Soluciones del 2009 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Cada mañana de su semana laboral de cinco días, Jane compró o bien un panecillo de $50$ centavos o bien un bagel de $75$ centavos. Su costo total de la semana fue un número entero de dólares. ¿Cuántos bagels compró?

Each morning of her five-day workweek, Jane bought either a $50$ -cent muffin or a $75$ -cent bagel. Her total cost for the week was a whole number of dollars. How many bagels did she buy?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:paridad dinero análisis por casos

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Compra $5$ artículos en total, así que los panecillos y los bagels juntos suman $5$ .

She buys $5$ items total, so muffins and bagels together number $5$

Pista grande:

El total de $50m + 75b$ centavos debe ser un múltiplo de $100;$ reduce el costo módulo $100$ .

The total $50m + 75b$ cents must be a multiple of $100;$ reduce the cost modulo $100$

Solución:

Con $b$ bagels compra $5 - b$ panecillos, con un costo de $50(5-b) + 75b = 250 + 25b$ centavos. Para que sea un número entero de dólares, esto debe ser un múltiplo de $100.$ Así $25b\equiv50\pmod{100},$ o bien $b\equiv2\pmod4.$ Como $0\le b\le5,$ el único valor que funciona es $b=2$ , lo que da $300$ centavos $= \$3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $b$ bagels she buys $5 - b$ muffins, costing $50(5-b) + 75b = 250 + 25b$ cents. For a whole number of dollars this must be a multiple of $100.$ Thus $25b\equiv50\pmod{100},$ or $b\equiv2\pmod4.$ Since $0\le b\le5,$ only $b=2$ works, giving $300$ cents $= \$3.$

Thus, the correct answer is B.

2.

Paula la pintora tenía justo suficiente pintura para $30$ habitaciones de igual tamaño. Desafortunadamente, camino al trabajo, tres latas de pintura se cayeron de su camión, así que solo le quedó suficiente pintura para $25$ habitaciones. ¿Cuántas latas de pintura usó para las $25$ habitaciones?

Paula the painter had just enough paint for $30$ identically sized rooms. Unfortunately, on the way to work, three cans of paint fell off her truck, so she had only enough paint for $25$ rooms. How many cans of paint did she use for the $25$ rooms?

$10$

$12$

$15$

$18$

$25$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Las $3$ latas perdidas corresponden a las $5$ habitaciones que ya no puede pintar.

The $3$ lost cans account for the $5$ rooms she can no longer paint

Pista grande:

La razón entre latas y habitaciones es $3 : 5$ .

The ratio of cans to rooms is $3 : 5$

Solución:

Perder $3$ latas le costó $5$ habitaciones, así que $3$ latas pintan $5$ habitaciones y cada habitación necesita $\dfrac{3}{5}$ de una lata.

Para $25$ habitaciones usó $25 \cdot \dfrac{3}{5} = 15$ latas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Losing $3$ cans cost her $5$ rooms, so $3$ cans paint $5$ rooms and each room needs $\dfrac{3}{5}$ of a can.

For $25$ rooms she used $25 \cdot \dfrac{3}{5} = 15$ cans.

Thus, the correct answer is C.

3.

¿Veinte por ciento menos que $60$ es un tercio más que qué número?

Twenty percent less than $60$ is one-third more than what number?

$16$

$30$

$32$

$36$

$48$

Conceptos:porcentaje fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Veinte por ciento menos que $60$ es $0.8 \cdot 60$ .

Twenty percent less than $60$ is $0.8 \cdot 60$

Pista grande:

Un tercio más que un número $n$ es $\dfrac{4}{3}n$ .

One-third more than a number $n$ is $\dfrac{4}{3}n$

Solución:

Veinte por ciento menos que $60$ es $0.8 \cdot 60 = 48.$

Un tercio más que $n$ es $\dfrac{4}{3}n,$ así que $\dfrac{4}{3}n = 48$ da $n = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Twenty percent less than $60$ is $0.8 \cdot 60 = 48.$

One-third more than $n$ is $\dfrac{4}{3}n,$ so $\dfrac{4}{3}n = 48$ gives $n = 36.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Un jardín rectangular contiene dos parterres de flores con forma de triángulos rectángulos isósceles congruentes. El resto del jardín tiene forma de trapecio, como se muestra. Los lados paralelos del trapecio miden $15$ y $25$ metros. ¿Qué fracción del jardín ocupan los parterres?

A rectangular yard contains two flower beds in the shape of congruent isosceles right triangles. The remainder of the yard has a trapezoidal shape, as shown. The parallel sides of the trapezoid have lengths $15$ and $25$ meters. What fraction of the yard is occupied by the flower beds?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:razón de áreas área del triángulo trapecio

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Los dos catetos de cada triángulo son iguales a la mitad de la diferencia de los lados paralelos.

The two triangle legs equal half the difference of the parallel sides

Pista grande:

Cada triángulo rectángulo isósceles tiene catetos $\dfrac{25 - 15}{2} = 5$ .

Each isosceles right triangle has legs $\dfrac{25 - 15}{2} = 5$

Solución:

Los lados paralelos difieren en $25 - 15 = 10,$ así que cada triángulo tiene catetos $\dfrac{10}{2} = 5$ y área $\dfrac{1}{2} \cdot 5^2 = \dfrac{25}{2}.$ Los dos parterres suman $25.$

El rectángulo mide $25$ por $5,$ así que su área es $125,$ y la fracción ocupada es $\dfrac{25}{125} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The parallel sides differ by $25 - 15 = 10,$ so each triangle has legs $\dfrac{10}{2} = 5$ and area $\dfrac{1}{2} \cdot 5^2 = \dfrac{25}{2}.$ The two beds total $25.$

The rectangle measures $25$ by $5,$ so its area is $125,$ and the fraction occupied is $\dfrac{25}{125} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

5.

Kiana tiene dos hermanos mayores que son gemelos. El producto de las tres edades es $128.$ ¿Cuál es la suma de las tres edades?

Kiana has two older twin brothers. The product of their three ages is $128.$ What is the sum of their three ages?

$10$

$12$

$16$

$18$

$24$

Conceptos:factorización en primos potencia de 2

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

$128 = 2^7,$ así que cada edad es una potencia de $2$ .

$128 = 2^7,$ so every age is a power of $2$

Pista grande:

Si cada gemelo tiene $t$ años, entonces $t^2$ por la edad de Kiana es $128,$ y Kiana es menor.

If each twin is $t$ years old, then $t^2$ times Kiana’s age is $128,$ and Kiana is younger

Solución:

Como $128 = 2^7,$ cada edad es una potencia de $2.$ Los gemelos comparten una edad $t,$ así que la edad de Kiana es $\dfrac{128}{t^2}.$

Tomando $t = 8$ resulta que Kiana tiene $\dfrac{128}{64} = 2,$ que es menor que los gemelos. (Gemelos más jóvenes harían a Kiana mayor, lo cual no está permitido.) La suma es $8 + 8 + 2 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $128 = 2^7,$ each age is a power of $2.$ The twins share an age $t,$ so Kiana’s age is $\dfrac{128}{t^2}.$

Taking $t = 8$ gives Kiana $\dfrac{128}{64} = 2,$ who is younger than the twins. (Smaller twins would make Kiana older, which is not allowed.) The sum is $8 + 8 + 2 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Al insertar paréntesis, es posible dar a la expresión $2 \times 3 + 4 \times 5$ varios valores. ¿Cuántos valores diferentes se pueden obtener?

By inserting parentheses, it is possible to give the expression $2 \times 3 + 4 \times 5$ several values. How many different values can be obtained?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:orden de las operaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

El resultado depende de cuándo se realiza la suma en relación con las dos multiplicaciones.

The result depends on when the addition is performed relative to the two multiplications

Pista grande:

Enumera las agrupaciones distintas; varias formas de poner paréntesis se reducen al mismo valor.

Enumerate the distinct groupings; several parenthesizations collapse to the same value

Solución:

Las agrupaciones genuinamente distintas dan lo siguiente.

Estas agrupaciones dan $(2 \times 3) + (4 \times 5) = 26,$ $\ ((2 \times 3) + 4) \times 5 = 50,$ $\ 2 \times (3 + (4 \times 5)) = 46,$ y $\ 2 \times (3 + 4) \times 5 = 70.$

Todas son distintas, así que se pueden obtener $4$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The genuinely different groupings give

$(2 \times 3) + (4 \times 5) = 26,$ $\ ((2 \times 3) + 4) \times 5 = 50,$ $\ 2 \times (3 + (4 \times 5)) = 46,$ and $\ 2 \times (3 + 4) \times 5 = 70.$

These are all distinct, so $4$ values can be obtained.

Thus, the correct answer is C.

7.

En cierto año el precio de la gasolina subió un $20\%$ durante enero, bajó un $20\%$ durante febrero, subió un $25\%$ durante marzo y bajó un $x\%$ durante abril. El precio de la gasolina al final de abril fue el mismo que al comienzo de enero. Redondeando al entero más cercano, ¿cuánto vale $x$ ?

In a certain year the price of gasoline rose by $20\%$ during January, fell by $20\%$ during February, rose by $25\%$ during March, and fell by $x\%$ during April. The price of gasoline at the end of April was the same as it had been at the beginning of January. To the nearest integer, what is $x?$

$12$

$17$

$20$

$25$

$35$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Multiplica los factores sucesivos $1.2,$ $0.8,$ y $1.25$ .

Multiply the successive factors $1.2,$ $0.8,$ and $1.25$

Pista grande:

Después de tres meses el precio es $1.2$ veces el inicial, así que abril debe deshacer ese factor.

After three months the price is $1.2$ times the start, so April must undo that factor

Solución:

Después de enero a marzo, el precio es $1.2 \cdot 0.8 \cdot 1.25 = 1.2$ veces el original.

Para volver al original, abril debe multiplicar por $\dfrac{1}{1.2},$ una disminución de $1 - \dfrac{1}{1.2} = \dfrac{1}{6} \approx 16.7\%.$ Redondeando al entero más cercano, $x = 17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

After January through March the price is $1.2 \cdot 0.8 \cdot 1.25 = 1.2$ times the original.

To return to the original, April must multiply by $\dfrac{1}{1.2},$ a decrease of $1 - \dfrac{1}{1.2} = \dfrac{1}{6} \approx 16.7\%.$ To the nearest integer, $x = 17.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Cuando un cubo está lleno de agua hasta dos tercios, el cubo y el agua pesan $a$ kilogramos. Cuando el cubo está lleno hasta la mitad, el peso total es de $b$ kilogramos. En términos de $a$ y $b,$ ¿cuál es el peso total en kilogramos cuando el cubo está lleno de agua?

When a bucket is two-thirds full of water, the bucket and water weigh $a$ kilograms. When the bucket is one-half full of water the total weight is $b$ kilograms. In terms of $a$ and $b,$ what is the total weight in kilograms when the bucket is full of water?

$\dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{3}b$

$\dfrac{3}{2}a - \dfrac{1}{2}b$

$\dfrac{3}{2}a + b$

$\dfrac{3}{2}a + 2b$

$3a - 2b$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea $x$ el peso del cubo vacío y $y,$ el peso de una carga completa de agua, de modo que $x + \tfrac{2}{3}y = a$ y $x + \tfrac{1}{2}y = b$ .

Let the empty bucket weigh $x$ and a full load of water weigh $y,$ so $x + \tfrac{2}{3}y = a$ and $x + \tfrac{1}{2}y = b$

Pista grande:

Resta las dos ecuaciones para hallar $y,$ luego calcula $x + y$ .

Subtract the two equations to find $y,$ then compute $x + y$

Solución:

Sea $x$ el peso del cubo y $y$ el peso de un cubo lleno de agua. Entonces $x + \dfrac{2}{3}y = a$ y $x + \dfrac{1}{2}y = b.$

Al restar se obtiene $\dfrac{1}{6}y = a - b,$ así que $y = 6a - 6b$ y $x = b - \dfrac{1}{2}y = 4b - 3a.$ El peso lleno es $x + y = 3a - 2b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x$ be the bucket’s weight and $y$ the weight of a full bucket of water. Then $x + \dfrac{2}{3}y = a$ and $x + \dfrac{1}{2}y = b.$

Subtracting gives $\dfrac{1}{6}y = a - b,$ so $y = 6a - 6b$ and $x = b - \dfrac{1}{2}y = 4b - 3a.$ The full weight is $x + y = 3a - 2b.$

Thus, the correct answer is E.

9.

El triángulo $ABC$ tiene vértices $A = (3, 0),$ $B = (0, 3),$ y $C,$ donde $C$ está sobre la recta $x + y = 7.$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

Triangle $ABC$ has vertices $A = (3, 0),$ $B = (0, 3),$ and $C,$ where $C$ is on the line $x + y = 7.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

La recta $AB$ es $x + y = 3,$ que es paralela a $x + y = 7$ .

Line $AB$ is $x + y = 3,$ which is parallel to $x + y = 7$

Pista grande:

Como $C$ se desliza a lo largo de una recta paralela a $AB,$ el área es fija; elige un $C$ conveniente.

Since $C$ slides along a line parallel to $AB,$ the area is fixed; pick a convenient $C$

Solución:

La recta $AB$ tiene ecuación $x + y = 3,$ que es paralela a $x + y = 7,$ así que el área no depende de dónde esté $C$ sobre esa recta.

Toma $C = (7, 0).$ Entonces la base $AC = 4$ está sobre el eje $x$ , con altura $3,$ lo que da un área de $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Line $AB$ has equation $x + y = 3,$ which is parallel to $x + y = 7,$ so the area is independent of where $C$ lies on that line.

Take $C = (7, 0).$ Then the base $AC = 4$ lies on the $x$ -axis with height $3,$ giving area $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Un reloj digital particular de $12$ horas muestra la hora y el minuto del día. Desafortunadamente, cada vez que debería mostrar un $1,$ muestra por error un $9.$ Por ejemplo, cuando es la $1{:}16$ pm el reloj muestra incorrectamente $9{:}96$ pm. ¿Qué fracción del día mostrará el reloj la hora correcta?

A particular $12$ -hour digital clock displays the hour and minute of a day. Unfortunately, whenever it is supposed to display a $1,$ it mistakenly displays a $9.$ For example, when it is $1{:}16$ pm the clock incorrectly shows $9{:}96$ pm. What fraction of the day will the clock show the correct time?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{9}{10}$

Conceptos:dígitos conteo complementario fracción

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

La hora se muestra correctamente a menos que contenga un $1,$ es decir, las horas $1, 10, 11, 12$ .

The hour is shown correctly unless it contains a $1,$ namely hours $1, 10, 11, 12$

Pista grande:

Un minuto es correcto solo cuando ninguno de sus dígitos es un $1$ ; cuenta los minutos incorrectos de entre $60$ .

A minute is correct only when neither of its digits is a $1$ ; count the bad minutes out of $60$

Solución:

Las horas que contienen un $1$ son $1, 10, 11, 12,$ así que $8$ de las $12$ horas se muestran correctamente, una fracción de $\dfrac{2}{3}.$

Un minuto es incorrecto si cualquiera de sus dígitos es $1$ : el dígito de las decenas da $10\text{-}19$ ( $10$ minutos), y el dígito de las unidades añade $01, 21, 31, 41, 51$ ( $5$ más), $15$ en total. Así que $\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ de los minutos son correctos.

La fracción del día es $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The hours containing a $1$ are $1, 10, 11, 12,$ so $8$ of the $12$ hours display correctly, a fraction $\dfrac{2}{3}.$

A minute is wrong if either digit is $1$ : the tens digit gives $10\text{-}19$ ( $10$ minutes), and the ones digit adds $01, 21, 31, 41, 51$ ( $5$ more), $15$ in all. So $\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ of minutes are correct.

The fraction of the day is $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

El lunes, Millie pone en un comedero para pájaros un cuarto de galón de semillas, de las cuales el $25\%$ es mijo. Cada día siguiente añade otro cuarto de galón de la misma mezcla de semillas sin retirar las semillas que quedan. Cada día los pájaros comen solo el $25\%$ del mijo del comedero, pero se comen todas las demás semillas. ¿En qué día, justo después de que Millie haya puesto las semillas, encontrarán los pájaros que más de la mitad de las semillas del comedero es mijo?

On Monday, Millie puts a quart of seeds, $25\%$ of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only $25\%$ of the millet in the feeder, but they eat all of the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Conceptos:sucesión geométrica recursión desigualdad

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Cada mañana permanece $\tfrac{3}{4}$ del mijo anterior y se añade $\tfrac{1}{4}$ de cuarto de galón de mijo nuevo, mientras que las demás semillas siempre suman $\tfrac{3}{4}$ de cuarto de galón.

Each morning $\tfrac{3}{4}$ of the previous millet remains and $\tfrac{1}{4}$ quart of new millet is added, while the other seeds always total $\tfrac{3}{4}$ quart

Pista grande:

Después de $n$ días el mijo es $1 - \left(\tfrac{3}{4}\right)^n$ de cuarto de galón; exige que esto supere $\tfrac{3}{4}$ .

After $n$ days the millet is $1 - \left(\tfrac{3}{4}\right)^n$ quart; require this to exceed $\tfrac{3}{4}$

Solución:

Cada día los pájaros dejan $\dfrac{3}{4}$ del mijo y Millie añade $\dfrac{1}{4}$ de cuarto de galón de mijo nuevo, así que después de $n$ días el mijo es $\begin{aligned} &\dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{3}{4} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\right) \\ &= 1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{aligned}$ de cuarto de galón.

Las semillas que no son mijo siempre suman $\dfrac{3}{4}$ de cuarto de galón, así que el mijo supera la mitad cuando $1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \gt \dfrac{3}{4},$ es decir, $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \lt \dfrac{1}{4}.$

Como $\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 = \dfrac{81}{256} \gt \dfrac{1}{4}$ y $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \dfrac{243}{1024} \lt \dfrac{1}{4},$ esto ocurre por primera vez el día $5,$ que es viernes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each day the birds leave $\dfrac{3}{4}$ of the millet and Millie adds $\dfrac{1}{4}$ quart of new millet, so after $n$ days the millet is $\begin{aligned} &\dfrac{1}{4}\left(1 + \dfrac{3}{4} + \cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\right) \\ &= 1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \end{aligned}$ quart.

The non-millet seeds always total $\dfrac{3}{4}$ quart, so millet exceeds half when $1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \gt \dfrac{3}{4},$ that is, $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \lt \dfrac{1}{4}.$

Since $\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 = \dfrac{81}{256} \gt \dfrac{1}{4}$ and $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \dfrac{243}{1024} \lt \dfrac{1}{4},$ this first happens on day $5,$ which is Friday.

Thus, the correct answer is D.

12.

El quinto y el octavo término de una sucesión geométrica de números reales son $7!$ y $8!$ respectivamente. ¿Cuál es el primer término?

The fifth and eighth terms of a geometric sequence of real numbers are $7!$ and $8!$ respectively. What is the first term?

$60$

$75$

$120$

$225$

$315$

Conceptos:sucesión geométrica factorial

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La razón entre el octavo término y el quinto término es $r^3$ .

The ratio of the eighth term to the fifth term is $r^3$

Pista grande:

$\dfrac{8!}{7!} = 8 = r^3,$ así que $r = 2$ ; luego divide $7!$ entre $r^4$ .

$\dfrac{8!}{7!} = 8 = r^3,$ so $r = 2$ ; then divide $7!$ by $r^4$

Solución:

El octavo término dividido entre el quinto término es $r^3 = \dfrac{8!}{7!} = 8,$ así que $r = 2.$

El quinto término es $a r^4 = 7!,$ así que $a = \dfrac{7!}{16} = \dfrac{5040}{16} = 315.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The eighth term divided by the fifth term is $r^3 = \dfrac{8!}{7!} = 8,$ so $r = 2.$

The fifth term is $a r^4 = 7!,$ so $a = \dfrac{7!}{16} = \dfrac{5040}{16} = 315.$

Thus, the correct answer is E.

13.

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 13$ y $AC = 15,$ y la altura sobre $BC$ mide $12.$ ¿Cuál es la suma de los dos valores posibles de $BC$ ?

Triangle $ABC$ has $AB = 13$ and $AC = 15,$ and the altitude to $BC$ has length $12.$ What is the sum of the two possible values of $BC?$

$15$

$16$

$17$

$18$

$19$

Conceptos:Teorema de Pitágoras altura análisis por casos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

El pie de la altura divide $BC$ ; usa el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos.

The foot of the altitude splits $BC$ ; use the Pythagorean theorem in the two right triangles

Pista grande:

Las distancias del pie son $\sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ y $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ ; $BC$ es su suma o su diferencia.

The foot distances are $\sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ and $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ ; $BC$ is their sum or difference

Solución:

Sea $D$ el pie de la altura desde $A.$ Entonces $BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ y $DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.$

Si $D$ está entre $B$ y $C,$ entonces $BC = 5 + 9 = 14$ ; si el triángulo es obtuso, $BC = 9 - 5 = 4.$ La suma es $14 + 4 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $D$ be the foot of the altitude from $A.$ Then $BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ and $DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.$

If $D$ lies between $B$ and $C,$ then $BC = 5 + 9 = 14$ ; if the triangle is obtuse, $BC = 9 - 5 = 4.$ The sum is $14 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Cinco cuadrados unitarios están dispuestos en el plano coordenado como se muestra, con la esquina inferior izquierda en el origen. La recta inclinada, que va de $(a, 0)$ a $(3, 3),$ divide toda la región en dos regiones de igual área. ¿Cuánto vale $a$ ?

Five unit squares are arranged in the coordinate plane as shown, with the lower left corner at the origin. The slanted line, extending from $(a, 0)$ to $(3, 3),$ divides the entire region into two regions of equal area. What is $a?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas geometría analítica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

El área total es $5,$ así que cada región debe ser $\dfrac{5}{2}$ .

The total area is $5,$ so each region must be $\dfrac{5}{2}$

Pista grande:

La región del lado inferior derecho de la recta es un triángulo de base $3 - a$ y altura $3,$ menos un cuadrado unitario.

The region on the lower-right side of the line is a triangle of base $3 - a$ and height $3,$ minus one unit square

Solución:

Los cinco cuadrados tienen área total $5,$ así que cada región debe tener área $\dfrac{5}{2}.$

La recta de $(a, 0)$ a $(3, 3)$ junto con los ejes delimita un triángulo de base $3 - a$ y altura $3$ ; la región del lado inferior derecho de la recta es este triángulo al que se le quita un cuadrado unitario. Al plantear $\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}$ se obtiene $3(3 - a) = 7,$ así que $a = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five squares have total area $5,$ so each region must have area $\dfrac{5}{2}.$

The line from $(a, 0)$ to $(3, 3)$ together with the axes bounds a triangle of base $3 - a$ and height $3$ ; the region on the lower-right side of the line is this triangle with one unit square removed. Setting $\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}$ gives $3(3 - a) = 7,$ so $a = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Supón que $0 \lt r \lt 3.$ A continuación hay cinco ecuaciones para $x.$ ¿Qué ecuación tiene la mayor solución $x$ ?

Assume $0 \lt r \lt 3.$ Below are five equations for $x.$ Which equation has the largest solution $x?$

$3(1 + r)^x = 7$

$3(1 + \frac{r}{10})^x = 7$

$3(1 + 2r)^x = 7$

$3(1 + \sqrt{r})^x = 7$

$3(1 + \frac{1}{r})^x = 7$

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Al resolver cada una se obtiene $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ; una base menor hace $x$ más grande.

Solving each gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ; a smaller base makes $x$ larger

Pista grande:

Compara los valores $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ para $0 \lt r \lt 3$ y halla el menor.

Compare the values $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ for $0 \lt r \lt 3$ and find the smallest

Solución:

Cada ecuación da $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},$ que es mayor cuando la cantidad positiva $f(r)$ es menor.

Para $0 \lt r \lt 3,$ tenemos $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ y $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ porque $r\lt100.$ Además, $r^2\lt9\lt10,$ así que $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Por tanto, $\frac{r}{10}$ es la menor de las cinco cantidades, y la ecuación (B) tiene la mayor solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each equation gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},$ which is largest when the positive quantity $f(r)$ is smallest.

For $0 \lt r \lt 3,$ we have $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ and $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ because $r\lt100.$ Also $r^2\lt9\lt10,$ so $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Thus $\frac{r}{10}$ is the smallest of the five quantities, and equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.

16.

El trapecio $ABCD$ tiene $AD \parallel BC,$ $BD = 1,$ $\angle DBA = 23^\circ,$ y $\angle BDC = 46^\circ.$ La razón $BC : AD$ es $9 : 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $AD \parallel BC,$ $BD = 1,$ $\angle DBA = 23^\circ,$ and $\angle BDC = 46^\circ.$ The ratio $BC : AD$ is $9 : 5.$ What is $CD?$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{13}{15}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{14}{15}$

Conceptos:teorema de la bisectriz trapecio rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Traza la recta que pasa por $D$ paralela a $AB,$ que corta a $BC$ en $E$ ; entonces $BE = AD$ .

Draw the line through $D$ parallel to $AB,$ meeting $BC$ at $E$ ; then $BE = AD$

Pista grande:

Demuestra que $DE$ biseca $\angle BDC,$ luego aplica el teorema de la bisectriz en $\triangle BDC$ .

Show $DE$ bisects $\angle BDC,$ then apply the angle bisector theorem in $\triangle BDC$

Solución:

Traza la recta que pasa por $D$ paralela a $AB,$ que corta a $BC$ en $E,$ de modo que $ABED$ es un paralelogramo con $BE = AD.$ Entonces $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ,$ y como $\angle BDC = 46^\circ,$ el segmento $DE$ biseca $\angle BDC.$

Por el teorema de la bisectriz en $\triangle BDC,$ $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB},$ así que $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw the line through $D$ parallel to $AB,$ meeting $BC$ at $E,$ so $ABED$ is a parallelogram with $BE = AD.$ Then $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ,$ and since $\angle BDC = 46^\circ,$ segment $DE$ bisects $\angle BDC.$

By the angle bisector theorem in $\triangle BDC,$ $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB},$ so $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

17.

A cada cara de un cubo se le pinta una única franja estrecha desde el centro de una arista hasta el centro de la arista opuesta. La elección del par de aristas se hace al azar e independientemente para cada cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una franja continua que rodee el cubo?

Each face of a cube is given a single narrow stripe painted from the center of one edge to the center of its opposite edge. The choice of the edge pairing is made at random and independently for each face. What is the probability that there is a continuous stripe encircling the cube?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

La franja de cada cara tiene $2$ orientaciones, lo que da $2^6 = 64$ configuraciones igualmente probables.

Each face’s stripe has $2$ orientations, giving $2^6 = 64$ equally likely configurations

Pista grande:

Una franja que rodea el cubo recorre uno de $3$ pares de caras opuestas; cuenta las configuraciones que forman un lazo.

An encircling stripe runs around one of $3$ pairs of opposite faces; count the configurations forming a loop

Solución:

Cada una de las $6$ caras tiene $2$ orientaciones de franja igualmente probables, lo que da $2^6 = 64$ configuraciones.

Una franja que rodea el cubo recorre uno de los $3$ pares de caras opuestas. Al fijar tal banda, las cuatro caras por las que pasa deben estar alineadas, con probabilidad $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16},$ mientras que las dos caras restantes son libres. Las $3$ bandas posibles son eventos disjuntos, así que la probabilidad es $3 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of the $6$ faces has $2$ equally likely stripe orientations, for $2^6 = 64$ configurations.

An encircling stripe runs around one of the $3$ pairs of opposite faces. Fixing such a band, the four faces it passes through must be aligned, with probability $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16},$ while the two remaining faces are free. The $3$ possible bands are disjoint events, so the probability is $3 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Rachel y Robert corren en una pista circular. Rachel corre en sentido antihorario y completa una vuelta cada $90$ segundos, y Robert corre en sentido horario y completa una vuelta cada $80$ segundos. Ambos parten de la línea de salida al mismo tiempo. En algún instante aleatorio entre los $10$ minutos y los $11$ minutos después de comenzar a correr, un fotógrafo que está dentro de la pista toma una foto que muestra un cuarto de la pista, centrada en la línea de salida. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachel y Robert estén ambos en la foto?

Rachel and Robert run on a circular track. Rachel runs counterclockwise and completes a lap every $90$ seconds, and Robert runs clockwise and completes a lap every $80$ seconds. Both start from the start line at the same time. At some random time between $10$ minutes and $11$ minutes after they begin to run, a photographer standing inside the track takes a picture that shows one-fourth of the track, centered on the starting line. What is the probability that both Rachel and Robert are in the picture?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

Conceptos:probabilidad geométrica distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

La foto abarca $\tfrac{1}{8}$ de vuelta a cada lado de la salida; halla cuándo cada corredor está dentro de ese arco durante el minuto $10$ .

The picture spans $\tfrac{1}{8}$ lap on each side of the start; find when each runner is within that arc during the $10$ th minute

Pista grande:

Rachel está a la vista durante $18.75\text{-}41.25$ s y Robert durante $30\text{-}50$ s; toma el solapamiento sobre $60$ s.

Rachel is in view for $18.75\text{-}41.25$ s and Robert for $30\text{-}50$ s; take the overlap over $60$ s

Solución:

La foto cubre el arco que dista a lo sumo $\dfrac{1}{8}$ de vuelta de la salida a cada lado. En $600$ s Rachel ha corrido $6\tfrac{2}{3}$ vueltas, a $30$ s de la línea; un cuarto de vuelta le toma $22.5$ s, así que está a la vista entre $30 - 11.25 = 18.75$ s y $30 + 11.25 = 41.25$ s del minuto $10$ .

En $600$ s Robert está a $40$ s de la línea; un cuarto de vuelta toma $20$ s, así que está a la vista entre $30$ y $50$ s. Ambos aparecen entre $30$ y $41.25$ s, una ventana de $11.25$ s de entre $60,$ lo que da una probabilidad de $\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The picture covers the arc within $\dfrac{1}{8}$ lap of the start on each side. At $600$ s Rachel has run $6\tfrac{2}{3}$ laps, $30$ s short of the line; a quarter lap takes her $22.5$ s, so she is in view between $30 - 11.25 = 18.75$ s and $30 + 11.25 = 41.25$ s of the $10$ th minute.

At $600$ s Robert is $40$ s from the line; a quarter lap takes $20$ s, so he is in view between $30$ and $50$ s. Both appear between $30$ and $41.25$ s, a window of $11.25$ s out of $60,$ giving probability $\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores de $f(n)$ que son números primos?

For each positive integer $n,$ let $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.$ What is the sum of all values of $f(n)$ that are prime numbers?

$794$

$796$

$798$

$800$

$802$

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización primo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Reescríbelo como una diferencia de cuadrados: $n^4 - 360n^2 + 400$ $= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2$ .

Rewrite as a difference of squares: $n^4 - 360n^2 + 400$ $= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2$

Pista grande:

Factorízalo; para que el producto sea primo, el factor menor debe ser igual a $1$ .

Factor it; for the product to be prime, the smaller factor must equal $1$

Solución:

Escribe $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

Para que $f(n)$ sea primo, el factor menor debe ser $1$ : al resolver $n^2 - 20n + 20 = 1$ se obtiene $(n - 1)(n - 19) = 0,$ así que $n = 1$ o $n = 19.$

Entonces $f(1) = 41$ y $f(19) = 761$ son ambos primos, y suman $802.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

For $f(n)$ to be prime the smaller factor must be $1$ : solving $n^2 - 20n + 20 = 1$ gives $(n - 1)(n - 19) = 0,$ so $n = 1$ or $n = 19.$

Then $f(1) = 41$ and $f(19) = 761$ are both prime, summing to $802.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Un poliedro convexo $Q$ tiene vértices $V_1,$ $V_2,$ $\ldots,$ $V_n,$ y $100$ aristas. El poliedro se corta mediante planos $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_n$ de modo que el plano $P_k$ corta únicamente las aristas que concurren en el vértice $V_k.$ Además, ningún par de planos se corta dentro o sobre $Q.$ Los cortes producen $n$ pirámides y un nuevo poliedro $R.$ ¿Cuántas aristas tiene $R$ ?

A convex polyhedron $Q$ has vertices $V_1,$ $V_2,$ $\ldots,$ $V_n,$ and $100$ edges. The polyhedron is cut by planes $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_n$ in such a way that plane $P_k$ cuts only those edges that meet at vertex $V_k.$ In addition, no two planes intersect inside or on $Q.$ The cuts produce $n$ pyramids and a new polyhedron $R.$ How many edges does $R$ have?

$200$

$2n$

$300$

$400$

$4n$

Conceptos:poliedro doble conteo

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Cada arista original se corta una vez cerca de cada uno de sus dos extremos, creando nuevos vértices.

Each original edge is cut once near each of its two endpoints, creating new vertices

Pista grande:

Cuenta las nuevas aristas (una por cada extremo de arista) más la porción central que sobrevive de cada arista original.

Count the new edges (one per edge-endpoint) plus the surviving middle portion of each original edge

Solución:

Cada una de las $100$ aristas se corta una vez cerca de cada extremo, así que $R$ tiene $2 \cdot 100 = 200$ vértices.

El corte en el vértice $V_k$ crea un pequeño polígono cuyo número de aristas es igual al grado de $V_k$ ; sumado sobre todos los vértices esto da $200,$ el número total de extremos de aristas. La porción central de cada arista original también sobrevive, y añade $100$ aristas. Así que $R$ tiene $200 + 100 = 300$ aristas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of the $100$ edges is cut once near each endpoint, so $R$ has $2 \cdot 100 = 200$ vertices.

The cut at vertex $V_k$ creates a small polygon whose number of edges equals the degree of $V_k$ ; summed over all vertices this is $200,$ the total number of edge-endpoints. The middle portion of each original edge also survives, adding $100$ edges. So $R$ has $200 + 100 = 300$ edges.

Thus, the correct answer is C.

21.

Diez mujeres se sientan en $10$ asientos en fila. Las $10$ se levantan y luego se vuelven a sentar usando los $10$ asientos, cada una en el asiento en el que estaba antes o en un asiento contiguo al que ocupaba antes. ¿De cuántas maneras pueden volver a sentarse las mujeres?

Ten women sit in $10$ seats in a line. All of the $10$ get up and then reseat themselves using all $10$ seats, each sitting in the seat she was in before or a seat next to the one she occupied before. In how many ways can the women be reseated?

$89$

$90$

$120$

$210$

$2^{38}$

Conceptos:recursión Fibonacci

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Sea $S_n$ el número de reacomodos válidos de $n$ mujeres; considera la elección de la mujer más a la derecha.

Let $S_n$ count the valid reseatings of $n$ women; consider the rightmost woman’s choice

Pista grande:

Si se queda, deja $S_{n-1}$ maneras; si se mueve a la izquierda se fuerza un intercambio, y quedan $S_{n-2}$ maneras, así que $S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$ .

If she stays she leaves $S_{n-1}$ ways; if she moves left a swap is forced, leaving $S_{n-2}$ — so $S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$

Solución:

Sea $S_n$ el número de reacomodos válidos de $n$ mujeres. La mujer más a la derecha o bien conserva su asiento, dejando $S_{n-1}$ maneras para las demás, o bien intercambia con su vecina de la izquierda, la única otra forma de ocupar el asiento del extremo, dejando $S_{n-2}$ maneras.

Así $S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$ con $S_1 = 1$ y $S_2 = 2,$ lo que da los valores de Fibonacci $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.$ Por lo tanto $S_{10} = 89.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $S_n$ be the number of valid reseatings of $n$ women. The rightmost woman either keeps her seat, leaving $S_{n-1}$ ways for the rest, or swaps with her left neighbor — the only other way to fill the end seat — leaving $S_{n-2}$ ways.

Thus $S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$ with $S_1 = 1$ and $S_2 = 2,$ giving the Fibonacci values $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.$ So $S_{10} = 89.$

Thus, the correct answer is A.

22.

El paralelogramo $ABCD$ tiene área $1{,}000{,}000.$ El vértice $A$ está en $(0, 0)$ y todos los demás vértices están en el primer cuadrante. Los vértices $B$ y $D$ son puntos de red sobre las rectas $y = x$ y $y = kx$ para algún entero $k \gt 1,$ respectivamente. ¿Cuántos paralelogramos de este tipo hay?

Parallelogram $ABCD$ has area $1{,}000{,}000.$ Vertex $A$ is at $(0, 0)$ and all other vertices are in the first quadrant. Vertices $B$ and $D$ are lattice points on the lines $y = x$ and $y = kx$ for some integer $k \gt 1,$ respectively. How many such parallelograms are there?

$49$

$720$

$784$

$2009$

$2048$

Conceptos:punto reticular estrellas y barras factorización en primos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Con $B = (b, b)$ y $D = (d, kd),$ el área del paralelogramo es $(k - 1)bd$ .

With $B = (b, b)$ and $D = (d, kd),$ the area of the parallelogram is $(k - 1)bd$

Pista grande:

Necesitas $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ; cuenta las factorizaciones ordenadas en tres enteros positivos.

You need $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ; count ordered factorizations into three positive integers

Solución:

Sea $B = (b, b)$ y $D = (d, kd)$ con $b, d, k$ enteros positivos y $k \gt 1.$ El área es $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.$

Cada paralelogramo corresponde a una terna ordenada $(k - 1, b, d)$ de enteros positivos con producto $2^6 \cdot 5^6.$ Los seis $2$ se reparten entre los tres factores de $\binom{6 + 2}{2} = 28$ maneras, y del mismo modo los seis $5$ de $28$ maneras, lo que da $28^2 = 784.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $B = (b, b)$ and $D = (d, kd)$ with $b, d, k$ positive integers and $k \gt 1.$ The area is $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.$

Each parallelogram corresponds to an ordered triple $(k - 1, b, d)$ of positive integers with product $2^6 \cdot 5^6.$ The six $2$ ’s distribute among the three factors in $\binom{6 + 2}{2} = 28$ ways, and likewise the six $5$ ’s in $28$ ways, giving $28^2 = 784.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Una región $S$ en el plano complejo se define por $\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.$

Un número complejo $z = x + iy$ se elige de manera uniforme al azar de $S.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z$ también esté en $S$ ?

A region $S$ in the complex plane is defined by $\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.$

A complex number $z = x + iy$ is chosen uniformly at random from $S.$ What is the probability that $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z$ is also in $S?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{8}$

Conceptos:número complejo probabilidad geométrica área

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Al multiplicar se obtiene parte real $\tfrac{3}{4}(x - y)$ y parte imaginaria $\tfrac{3}{4}(x + y)$ ; ambas deben estar en $[-1, 1]$ .

Multiplying gives real part $\tfrac{3}{4}(x - y)$ and imaginary part $\tfrac{3}{4}(x + y)$ ; both must lie in $[-1, 1]$

Pista grande:

Estas condiciones son $|x - y| \le \tfrac{4}{3}$ y $|x + y| \le \tfrac{4}{3}$ ; halla el área de $S$ que las satisface.

These conditions are $|x - y| \le \tfrac{4}{3}$ and $|x + y| \le \tfrac{4}{3}$ ; find the area of $S$ satisfying them

Solución:

Al desarrollar, $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)$ $= \dfrac{3}{4}(x - y)$ $+ \dfrac{3}{4}(x + y)i.$ Ambas partes están en $[-1, 1]$ si y solo si $|x - y| \le \dfrac{4}{3}$ y $|x + y| \le \dfrac{4}{3}.$

Dentro del cuadrado $S$ (área $4$ ) estas fallan solo en cuatro triángulos de las esquinas. Cerca de $(1, 1),$ la recta $x + y = \dfrac{4}{3}$ recorta un triángulo rectángulo de catetos $\dfrac{2}{3},$ con área $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.$

Las cuatro esquinas quitan $4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9},$ dejando $4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}.$ La probabilidad es $\dfrac{\frac{28}{9}}{4} = \dfrac{7}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding, $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)$ $= \dfrac{3}{4}(x - y)$ $+ \dfrac{3}{4}(x + y)i.$ Both parts lie in $[-1, 1]$ iff $|x - y| \le \dfrac{4}{3}$ and $|x + y| \le \dfrac{4}{3}.$

Within the square $S$ (area $4$ ) these fail only in four corner triangles. Near $(1, 1),$ the line $x + y = \dfrac{4}{3}$ cuts off a right triangle with legs $\dfrac{2}{3},$ area $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.$

The four corners remove $4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9},$ leaving $4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}.$ The probability is $\dfrac{\frac{28}{9}}{4} = \dfrac{7}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

24.

¿Para cuántos valores de $x$ en $[0, \pi]$ se cumple $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)$ ?

Nota: Las funciones $\sin^{-1} = \arcsin$ y $\cos^{-1} = \arccos$ denotan funciones trigonométricas inversas.

For how many values of $x$ in $[0, \pi]$ is $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?$

Note: The functions $\sin^{-1} = \arcsin$ and $\cos^{-1} = \arccos$ denote inverse trigonometric functions.

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:trigonometría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

En $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x,$ y el lado izquierdo está en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ así que toda solución requiere $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]$ .

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x,$ and the left side lies in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ so any solution needs $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]$

Pista grande:

Como $\sin$ es inyectiva en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ la ecuación se reduce a $\sin 6x = \sin x$ en $[0, \tfrac{\pi}{2}]$ .

Since $\sin$ is one-to-one on $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ the equation reduces to $\sin 6x = \sin x$ on $[0, \tfrac{\pi}{2}]$

Solución:

En $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Como $\sin^{-1}$ toma valores en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ toda solución requiere $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ donde la ecuación se convierte en $\sin 6x = \sin x.$

La ecuación $\sin6x=\sin x$ se cumple exactamente cuando $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{o}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ para algún entero $k.$

La primera familia da $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ aportando $0$ y $\tfrac{2\pi}{5}.$ La segunda da $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ aportando $\tfrac\pi7$ y $\tfrac{3\pi}{7}.$ Por tanto, hay $4$ soluciones en $[0,\tfrac\pi2].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Since $\sin^{-1}$ takes values in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ any solution requires $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ where the equation becomes $\sin 6x = \sin x.$

The equation $\sin6x=\sin x$ holds exactly when $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ for some integer $k.$

The first family gives $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ contributing $0$ and $\tfrac{2\pi}{5}.$ The second gives $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ contributing $\tfrac\pi7$ and $\tfrac{3\pi}{7}.$ Hence there are $4$ solutions in $[0,\tfrac\pi2].$

Thus, the correct answer is B.

25.

El conjunto $G$ está definido por los puntos $(x, y)$ de coordenadas enteras con $3 \le |x| \le 7,$ y $3 \le |y| \le 7.$ ¿Cuántos cuadrados de lado al menos $6$ tienen sus cuatro vértices en $G$ ?

The set $G$ is defined by the points $(x, y)$ with integer coordinates, $3 \le |x| \le 7,$ and $3 \le |y| \le 7.$ How many squares of side at least $6$ have their four vertices in $G?$

$125$

$150$

$175$

$200$

$225$

Conceptos:punto reticular biyección conteo de figuras en diagramas

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

$G$ se divide en cuatro bloques $5 \times 5$ , uno por cuadrante; un cuadrado de lado $\ge 6$ toma exactamente un vértice de cada bloque.

$G$ splits into four $5 \times 5$ blocks, one per quadrant; a side- $\ge 6$ square takes exactly one vertex from each block

Pista grande:

Desliza los cuatro bloques juntándolos en una sola cuadrícula $5 \times 5$ $G';$ cada cuadrado válido se corresponde con un punto de $G'$ o con un cuadrado en $G'$ .

Slide the four blocks together onto a single $5 \times 5$ grid $G';$ each valid square maps to a point of $G'$ or a square in $G'$

Solución:

El conjunto $G$ consta de cuatro bloques $5 \times 5$ , $G_1, \ldots, G_4,$ uno en cada cuadrante. Todo cuadrado de lado $\ge 6$ usa exactamente un vértice de cada bloque, pues dos puntos de un mismo bloque están a menos de $6$ unidades, mientras que los puntos de bloques distintos están separados por al menos $6$ unidades.

Al trasladar cada bloque hacia el origen mediante $(\pm 5, \pm 5)$ , los cuatro se superponen en una cuadrícula $5 \times 5$ , $G'$ , formada por los puntos con $|x|, |y| \le 2$ . Cada uno de los cuadrados buscados se transforma en un solo punto de $G'$ o en un cuadrado de $G'.$ Por tanto, el número buscado es el número de puntos de $G'$ más $4$ veces el número de cuadrados con vértices en $G'.$

La cuadrícula contiene $4^2+3^2+2^2+1^2=30$ cuadrados con lados paralelos a los ejes. Para un cuadrado inclinado, supongamos que uno de sus lados avanza $a$ unidades horizontalmente y $b$ unidades verticalmente, donde $a,b\gt0$ y $a+b\le4.$ Para cada par ordenado $(a,b),$ hay $(5-a-b)^2$ posiciones. Los totales para $a+b=2,3,4$ son $9,8,3,$ respectivamente, lo que da $20$ cuadrados inclinados y $50$ cuadrados en total. Por consiguiente, la cantidad pedida es $25+4\cdot50=225.$

Así, la respuesta correcta es E.

$G$ consists of four $5 \times 5$ blocks $G_1, \ldots, G_4,$ one in each quadrant. Any square of side $\ge 6$ uses exactly one vertex in each block, since two points in one block are less than $6$ apart while points in different blocks are at least $6$ apart.

Sliding each block inward by $(\pm 5, \pm 5)$ superimposes them on one $5 \times 5$ grid $G'$ (points with $|x|, |y| \le 2$ ). Each such square maps to either a single point of $G'$ or a square in $G'.$ So the count equals the number of points of $G'$ plus $4$ times the number of squares with vertices in $G'.$

The grid has $4^2+3^2+2^2+1^2=30$ axis-parallel squares. For a tilted square, let one side move $a$ units horizontally and $b$ units vertically, where $a,b\gt0$ and $a+b\le4.$ For each ordered pair $(a,b),$ there are $(5-a-b)^2$ placements. The totals for $a+b=2,3,4$ are $9,8,3,$ respectively, giving $20$ tilted squares and $50$ squares altogether. Therefore the required count is $25+4\cdot50=225.$

Thus, the correct answer is E.