Question

En $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ y $AB = 12.$ Se construyen los cuadrados $ABXY$ y $ACWZ$ fuera del triángulo. Los puntos $X,$ $Y,$ $Z,$ y $W$ están en un círculo. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

In $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ and $AB = 12.$ Squares $ABXY$ and $ACWZ$ are constructed outside of the triangle. The points $X,$ $Y,$ $Z,$ and $W$ lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

$12 + 9\sqrt3$

$18 + 6\sqrt3$

$12 + 12\sqrt2$

$30$

$32$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

El centro $O$ del círculo es equidistante de $X, Y, Z, W,$ así que es el circuncentro de $\triangle ABC$

The circle’s center $O$ is equidistant from $X, Y, Z, W,$ so it is the circumcenter of $\triangle ABC$

Pista grande:

Como $\angle C = 90^\circ,$ $O$ es el punto medio de $AB;$ pon $a = \tfrac12 BC,$ $b = \tfrac12 CA$ y usa $OX = OW$

Since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB;$ set $a = \tfrac12 BC,$ $b = \tfrac12 CA$ and use $OX = OW$

Solución:

El centro $O$ del círculo está en las mediatrices de $XY$ y $ZW,$ que son las mismas que las de $AB$ y $AC.$ Así, $O$ es el circuncentro de $\triangle ABC,$ y como $\angle C = 90^\circ,$ $O$ es el punto medio de $AB.$

Sea $a = \tfrac12 BC$ y $b = \tfrac12 CA.$ Entonces $a^2 + b^2 = 6^2,$ y la igualdad $OX^2 = OW^2$ da $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Como el lado izquierdo es $5(a^2+b^2),$ al restar se obtiene $4a(b-a)=0.$ Por tanto, $a=b,$ y $2a^2=36$ da $a=b=3\sqrt2.$ Así, $BC=CA=6\sqrt2,$ y el perímetro es $12+12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center $O$ of the circle lies on the perpendicular bisectors of $XY$ and $ZW,$ which are the same as those of $AB$ and $AC.$ So $O$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ and since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB.$

Let $a = \tfrac12 BC$ and $b = \tfrac12 CA.$ Then $a^2 + b^2 = 6^2,$ and computing $OX^2 = OW^2$ gives $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Because the left side is $5(a^2+b^2),$ subtracting gives $4a(b-a)=0.$ Thus $a=b,$ and $2a^2=36$ gives $a=b=3\sqrt2.$ Therefore $BC=CA=6\sqrt2,$ and the perimeter is $12+12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años