 0), C=(2,2),C = (2, 2), D=(0,2).D = (0, 2). Since △AEH\triangle AEH is an isosceles right triangle with area 1,1, we get AE=AH=2,AE = AH = \sqrt2, so E=(2,0)E = (\sqrt2, 0) and H=(0,2).H = (0, \sqrt2). Line EHEH is x+y=2.x + y = \sqrt2.

Let F=(2,t).F = (2, t). Its perpendicular distance to line EHEH is FI=2+t−22.FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}. Writing s=FI/2=2+t−22,s = FI/\sqrt2 = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{2}, the quadrilateral BFIEBFIE has area 1.1. Solving this condition gives s2=4−22.s^2 = 4 - 2\sqrt2.

Then FI2=2s2=8−42.FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

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El Problema 18 en otros años

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