Question

En $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ y $AB = 12.$ Se construyen los cuadrados $ABXY$ y $ACWZ$ fuera del triángulo. Los puntos $X,$ $Y,$ $Z,$ y $W$ están en un círculo. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

In $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ and $AB = 12.$ Squares $ABXY$ and $ACWZ$ are constructed outside of the triangle. The points $X,$ $Y,$ $Z,$ and $W$ lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

$12 + 9\sqrt3$

$18 + 6\sqrt3$

$12 + 12\sqrt2$

$30$

$32$

Solución:

El centro $O$ del círculo está sobre las mediatrices de $XY$ y $ZW,$ que son las mismas que las de $AB$ y $AC.$ Así $O$ es el circuncentro de $\triangle ABC,$ y como $\angle C = 90^\circ,$ $O$ es el punto medio de $AB.$

Sea $a = \tfrac12 BC$ y $b = \tfrac12 CA.$ Entonces $a^2 + b^2 = 6^2,$ y calcular $OX^2 = OW^2$ da $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Resolviendo se obtiene $a = b = 3\sqrt2,$ así que $BC = CA = 6\sqrt2$ y el perímetro es $12 + 12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center $O$ of the circle lies on the perpendicular bisectors of $XY$ and $ZW,$ which are the same as those of $AB$ and $AC.$ So $O$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ and since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB.$

Let $a = \tfrac12 BC$ and $b = \tfrac12 CA.$ Then $a^2 + b^2 = 6^2,$ and computing $OX^2 = OW^2$ gives $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Solving yields $a = b = 3\sqrt2,$ so $BC = CA = 6\sqrt2$ and the perimeter is $12 + 12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años