Question

Para $n$ y $a$ positivos, define $n_a!$ como $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}$ donde $k$ es el mayor entero para el cual $n\gt ka.$ Entonces, el cociente $\frac{72_8!}{18_2!}$ es igual a

Define $n_a!$ for positive $n$ and $a$ to be $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}$ where $k$ is the greatest integer for which $n\gt ka.$ Then the quotient $\frac{72_8!}{18_2!}$ is equal to

$4^5$

$4^6$

$4^8$

$4^9$

$4^{12}$

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada factorial exponente

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe ambos factoriales generalizados como nueve factores explícitos

Write both generalized factorials as nine explicit factors

Pista grande:

Extrae $8$ de cada término del numerador y $2$ de cada término del denominador

Factor $8$ from every numerator term and $2$ from every denominator term

Solución:

Los dos productos son $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}$ Por lo tanto, su cociente es $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two products are $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}$ Their quotient is therefore $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.$

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años