Question

El cuadrado $ABCD$ en el plano de coordenadas tiene vértices en los puntos $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ y $D(1, -1).$ Considera las siguientes cuatro transformaciones:

$L,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen;

$R,$ una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen;

$H,$ una reflexión respecto al eje $x$ ; y

$V,$ una reflexión respecto al eje $y$ .

Cada una de estas transformaciones mapea el cuadrado sobre sí mismo, pero las posiciones de los vértices etiquetados cambiarán. Por ejemplo, aplicar $R$ y luego $V$ enviaría el vértice $A$ en $(1, 1)$ a $(-1, -1)$ y enviaría el vértice $B$ en $(-1, 1)$ a sí mismo. ¿Cuántas secuencias de $20$ transformaciones elegidas de $\{L, R, H, V\}$ enviarán todos los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales? (Por ejemplo, $R, R, V, H$ es una secuencia de $4$ transformaciones que envía los vértices de vuelta a sus posiciones originales.)

Square $ABCD$ in the coordinate plane has vertices at the points $A(1, 1),$ $B(-1, 1),$ $C(-1, -1),$ and $D(1, -1).$ Consider the following four transformations:

$L,$ a rotation of $90^\circ$ counterclockwise around the origin;

$R,$ a rotation of $90^\circ$ clockwise around the origin;

$H,$ a reflection across the $x$ -axis; and

$V,$ a reflection across the $y$ -axis.

Each of these transformations maps the square onto itself, but the positions of the labeled vertices will change. For example, applying $R$ and then $V$ would send the vertex $A$ at $(1, 1)$ to $(-1, -1)$ and would send the vertex $B$ at $(-1, 1)$ to itself. How many sequences of $20$ transformations chosen from $\{L, R, H, V\}$ will send all of the labeled vertices back to their original positions? (For example, $R, R, V, H$ is one sequence of $4$ transformations that will send the vertices back to their original positions.)

$2^{37}$

$3 \cdot 2^{36}$

$2^{38}$

$3 \cdot 2^{37}$

$2^{39}$

Solución:

Estas cuatro transformaciones son elementos del grupo diédrico del cuadrado. Después de cualesquiera $19$ transformaciones elegidas, exactamente un elemento del grupo (la inversa de su composición) completaría el trabajo; la secuencia devuelve los vértices al inicio solo si ese elemento requerido es una de las cuatro permitidas.

Sigue un solo vértice, digamos $A.$ Después de $19$ movimientos, su posición tiene igual probabilidad de ser cualquiera de las cuatro esquinas. El último movimiento debe garantizar el retorno de los cuatro vértices; al analizar el grupo, exactamente $2^{38}$ de las $4^{20}$ secuencias funcionan. (Un cálculo de caracteres sobre el grupo diédrico da $\tfrac{1}{8}\left(4^{20} + 4^{20}\right) = 4^{19} = 2^{38}.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

These four transformations are elements of the dihedral group of the square. After any $19$ chosen transformations, exactly one group element (the inverse of their composition) would finish the job; the sequence returns the vertices to start only if that required element is one of the four allowed ones.

Track a single vertex, say $A.$ After $19$ moves, its position is equally likely to be any of the four corners. The last move must fix all four vertices' return; working through the group, exactly $2^{38}$ of the $4^{20}$ sequences succeed. (A character computation on the dihedral group gives $\tfrac{1}{8}\left(4^{20} + 4^{20}\right) = 4^{19} = 2^{38}.$ )

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años