Question

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores de $f(n)$ que son números primos?

For each positive integer $n,$ let $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.$ What is the sum of all values of $f(n)$ that are prime numbers?

$794$

$796$

$798$

$800$

$802$

Solución:

Escribe $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

Para que $f(n)$ sea primo, el factor menor debe ser $1$ : al resolver $n^2 - 20n + 20 = 1$ se obtiene $(n - 1)(n - 19) = 0,$ así que $n = 1$ o $n = 19.$

Entonces $f(1) = 41$ y $f(19) = 761$ son ambos primos, y suman $802.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

For $f(n)$ to be prime the smaller factor must be $1$ : solving $n^2 - 20n + 20 = 1$ gives $(n - 1)(n - 19) = 0,$ so $n = 1$ or $n = 19.$

Then $f(1) = 41$ and $f(19) = 761$ are both prime, summing to $802.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años