Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1971 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 1971 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1971 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Si la recta y=mx+1y=mx+1 corta a la elipse x2+4y2=1x^2+4y^2=1 exactamente una vez, entonces el valor de m2m^2 es:

If the line y=mx+1y=mx+1 intersects the ellipse x2+4y2=1x^2+4y^2=1 exactly once, then the value of m2m^2 is:

12\frac{1}{2}

23\frac{2}{3}

34\frac{3}{4}

45\frac{4}{5}

56\frac{5}{6}

Respuesta: C
Conceptos:elipserecta tangentecuadrática
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:

Sustituye la ecuación de la recta en la de la elipse

Substitute the line equation into the ellipse

Pista grande:

Una sola intersección significa que el discriminante de la cuadrática resultante es cero

Exactly one intersection means the resulting quadratic has discriminant zero

Solución:

La sustitución da (1+4m2)x2+8mx+3=0. (1+4m^2)x^2+8mx+3=0. La tangencia exige que el discriminante sea cero: 64m2−12(1+4m2)=0. 64m^2-12(1+4m^2)=0. Por tanto, 16m2=12,16m^2=12, y así m2=34.m^2=\frac{3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives (1+4m2)x2+8mx+3=0. (1+4m^2)x^2+8mx+3=0. Tangency requires its discriminant to vanish: 64m2−12(1+4m2)=0. 64m^2-12(1+4m^2)=0. Thus 16m2=12,16m^2=12, so m2=34.m^2=\frac{3}{4}.

Therefore, the correct answer is C.

← Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20 →

El Problema 19 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B