Question

El polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene la propiedad de que la media de sus ceros, el producto de sus ceros y la suma de sus coeficientes son todos iguales. Si la intersección con el eje $y$ de la gráfica de $y = P(x)$ es $2,$ ¿cuánto vale $b$ ?

The polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ has the property that the mean of its zeros, the product of its zeros, and the sum of its coefficients are all equal. If the $y$ -intercept of the graph of $y = P(x)$ is $2,$ what is $b?$

$-11$

$-10$

$-9$

$1$

$5$

Solución:

La intersección con el eje $y$ es $P(0) = c = 2.$ Por las fórmulas de Vieta, el producto de los ceros es $-c = -2,$ la media de los ceros es $-\dfrac{a}{3},$ y la suma de los coeficientes es $P(1) = 1 + a + b + c.$

Los tres son iguales a $-2.$ De $-\dfrac{a}{3} = -2$ obtenemos $a = 6.$

Entonces $1 + a + b + c = -2$ se convierte en $1 + 6 + b + 2 = -2,$ así que $b = -11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $y$ -intercept is $P(0) = c = 2.$ By Vieta's formulas the product of the zeros is $-c = -2,$ the mean of the zeros is $-\dfrac{a}{3},$ and the sum of the coefficients is $P(1) = 1 + a + b + c.$

All three are equal to $-2.$ From $-\dfrac{a}{3} = -2$ we get $a = 6.$

Then $1 + a + b + c = -2$ becomes $1 + 6 + b + 2 = -2,$ so $b = -11.$

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 12 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años