Question

El señor Jones tiene ocho hijos de edades distintas. En un viaje familiar, su hija mayor, que tiene $9$ años, ve una matrícula con un número de $4$ dígitos en el que cada uno de dos dígitos aparece dos veces. «¡Mira, papá!», exclama. «¡Ese número es divisible exactamente entre la edad de cada uno de nosotros!» «Así es», responde el señor Jones, «y las dos últimas cifras resultan ser justo mi edad». ¿Cuál de las siguientes no es la edad de uno de los hijos del señor Jones?

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. "Look, daddy!" she exclaims. "That number is evenly divisible by the age of each of us kids!" "That's right," replies Mr. Jones, "and the last two digits just happen to be my age." Which of the following is not the age of one of Mr. Jones's children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

El número tiene la forma $aabb$ , $abab$ o $baab$ . Ser divisible entre $9$ significa que $2(a + b)$ es múltiplo de $9$ , así que $a + b = 9$ .

Entre los hijos hay uno de $4$ u $8$ años, así que el número es divisible entre $4$ . Las posibilidades quedan como $1188, 2772, 3636$ , y $5544, 6336, 7272, 9900$ .

Como las dos últimas cifras son la edad del señor Jones, $9900$ es imposible, y ninguno de los demás es múltiplo de $5$ . Por lo tanto, las edades de los hijos no pueden incluir $5$ . En efecto, $5544$ es divisible entre $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number has the form $aabb,$ $abab,$ or $baab.$ Divisibility by $9$ means $2(a + b)$ is a multiple of $9,$ so $a + b = 9.$

The children include a $4$ - or $8$ -year-old, so the number is divisible by $4.$ The possibilities become $1188, 2772, 3636,$ $5544, 6336, 7272, 9900.$

Since the last two digits are Mr. Jones's age, $9900$ is impossible, and none of the others is a multiple of $5.$ So the children's ages cannot include $5.$ Indeed $5544$ is divisible by $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años