Question

Considera las gráficas de $y=Ax^2$ y $y^2+3=x^2+4y,$ donde $A$ es una constante positiva y $x$ y $y$ son variables reales. ¿En cuántos puntos se intersecan las dos gráficas?

Consider the graphs of $y=Ax^2$ and $y^2+3=x^2+4y,$ where $A$ is a positive constant and $x$ and $y$ are real variables. In how many points do the two graphs intersect?

exactamente $4$

exactly $4$

exactamente $2$

exactly $2$

al menos $1,$ pero la cantidad varía con los valores positivos de $A$

at least $1,$ but the number varies for different positive values of $A$

$0$ para al menos un valor positivo de $A$

$0$ for at least one positive value of $A$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:manipulación algebraica conteo de intersecciones cuadrática

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Usa $x^2=\frac{y}{A}$ para eliminar $x^2$

Use $x^2=\frac{y}{A}$ to eliminate $x^2$

Pista grande:

Demuestra que la cuadrática resultante tiene dos raíces $y$ positivas y distintas

Show that the resulting quadratic has two distinct positive $y$ -roots

Solución:

Al sustituir $x^2=\frac{y}{A}$ en la segunda ecuación se obtiene $Ay^2-(4A+1)y+3A=0.$ Su discriminante es $4A^2+8A+1\gt0.$ Sus raíces tienen producto positivo $3$ y suma positiva $\frac{4A+1}{A},$ así que ambas son positivas y distintas. Para cada raíz $y,$ la ecuación $x^2=\frac{y}{A}$ da dos valores distintos de $x.$ Por lo tanto, hay exactamente cuatro puntos de intersección.

La respuesta correcta es A.

Substituting $x^2=\frac{y}{A}$ into the second equation gives $Ay^2-(4A+1)y+3A=0.$ Its discriminant is $4A^2+8A+1\gt0.$ Its roots have positive product $3$ and positive sum $\frac{4A+1}{A},$ so both roots are positive and distinct. For each root $y,$ the equation $x^2=\frac{y}{A}$ gives two distinct values of $x.$ Thus there are exactly four intersection points.

Therefore the correct answer is A.

1985 AMC 12 Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años