Question

El cuadrado $ABCD$ en el plano de coordenadas tiene vértices en los puntos $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ y $D(1, -1).$ Considera las siguientes cuatro transformaciones:

$L,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen;

$R,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen;

$H,$ una reflexión respecto al eje $x$ ; y

$V,$ una reflexión respecto al eje $y$ .

Cada una de estas transformaciones mapea el cuadrado sobre sí mismo, pero las posiciones de los vértices etiquetados cambiarán. Por ejemplo, aplicar $R$ y luego $V$ enviaría el vértice $A$ en $(1, 1)$ a $(-1, -1)$ y enviaría el vértice $B$ en $(-1, 1)$ a sí mismo. ¿Cuántas secuencias de $20$ transformaciones elegidas de $\{L, R, H, V\}$ enviarán todos los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales? (Por ejemplo, $R,$ $R,$ $V,$ $H$ es una secuencia de $4$ transformaciones que envía los vértices de vuelta a sus posiciones originales.)

Square $ABCD$ in the coordinate plane has vertices at the points $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ and $D(1, -1).$ Consider the following four transformations:

$L,$ a rotation of $90^\circ$ counterclockwise around the origin;

$R,$ a rotation of $90^\circ$ clockwise around the origin;

$H,$ a reflection across the $x$ -axis; and

$V,$ a reflection across the $y$ -axis.

Each of these transformations maps the square onto itself, but the positions of the labeled vertices will change. For example, applying $R$ and then $V$ would send the vertex $A$ at $(1, 1)$ to $(-1, -1)$ and would send the vertex $B$ at $(-1, 1)$ to itself. How many sequences of $20$ transformations chosen from $\{L, R, H, V\}$ will send all of the labeled vertices back to their original positions? (For example, $R,$ $R,$ $V,$ $H$ is one sequence of $4$ transformations that will send the vertices back to their original positions.)

$2^{37}$

$3 \cdot 2^{36}$

$2^{38}$

$3 \cdot 2^{37}$

$2^{39}$

Respuesta: C

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Las primeras $19$ transformaciones pueden ser cualquier cosa; la última queda entonces forzada a ser la inversa única.

The first $19$ transformations can be anything; the last one is then forced to be the unique inverse

Pista grande:

El último movimiento forzado debe ser una de las cuatro transformaciones permitidas; halla la probabilidad de que lo sea.

The forced last move must be one of the four allowed transformations; find the probability that it is

Solución:

Etiquetemos los vértices $0,1,2,3$ cíclicamente. Cada transformación permitida tiene la forma $j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,$ donde $\varepsilon\in\{1,-1\}$ y $\delta\in\{1,-1\}.$ Estas cuatro elecciones dan exactamente los dos giros de un cuarto de vuelta y las dos reflexiones indicadas.

Bajo composición, la paridad de $\delta$ cambia en cada paso. Por tanto, una composición de $19$ transformaciones permitidas vuelve a tener $\delta$ impar y es una de las cuatro transformaciones permitidas. Su inversa también está permitida. En consecuencia, cada sucesión de los primeros $19$ movimientos tiene exactamente una opción para el movimiento final, lo que da $4^{19}=2^{38}$ sucesiones exitosas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Label the vertices $0,1,2,3$ cyclically. Each allowed transformation has the form $j\mapsto \varepsilon j+\delta\pmod 4,$ where $\varepsilon\in\{1,-1\}$ and $\delta\in\{1,-1\}.$ These four choices give exactly the two quarter-turns and the two stated reflections.

Under composition, the parity of $\delta$ changes at every move. Thus a composition of $19$ allowed transformations again has odd $\delta,$ and so is one of the four allowed transformations. Its inverse is also allowed. Consequently every sequence of the first $19$ moves has exactly one choice for the final move, giving $4^{19}=2^{38}$ successful sequences.

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años