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2001 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

El polinomio P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tiene la propiedad de que la media de sus ceros, el producto de sus ceros y la suma de sus coeficientes son todos iguales. Si la intersección con el eje yy de la gráfica de y=P(x)y = P(x) es 2,2, ¿cuánto vale bb?

The polynomial P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c has the property that the mean of its zeros, the product of its zeros, and the sum of its coefficients are all equal. If the yy-intercept of the graph of y=P(x)y = P(x) is 2,2, what is b?b?

−11-11

−10-10

−9-9

11

55

Respuesta: A
Conceptos:Fórmulas de Vietapolinomio
Nivel de dificultad: 1760
Pista pequeña:

Por Vieta, la suma de los ceros es −a-a y el producto es −c;-c; la suma de coeficientes es P(1)P(1)

By Vieta, the sum of the zeros is −a-a and the product is −c;-c; the sum of coefficients is P(1)P(1)

Pista grande:

La intersección con el eje yy da c=2,c = 2, así que el valor común es el producto de los ceros

The yy-intercept gives c=2,c = 2, so the common value is the product of the zeros

Solución:

La intersección con el eje yy es P(0)=c=2.P(0) = c = 2. Por las fórmulas de Vieta, el producto de los ceros es −c=−2,-c = -2, la media de los ceros es −a3,-\dfrac{a}{3}, y la suma de los coeficientes es P(1)=1+a+b+c.P(1) = 1 + a + b + c.

Los tres son iguales a −2.-2. De −a3=−2-\dfrac{a}{3} = -2 obtenemos a=6.a = 6.

Entonces 1+a+b+c=−21 + a + b + c = -2 se convierte en 1+6+b+2=−2,1 + 6 + b + 2 = -2, así que b=−11.b = -11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The yy-intercept is P(0)=c=2.P(0) = c = 2. By Vieta’s formulas the product of the zeros is −c=−2,-c = -2, the mean of the zeros is −a3,-\dfrac{a}{3}, and the sum of the coefficients is P(1)=1+a+b+c.P(1) = 1 + a + b + c.

All three are equal to −2.-2. From −a3=−2-\dfrac{a}{3} = -2 we get a=6.a = 6.

Then 1+a+b+c=−21 + a + b + c = -2 becomes 1+6+b+2=−2,1 + 6 + b + 2 = -2, so b=−11.b = -11.

Thus, the correct answer is A.

Problema 18#18
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