Question

Cada una de $2010$ cajas en fila contiene una única canica roja, y para $1 \le k \le 2010,$ la caja en la posición $k$ contiene además $k$ canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y extrae sucesivamente una única canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea $P(n)$ la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente $n$ canicas. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}$ ?

Each of $2010$ boxes in a line contains a single red marble, and for $1 \le k \le 2010,$ the box in the $k$ th position also contains $k$ white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let $P(n)$ be the probability that Isabella stops after drawing exactly $n$ marbles. What is the smallest value of $n$ for which $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?$

$45$

$63$

$64$

$201$

$1005$

Respuesta: A

Conceptos:telescópica probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Las primeras $n-1$ extracciones deben ser blancas, y luego la extracción $n$ roja.

The first $n-1$ draws must be white, then the $n$ th draw red

Pista grande:

Las probabilidades de blanco se telescopan: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$ .

The white probabilities telescope: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$

Solución:

Como hay $k + 1$ canicas en la caja $k$ , Isabella tiene probabilidad $\dfrac{k}{k + 1}$ de extraer una canica blanca.

La probabilidad de extraer una roja es $\dfrac{1}{k + 1}.$ Para detenerse después de la canica $n$ , las primeras $n - 1$ deben haber sido blancas.

Esto ocurre con probabilidad $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, por lo que la expresión se reduce a $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

Debemos hallar el menor $n$ tal que $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Como $44\cdot45=1980\lt2010$ , pero $45\cdot46=2070\gt2010,$ el menor $n$ es $45.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are $k + 1$ marbles in the $k$ th box, there is a $\dfrac{k}{k + 1}$ chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then $\dfrac{1}{k + 1}.$ To stop after drawing the $n$ th marble, the first $n - 1$ marbles must have been white.

This happens with a probability of $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

We have to find the smallest $n$ such that $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Since $44\cdot45=1980\lt2010$ but $45\cdot46=2070\gt2010,$ the smallest such $n$ is $45.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años