Soluciones del 2010 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $(20-(2010-201))$ $+(2010-(201-20))$ ?

What is $(20-(2010-201))$ $+(2010-(201-20))?$

$-4020$

$0$

$40$

$401$

$4020$

Conceptos:operaciones con números enteros orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Distribuye los signos negativos y busca términos que se cancelen.

Distribute the negative signs and look for terms that cancel

Pista grande:

Después de que se cancelan los términos $2010$ y $201$ , solo quedan los dos $20$ .

After the $2010$ and $201$ terms cancel, only the two $20$ s remain

Solución:

Al distribuir los signos negativos se obtiene $\begin{aligned} &(20-2010+201) \\ &\quad {}+(2010-201+20)=40. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Distributing the negative signs gives $\begin{aligned} &(20-2010+201) \\ &\quad {}+(2010-201+20)=40. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2.

Un transbordador lleva turistas a una isla cada hora, comenzando a las $10$ de la mañana hasta su último viaje, que sale a las $3$ de la tarde. Un día el capitán del barco nota que en el viaje de las $10$ de la mañana había $100$ turistas en el transbordador, y que en cada viaje sucesivo el número de turistas era $1$ menos que en el viaje anterior. ¿Cuántos turistas llevó el transbordador a la isla ese día?

A ferry boat shuttles tourists to an island every hour starting at $10$ am until its last trip, which starts at $3$ pm. One day the boat captain notes that on the $10$ am trip there were $100$ tourists on the ferry boat, and that on each successive trip, the number of tourists was $1$ fewer than on the previous trip. How many tourists did the ferry take to the island that day?

$585$

$594$

$672$

$679$

$694$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 970

Pista pequeña:

Cuenta cuántos viajes hay desde las $10$ de la mañana hasta las $3$ de la tarde.

Count how many trips run from $10$ am through $3$ pm

Pista grande:

Los conteos de viajes son $100,99,\ldots,95;$ súmalos.

The trip counts are $100,99,\ldots,95;$ add them

Solución:

El transbordador hace $6$ viajes: a las $10,$ $11,$ $12,$ $1,$ $2,$ y $3.$

Los números de turistas son $100,99,98,97,96,95,$ así que el total es $\begin{gathered} 6\cdot100-(1+2+3+4+5) \\ =600-15 \\ =585. \end{gathered}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The ferry makes $6$ trips: at $10,$ $11,$ $12,$ $1,$ $2,$ and $3.$

The numbers of tourists are $100,99,98,97,96,95,$ so the total is $\begin{gathered} 6\cdot100-(1+2+3+4+5) \\ =600-15 \\ =585. \end{gathered}$

Thus, A is the correct answer.

3.

El rectángulo $ABCD,$ mostrado abajo, comparte $50\%$ de su área con el cuadrado $EFGH.$ El cuadrado $EFGH$ comparte $20\%$ de su área con el rectángulo $ABCD.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{AB}{AD}$ ?

Rectangle $ABCD,$ pictured below, shares $50\%$ of its area with square $EFGH.$ Square $EFGH$ shares $20\%$ of its area with rectangle $ABCD.$ What is $\dfrac{AB}{AD}?$

$4$

$5$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:razón de áreas porcentaje

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado; el traslape sombreado tiene ancho $s$ y altura $AD$ .

Let $s$ be the side length of the square; the shaded overlap has width $s$ and height $AD$

Pista grande:

La mitad del área del rectángulo es igual al traslape, lo que da $AB=2s;$ un quinto del área del cuadrado da $AD=\tfrac{s}{5}$ .

Half the rectangle’s area equals the overlap, giving $AB=2s;$ one fifth of the square’s area gives $AD=\tfrac{s}{5}$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado $EFGH.$ El traslape sombreado tiene ancho $s$ y altura $AD,$ así que su área es $s\cdot AD.$

Como el traslape es el $50\%$ del rectángulo, $s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,$ así que $AB=2s.$ Como es el $20\%$ del cuadrado, $s\cdot AD=\tfrac15 s^2,$ así que $AD=\tfrac{s}{5}.$

Por lo tanto $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $s$ be the side length of square $EFGH.$ The shaded overlap has width $s$ and height $AD,$ so its area is $s\cdot AD.$

Because the overlap is $50\%$ of the rectangle, $s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,$ so $AB=2s.$ Because it is $20\%$ of the square, $s\cdot AD=\tfrac15 s^2,$ so $AD=\tfrac{s}{5}.$

Therefore $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.$

Thus, E is the correct answer.

4.

Si $x\lt0,$ ¿cuál de las siguientes opciones debe ser positiva?

If $x\lt0,$ then which of the following must be positive?

$\dfrac{x}{|x|}$

$-x^2$

$-2^x$

$-x^{-1}$

$\sqrt[3]{x}$

Conceptos:desigualdad exponente valor absoluto

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Prueba cada opción con un valor negativo como $x=-1$ .

Test each choice with a negative value such as $x=-1$

Pista grande:

Reescribe $-x^{-1}$ como $-\dfrac1x;$ el recíproco de un número negativo es negativo, así que su opuesto es positivo.

Rewrite $-x^{-1}$ as $-\dfrac1x;$ dividing into a negative number flips the sign

Solución:

La opción (D) es $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ Cuando $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ así que $-\dfrac1x\gt0.$

Al probar $x=-1$ se ve que las otras opciones no tienen por qué ser positivas: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ y $\sqrt[3]{x}=-1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Choice (D) is $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ When $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ so $-\dfrac1x\gt0.$

Testing $x=-1$ shows the other choices need not be positive: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ and $\sqrt[3]{x}=-1.$

Thus, D is the correct answer.

5.

A la mitad de un torneo de tiro con arco de $100$ tiros, Chelsea lleva una ventaja de $50$ puntos. En cada tiro, dar en el blanco vale $10$ puntos, y las otras puntuaciones posibles son $8,$ $4,$ $2,$ y $0$ puntos. Chelsea siempre obtiene al menos $4$ puntos en cada tiro. Si los siguientes $n$ tiros de Chelsea dan en el blanco, tendrá la victoria asegurada. ¿Cuál es el valor mínimo de $n$ ?

Halfway through a $100$ -shot archery tournament, Chelsea leads by $50$ points. For each shot a bullseye scores $10$ points, with other possible scores being $8,$ $4,$ $2,$ and $0$ points. Chelsea always scores at least $4$ points on each shot. If Chelsea’s next $n$ shots are bullseyes she will be guaranteed victory. What is the minimum value for $n?$

$38$

$40$

$42$

$44$

$46$

Conceptos:desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

El oponente de Chelsea puede obtener a lo sumo $10$ puntos en cada uno de los $50$ tiros restantes.

Chelsea’s opponent can score at most $10$ points on each of the remaining $50$ shots

Pista grande:

Con $n$ blancos y al menos $4$ puntos en los otros $50-n$ tiros, se necesita $10n+4(50-n)\gt 500-50$ .

With $n$ bullseyes and at least $4$ points on the other $50-n$ shots, require $10n+4(50-n)\gt 500-50$

Solución:

El oponente puede obtener a lo sumo $50\cdot10=500$ en los últimos $50$ tiros. Como Chelsea lleva una ventaja de $50,$ debe obtener más de $500-50=450$ puntos en sus tiros restantes para asegurar la victoria.

Sus $n$ blancos dan $10n$ puntos, y sus otros $50-n$ tiros dan al menos $4(50-n)$ puntos, así que $10n+4(50-n)\gt450.$ Esto se simplifica a $6n\gt250,$ es decir $n\gt41\tfrac23.$

Por lo tanto, Chelsea necesita al menos $42$ blancos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The opponent can score at most $50\cdot10=500$ on the last $50$ shots. Since Chelsea leads by $50,$ she must score more than $500-50=450$ points on her remaining shots to guarantee victory.

Her $n$ bullseyes give $10n$ points, and her other $50-n$ shots give at least $4(50-n)$ points, so $10n+4(50-n)\gt450.$ This simplifies to $6n\gt250,$ i.e. $n\gt41\tfrac23.$

Therefore Chelsea needs at least $42$ bullseyes.

Thus, C is the correct answer.

6.

Un palíndromo, como $83438,$ es un número que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. Los números $x$ y $x + 32$ son palíndromos de tres y cuatro dígitos, respectivamente. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $x$ ?

A palindrome, such as $83438,$ is a number that remains the same when its digits are reversed. The numbers $x$ and $x + 32$ are three-digit and four-digit palindromes, respectively. What is the sum of the digits of $x?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:palíndromo dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Acota el palíndromo de cuatro dígitos entre $1000$ y $1031$ .

Bound the four-digit palindrome between $1000$ and $1031$

Pista grande:

Encuentra el único palíndromo en ese intervalo, luego resta $32$ .

Find the only palindrome in that interval, then subtract $32$

Solución:

Nota que $x$ es a lo sumo $999.$ Esto significa que $x + 32$ tiene un máximo de $1031.$

De manera similar, el valor mínimo de $x + 32$ es $1000.$

El único palíndromo en este rango es $1001,$ así que a esto equivale $x + 32$ .

Entonces $x=1001-32=969,$ cuya suma de dígitos es $9+6+9=24.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $x$ is at most $999.$ This means that $x + 32$ has a maximum of $1031.$

Similarly, we have that the minimum value of $x + 32$ is $1000.$

The only palindrome in this range is $1001,$ so this is what $x + 32$ equals.

Thus $x=1001-32=969,$ whose digit sum is $9+6+9=24.$

Thus, E is the correct answer.

7.

Logan está construyendo un modelo a escala de su ciudad. La torre de agua de la ciudad mide $40$ metros de altura, y la parte superior es una esfera que contiene $100{,}000$ litros de agua. La torre de agua en miniatura de Logan contiene $0.1$ litros. ¿Qué altura, en metros, debe tener la torre de Logan?

Logan is constructing a scaled model of his town. The city’s water tower stands $40$ meters high, and the top portion is a sphere that holds $100{,}000$ liters of water. Logan’s miniature water tower holds $0.1$ liters. How tall, in meters, should Logan make his tower?

$0.04$

$\dfrac{0.4}{\pi}$

$0.4$

$\dfrac{4}{\pi}$

$4$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen volumen

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La escala de volumen es el cubo de la escala de longitud.

Volume scale is the cube of length scale

Pista grande:

Compara $0.1$ litros con $100000$ litros, luego toma la raíz cúbica.

Compare $0.1$ liters to $100000$ liters, then take a cube root

Solución:

La razón entre el volumen del modelo y el original es $\dfrac{0.1}{100{,}000}=\dfrac{1}{1{,}000{,}000}.$ Las longitudes se escalan por la raíz cúbica, así que la razón de alturas es $\dfrac1{100}.$ Por tanto, el modelo debe medir $\dfrac{40}{100}=0.4$ metros de altura.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The model-to-original volume ratio is $\dfrac{0.1}{100{,}000}=\dfrac{1}{1{,}000{,}000}.$ Lengths scale by the cube root, so the model-to-original height ratio is $\dfrac1{100}.$ Therefore the model should be $\dfrac{40}{100}=0.4$ meters tall.

Thus, C is the correct answer.

8.

El triángulo $ABC$ cumple $AB=2 \cdot AC.$ Sean $D$ y $E$ puntos sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ respectivamente, tales que $\angle BAE = \angle ACD.$ Sea $F$ la intersección de los segmentos $AE$ y $CD,$ y supongamos que $\triangle CFE$ es equilátero. ¿Cuánto vale $\angle ACB$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=2 \cdot AC.$ Let $D$ and $E$ be on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, such that $\angle BAE = \angle ACD.$ Let $F$ be the intersection of segments $AE$ and $CD,$ and suppose that $\triangle CFE$ is equilateral. What is $\angle ACB?$

$60^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

$105^\circ$

$120^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea $\angle BAE=\angle ACD=x$ .

Let $\angle BAE=\angle ACD=x$

Pista grande:

Usa $\triangle CFE$ para hallar $\angle AFC,$ luego persigue ángulos para $\angle BAC$ .

Use $\triangle CFE$ to find $\angle AFC,$ then angle-chase $\angle BAC$

Solución:

Sea $\angle BAE=\angle ACD=x.$ Como $\triangle CFE$ es equilátero, $\angle CFE=60^\circ.$ Los rayos $FA$ y $FE$ son opuestos, así que $\angle AFC=120^\circ.$

En $\triangle AFC,$ obtenemos $\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x$ $=60^\circ-x.$ Como $F$ está en $AE,$ este ángulo es $\angle EAC.$ Entonces $\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.$

Sea $AC=s,$ de modo que $AB=2s.$ La ley de cosenos da $\begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned}$ Así, los lados están en razón $1:\sqrt3:2,$ con $AB$ como hipotenusa, por lo que $\angle ACB=90^\circ.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $\angle BAE=\angle ACD=x.$ Because $\triangle CFE$ is equilateral, $\angle CFE=60^\circ.$ Rays $FA$ and $FE$ are opposite, so $\angle AFC=120^\circ.$

In $\triangle AFC,$ we get $\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x$ $=60^\circ-x.$ Since $F$ lies on $AE,$ this is $\angle EAC.$ Hence $\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.$

Put $AC=s,$ so $AB=2s.$ The Law of Cosines gives $\begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned}$ Thus the side lengths are in the ratio $1:\sqrt3:2,$ with $AB$ the hypotenuse, so $\angle ACB=90^\circ.$

Thus, C is the correct answer.

9.

Un cubo sólido tiene lado de $3$ pulgadas. En el centro de cada cara se corta un agujero cuadrado de $2$ pulgadas por $2$ pulgadas. Los bordes de cada corte son paralelos a las aristas del cubo, y cada agujero atraviesa todo el cubo. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, del sólido restante?

A solid cube has side length $3$ inches. A $2$ -inch by $2$ -inch square hole is cut into the center of each face. The edges of each cut are parallel to the edges of the cube, and each hole goes all the way through the cube. What is the volume, in cubic inches, of the remaining solid?

$7$

$8$

$10$

$12$

$15$

Conceptos:volumen inclusión-exclusión geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Usa inclusión-exclusión para los tres agujeros rectangulares.

Use inclusion-exclusion for the three rectangular holes

Pista grande:

Los tres agujeros $2\times2\times3$ se traslapan en el cubo central $2\times2\times2$ .

The three $2\times2\times3$ holes overlap in the central $2\times2\times2$ cube

Solución:

Nota que todos los sólidos extraídos se intersecan en el centro del cubo.

Esta región de intersección es un cubo con lado $2.$ Entonces el volumen de la región extraída es $\begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}$

Tenemos que restar la región central dos veces, ya que está incluida en las $3$ regiones.

El volumen restante es entonces $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that all the cut out solids intersect in the middle of the cube.

This region of intersection is a cube with side length $2.$ Then the volume of the cutout region is $\begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}$

We have to subtract out the center region twice since it is included in all $3$ regions.

The remaining volume is then $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Thus, A is the correct answer.

10.

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son $p,$ $9,$ $3p-q,$ y $3p+q.$ ¿Cuál es el término $2010$ de esta sucesión?

The first four terms of an arithmetic sequence are $p,$ $9,$ $3p-q,$ and $3p+q.$ What is the $2010$ th term of this sequence?

$8041$

$8043$

$8045$

$8047$

$8049$

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La diferencia común es igual a $(3p+q)-(3p-q)=2q$ .

The common difference equals $(3p+q)-(3p-q)=2q$

Pista grande:

Además $9-p=2q$ y $(3p-q)-9=2q;$ despeja $p$ y $q$ .

Also $9-p=2q$ and $(3p-q)-9=2q;$ solve for $p$ and $q$

Solución:

Los términos consecutivos difieren en una diferencia común $d.$ De los dos últimos términos, $d=(3p+q)-(3p-q)=2q.$

De los dos primeros términos, $9-p=d=2q,$ y del segundo y el tercero, $(3p-q)-9=d=2q.$ Resolviendo este sistema se obtiene $p=5,$ $q=2,$ y $d=4.$

El término $2010$ es $\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Consecutive terms differ by a common difference $d.$ From the last two terms, $d=(3p+q)-(3p-q)=2q.$

From the first two terms, $9-p=d=2q,$ and from the second and third, $(3p-q)-9=d=2q.$ Solving this system gives $p=5,$ $q=2,$ and $d=4.$

The $2010$ th term is $\begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

11.

La solución de la ecuación $7^{x+7}=8^x$ puede expresarse en la forma $x=\log_b 7^7.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

The solution of the equation $7^{x+7}=8^x$ can be expressed in the form $x=\log_b 7^7.$ What is $b?$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{15}{8}$

$\dfrac{15}{7}$

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

$x=\log_b 7^7$ significa que $b^x=7^7$ .

$x=\log_b 7^7$ means $b^x=7^7$

Pista grande:

Multiplica para combinar las bases: $(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}$ .

Multiply to combine the bases: $(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}$

Solución:

Como $x=\log_b 7^7,$ tenemos $b^x=7^7.$

Entonces $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

Como $x\gt0,$ se sigue que $7b=8,$ así que $b=\dfrac{8}{7}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $x=\log_b 7^7,$ we have $b^x=7^7.$

Then $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

Because $x\gt0,$ it follows that $7b=8,$ so $b=\dfrac{8}{7}.$

Thus, C is the correct answer.

12.

En un pantano mágico hay dos especies de anfibios parlantes: los sapos, cuyas afirmaciones siempre son verdaderas, y las ranas, cuyas afirmaciones siempre son falsas. Cuatro anfibios, Brian, Chris, LeRoy y Mike, viven juntos en este pantano y hacen las siguientes afirmaciones.

Brian: «Mike y yo somos de especies diferentes.»

Chris: «LeRoy es una rana.»

LeRoy: «Chris es una rana.»

Mike: «De los cuatro, al menos dos somos sapos.»

¿Cuántos de estos cuatro anfibios son ranas?

In a magical swamp there are two species of talking amphibians: toads, whose statements are always true, and frogs, whose statements are always false. Four amphibians, Brian, Chris, LeRoy, and Mike live together in this swamp, and they make the following statements.

Brian: “Mike and I are different species.”

Chris: “LeRoy is a frog.”

LeRoy: “Chris is a frog.”

Mike: “Of the four of us, at least two are toads.”

How many of these four amphibians are frogs?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:veraces y mentirosos deducción lógica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Chris y LeRoy no pueden ser de la misma especie.

Chris and LeRoy cannot have the same species

Pista grande:

Si Brian fuera un sapo, la afirmación de Mike crearía una contradicción.

If Brian were a toad, Mike’s statement would create a contradiction

Solución:

Chris y LeRoy son de especies opuestas: si Chris es un sapo, su afirmación hace que LeRoy sea una rana; si Chris es una rana, su afirmación falsa hace que LeRoy sea un sapo. Así que exactamente uno de ellos es un sapo.

Si Brian es un sapo, su afirmación verdadera hace que Mike sea una rana. Si Brian es una rana, su afirmación falsa dice que él y Mike son de la misma especie, lo que de nuevo hace que Mike sea una rana. Por lo tanto, Mike siempre es una rana.

En consecuencia, la afirmación de Mike es falsa, así que hay menos de dos sapos. Chris y LeRoy ya aportan exactamente un sapo, lo que obliga a que Brian sea una rana. Por lo tanto, hay un sapo y $3$ ranas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Chris and LeRoy are of opposite species: if Chris is a toad, his statement makes LeRoy a frog; if Chris is a frog, his false statement makes LeRoy a toad. Thus exactly one of them is a toad.

If Brian is a toad, his true statement makes Mike a frog. If Brian is a frog, his false statement says that he and Mike are the same species, again making Mike a frog. Therefore Mike is always a frog.

Mike’s statement is therefore false, so there are fewer than two toads. Chris and LeRoy already supply exactly one toad, forcing Brian to be a frog. Hence there is one toad and $3$ frogs.

Thus, D is the correct answer.

13.

¿Para cuántos valores enteros de $k$ las gráficas de $x^2+y^2=k^2$ y $xy=k$ no se intersecan?

For how many integer values of $k$ do the graphs of $x^2+y^2=k^2$ and $xy=k$ not intersect?

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Conceptos:círculo hipérbola análisis por casos

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Para $k\ne0,$ $x^2+y^2=k^2$ es una circunferencia de radio $|k|$ y $xy=k$ es una hipérbola.

For $k\ne0,$ $x^2+y^2=k^2$ is a circle of radius $|k|$ and $xy=k$ is a hyperbola

Pista grande:

Los puntos de la hipérbola más cercanos al origen están a distancia $\sqrt{2|k|};$ compáralos con el radio $|k|$ .

The hyperbola’s points closest to the origin are at distance $\sqrt{2|k|};$ compare with the radius $|k|$

Solución:

Para $k=0,$ la gráfica de $x^2+y^2=0$ es el único punto $(0,0)$ y $xy=0$ son los dos ejes, que se encuentran en el origen, así que las gráficas se intersecan.

Para $k\ne0,$ la circunferencia tiene radio $|k|,$ y la hipérbola $xy=k$ tiene sus dos vértices más cercanos al origen a distancia $\sqrt{2|k|}.$ Las gráficas se encuentran exactamente cuando $|k|\ge\sqrt{2|k|},$ es decir $|k|\ge2.$

Así que no se intersecan solo cuando $|k|=1,$ es decir $k=1$ y $k=-1,$ lo que da $2$ valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

For $k=0,$ the graph of $x^2+y^2=0$ is the single point $(0,0)$ and $xy=0$ is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.

For $k\ne0,$ the circle has radius $|k|,$ and the hyperbola $xy=k$ has its two vertices nearest the origin at distance $\sqrt{2|k|}.$ The graphs meet exactly when $|k|\ge\sqrt{2|k|},$ that is $|k|\ge2.$

So they fail to intersect only when $|k|=1,$ namely $k=1$ and $k=-1,$ giving $2$ values.

Thus, C is the correct answer.

14.

El triángulo no degenerado $\triangle ABC$ tiene longitudes de lados enteras, $\overline{BD}$ es una bisectriz de ángulo, $AD = 3,$ y $DC = 8.$ ¿Cuál es el menor valor posible del perímetro?

Nondegenerate $\triangle ABC$ has integer side lengths, $\overline{BD}$ is an angle bisector, $AD = 3,$ and $DC = 8.$ What is the smallest possible value of the perimeter?

$30$

$33$

$35$

$36$

$37$

Conceptos:teorema de la bisectriz desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa el teorema de la bisectriz del ángulo.

Use the Angle Bisector Theorem

Pista grande:

$AB:BC=3:8,$ y $AC=11$ .

$AB:BC=3:8,$ and $AC=11$

Solución:

Usando el teorema de la bisectriz del ángulo, tenemos que $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

Para que $AB$ y $BC$ sean enteros, debemos tener que $BC$ es múltiplo de $8.$

Para minimizar el perímetro, podemos poner $BC = 8$ y $AB = 3.$ Sin embargo, esto hace que el triángulo sea degenerado.

Entonces $BC$ debe ser $16$ y $AB = 6.$ Como $AC = AD + DC = 11,$ el perímetro es $16 + 6 + 11 = 33.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Using the Angle Bisector Theorem, we have that $\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}$ $AB = \dfrac{3}{8} BC.$

For $AB$ and $BC$ to be integers, we must have that $BC$ is a multiple of $8.$

To minimize the perimeter, we can set $BC = 8$ and $AB = 3.$ This, however, makes the triangle degenerate.

$BC$ must then be $16$ and $AB = 6.$ Since $AC = AD + DC = 11,$ the perimeter is $16 + 6 + 11 = 33.$

Thus, B is the correct answer.

15.

Una moneda se altera de modo que la probabilidad de que caiga en cara es menor que $\dfrac12,$ y cuando la moneda se lanza cuatro veces, la probabilidad de un número igual de caras y cruces es $\dfrac{1}{6}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en cara?

A coin is altered so that the probability that it lands on heads is less than $\dfrac12,$ and when the coin is flipped four times, the probability of an equal number of heads and tails is $\dfrac{1}{6}.$ What is the probability that the coin lands on heads?

$\dfrac{\sqrt{15}-3}{6}$

$\dfrac{6-\sqrt{6\sqrt6+2}}{12}$

$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$

$\dfrac{3-\sqrt3}{6}$

$\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

Conceptos:probabilidad binomial cuadrática

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

La probabilidad de dos caras y dos cruces es $\binom{4}{2}p^2(1-p)^2$ .

The chance of two heads and two tails is $\binom{4}{2}p^2(1-p)^2$

Pista grande:

Esto se reduce a $p(1-p)=\dfrac16;$ resuelve la ecuación cuadrática y toma la raíz con $p\lt\dfrac12$ .

This reduces to $p(1-p)=\dfrac16;$ solve the quadratic and take the root with $p\lt\dfrac12$

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de cara. La probabilidad de dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos es $\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}$

Así que $p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},$ por lo tanto $p(1-p)=\dfrac16.$

Esto da $6p^2-6p+1=0,$ así que $p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.$ Como $p\lt\dfrac12,$ tomamos $p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $p$ be the probability of heads. The chance of two heads and two tails in four flips is $\begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}$

Thus $p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36},$ so $p(1-p)=\dfrac16.$

This gives $6p^2-6p+1=0,$ so $p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}.$ Since $p\lt\dfrac12,$ we take $p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.$

Thus, D is the correct answer.

16.

Bernardo elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y los ordena en orden descendente para formar un número de $3$ dígitos. Silvia elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y también los ordena en orden descendente para formar un número de $3$ dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Bernardo sea mayor que el número de Silvia?

Bernardo randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ and arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. Silvia randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ and also arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. What is the probability that Bernardo’s number is larger than Silvia’s number?

$\dfrac{47}{72}$

$\dfrac{37}{56}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{49}{72}$

$\dfrac{39}{56}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Separa en casos según si Bernardo elige el $9$ .

Separate cases according to whether Bernardo picks $9$

Pista grande:

Sin un $9,$ los dos números son simétricos, salvo cuando los conjuntos elegidos coinciden.

Without a $9,$ the two numbers are symmetric except when the chosen sets match

Solución:

Hay dos casos: Bernardo elige un $9$ o no lo hace.

Caso $1:$ Bernardo elige un $9$

Como un número está fijo, hay $\binom{8}{2} = 28$ maneras de elegir los otros dos números.

Hay en total $\binom{9}{3} = 84$ maneras de elegir los tres números. La probabilidad es entonces $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Nota que si Bernardo elige un $9,$ automáticamente tiene un número mayor que Silvia.

Esto significa que Bernardo siempre gana en este caso.

Caso $2:$ Bernardo no elige un $9$

Hay una probabilidad de $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ de que esto ocurra. Como ambos eligen de los mismos números, tienen igual probabilidad de ganar.

Todavía debemos hallar la probabilidad de que los números sean iguales. Hay una probabilidad de $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}$ de que Silvia elija los mismos números que Bernardo. La probabilidad de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

La probabilidad total de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are two cases: Bernardo picks a $9$ or he doesn’t.

Case $1:$ Bernardo picks a $9$

Since a number is fixed, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the other two numbers.

There are a total of $\binom{9}{3} = 84$ ways to pick all three numbers. The probability is then $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Note that if Bernardo picks a $9,$ he automatically has a greater number than Silvia.

This means that Bernardo always wins in this case.

Case $2:$ Bernardo doesn’t pick a $9$

There is a $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ chance of this happening. Since both people are choosing from the same numbers, they have an equal chance of winning.

We still need to find the probability that the numbers are the same. There is a $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}$ chance that Silvia chooses the same numbers as Bernardo. The probability that Bernardo gets a higher number is then $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

The total probability of Bernardo getting a higher number is then $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Thus, B is the correct answer.

17.

El hexágono equiangular $ABCDEF$ tiene longitudes de lados $AB=CD=EF=1$ y $BC=DE=FA=r.$ El área de $\triangle ACE$ es el $70\%$ del área del hexágono. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $r$ ?

Equiangular hexagon $ABCDEF$ has side lengths $AB=CD=EF=1$ and $BC=DE=FA=r.$ The area of $\triangle ACE$ is $70\%$ of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of $r?$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{10}{3}$

$4$

$\dfrac{17}{4}$

$6$

Conceptos:polígono equiángulo ley de los cosenos Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Divide el hexágono en $\triangle ACE$ y tres triángulos en las esquinas.

Split the hexagon into $\triangle ACE$ and three corner triangles

Pista grande:

Expresa ambas áreas usando $r^2+r+1$ y $r$ .

Express both areas using $r^2+r+1$ and $r$

Solución:

Nota que $\triangle ACE$ es equilátero. Usando la ley de cosenos en $\triangle ABC,$ obtenemos $AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

El área de $\triangle ACE$ es entonces $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

Los tres triángulos de las esquinas $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ y $\triangle EFA$ tienen cada uno área $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Así que el hexágono tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

La condición $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ da $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ así que $r^2-6r+1=0.$

Por las fórmulas de Vieta, la suma de los valores posibles de $r$ es $6.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $\triangle ACE$ is equilateral. Using the Law of Cosines in $\triangle ABC,$ we get $AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ$ $=r^2+r+1.$

The area of $\triangle ACE$ is then $\dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).$

The three corner triangles $\triangle ABC,$ $\triangle CDE,$ and $\triangle EFA$ each have area $\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.$

Thus the hexagon has area $\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1)$ $+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4}$ $=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).$

The condition $[ACE]=70\%\cdot[ABCDEF]$ gives $r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),$ so $r^2-6r+1=0.$

By Vieta’s formulas, the sum of the possible values of $r$ is $6.$

Thus, E is the correct answer.

18.

Un camino de $16$ pasos debe ir de $(-4,-4)$ a $(4,4)$ , donde cada paso aumenta la coordenada $x$ o la coordenada $y$ en $1.$ ¿Cuántos de esos caminos permanecen fuera o sobre la frontera del cuadrado $-2\le x\le2,$ $-2\le y\le2$ en cada paso?

A $16$ -step path is to go from $(-4,-4)$ to $(4,4)$ with each step increasing either the $x$ -coordinate or the $y$ -coordinate by $1.$ How many such paths stay outside or on the boundary of the square $-2\le x\le2,$ $-2\le y\le2$ at each step?

$92$

$144$

$1568$

$1698$

$12{,}800$

Conceptos:caminos reticulares combinaciones simetría

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada paso aumenta $x+y$ en $1,$ así que el camino toca la recta $x+y=0$ en exactamente un punto reticular.

Each step increases $x+y$ by $1,$ so the path meets the line $x+y=0$ at exactly one lattice point

Pista grande:

Para evitar el interior del cuadrado, ese punto es $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),$ o $(\pm4,\mp4);$ cuenta los caminos que pasan por cada uno.

To avoid the square’s interior, that point is $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),$ or $(\pm4,\mp4);$ count paths through each

Solución:

Cada paso aumenta $x+y$ en $1,$ que va de $-8$ a $8,$ así que cada camino pasa por exactamente un punto reticular con $x+y=0.$

Para permanecer fuera del cuadrado abierto, ese punto $(t,-t)$ debe cumplir $|t|\ge2,$ así que es uno de $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).$

Por simetría, considera los tres puntos $(-4,4),(-3,3),(-2,2)$ y duplica. El número de caminos de $(-4,-4)$ a $(-(4-j),4-j)$ es $\binom{8}{j},$ y el número que continúa hasta $(4,4)$ es también $\binom{8}{j}.$

Por lo tanto, el total es $\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Every step increases $x+y$ by $1,$ which runs from $-8$ to $8,$ so each path passes through exactly one lattice point with $x+y=0.$

To stay out of the open square, that point $(t,-t)$ must have $|t|\ge2,$ so it is one of $(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).$

By symmetry consider the three points $(-4,4),(-3,3),(-2,2)$ and double. The number of paths from $(-4,-4)$ to $(-(4-j),4-j)$ is $\binom{8}{j},$ and the number continuing on to $(4,4)$ is also $\binom{8}{j}.$

Therefore the total is $\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}$

Thus, D is the correct answer.

19.

Cada una de $2010$ cajas en fila contiene una única canica roja, y para $1 \le k \le 2010,$ la caja en la posición $k$ contiene además $k$ canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y extrae sucesivamente una única canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea $P(n)$ la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente $n$ canicas. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}$ ?

Each of $2010$ boxes in a line contains a single red marble, and for $1 \le k \le 2010,$ the box in the $k$ th position also contains $k$ white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let $P(n)$ be the probability that Isabella stops after drawing exactly $n$ marbles. What is the smallest value of $n$ for which $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?$

$45$

$63$

$64$

$201$

$1005$

Conceptos:telescópica probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Las primeras $n-1$ extracciones deben ser blancas, y luego la extracción $n$ roja.

The first $n-1$ draws must be white, then the $n$ th draw red

Pista grande:

Las probabilidades de blanco se telescopan: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$ .

The white probabilities telescope: $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}$

Solución:

Como hay $k + 1$ canicas en la caja $k$ , Isabella tiene probabilidad $\dfrac{k}{k + 1}$ de extraer una canica blanca.

La probabilidad de extraer una roja es $\dfrac{1}{k + 1}.$ Para detenerse después de la canica $n$ , las primeras $n - 1$ deben haber sido blancas.

Esto ocurre con probabilidad $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, por lo que la expresión se reduce a $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

Debemos hallar el menor $n$ tal que $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Como $44\cdot45=1980\lt2010$ , pero $45\cdot46=2070\gt2010,$ el menor $n$ es $45.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are $k + 1$ marbles in the $k$ th box, there is a $\dfrac{k}{k + 1}$ chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then $\dfrac{1}{k + 1}.$ To stop after drawing the $n$ th marble, the first $n - 1$ marbles must have been white.

This happens with a probability of $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.$

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to $\dfrac{1}{n(n + 1)}.$

We have to find the smallest $n$ such that $\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}$ $n(n + 1) \gt 2010.$

Since $44\cdot45=1980\lt2010$ but $45\cdot46=2070\gt2010,$ the smallest such $n$ is $45.$

Thus, A is the correct answer.

20.

Las sucesiones aritméticas $(a_n)$ y $(b_n)$ tienen términos enteros con $a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2$ y $a_nb_n=2010$ para algún $n.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

Arithmetic sequences $(a_n)$ and $(b_n)$ have integer terms with $a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2$ and $a_nb_n=2010$ for some $n.$ What is the largest possible value of $n?$

$2$

$3$

$8$

$288$

$2009$

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe $a_n=1+(n-1)d_1$ y $b_n=1+(n-1)d_2,$ así que $n-1$ divide tanto a $a_n-1$ como a $b_n-1$ .

Write $a_n=1+(n-1)d_1$ and $b_n=1+(n-1)d_2,$ so $n-1$ divides both $a_n-1$ and $b_n-1$

Pista grande:

Revisa cada par de factores de $2010$ con $a_n\le b_n;$ entonces $n-1$ debe dividir a $\gcd(a_n-1,b_n-1)$ .

Check each factor pair of $2010$ with $a_n\le b_n;$ then $n-1$ must divide $\gcd(a_n-1,b_n-1)$

Solución:

Como $a_n=1+(n-1)d_1$ y $b_n=1+(n-1)d_2$ para enteros $d_1,d_2,$ el valor $n-1$ divide tanto a $a_n-1$ como a $b_n-1,$ y por lo tanto divide a $\gcd(a_n-1,b_n-1).$

Los pares de factores de $2010$ con $2\le a_n\le b_n$ son $(2,1005),$ $(3,670),$ $(5,402),$ $(6,335),$ $(10,201),$ $(15,134),$ y $(30,67).$

Para cada par excepto $(15,134),$ los números $a_n-1$ y $b_n-1$ son primos entre sí, lo que fuerza $n=2.$ Para $(15,134),$ $\gcd(14,133)=7,$ así que $n-1$ puede ser igual a $7,$ dando $n=8.$

Las sucesiones $a_n=2n-1$ y $b_n=19n-18$ logran esto, así que el mayor valor es $8.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $a_n=1+(n-1)d_1$ and $b_n=1+(n-1)d_2$ for integers $d_1,d_2,$ the value $n-1$ divides both $a_n-1$ and $b_n-1,$ hence divides $\gcd(a_n-1,b_n-1).$

The factor pairs of $2010$ with $2\le a_n\le b_n$ are $(2,1005),$ $(3,670),$ $(5,402),$ $(6,335),$ $(10,201),$ $(15,134),$ and $(30,67).$

For every pair except $(15,134),$ the numbers $a_n-1$ and $b_n-1$ are relatively prime, forcing $n=2.$ For $(15,134),$ $\gcd(14,133)=7,$ so $n-1$ can equal $7,$ giving $n=8.$

The sequences $a_n=2n-1$ and $b_n=19n-18$ realize this, so the largest value is $8.$

Thus, C is the correct answer.

21.

La gráfica de $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ está por encima de la recta $y=bx+c$ excepto en tres valores de $x,$ donde la gráfica y la recta se intersecan. ¿Cuál es el mayor de esos valores?

The graph of $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ lies above the line $y=bx+c$ except at three values of $x,$ where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:polinomio factorización completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

La gráfica menos la recta es no negativa y tiene tres raíces dobles, así que es igual a $\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2$ .

The graph minus the line is nonnegative with three double roots, so it equals $\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2$

Pista grande:

Iguala los coeficientes de $x^5,x^4,x^3$ para determinar el cúbico, luego factorízalo.

Match the coefficients of $x^5,x^4,x^3$ to determine the cubic, then factor it

Solución:

Sea $f(x)$ la gráfica menos la recta. Es no negativa y se anula en tres puntos, cada uno una raíz doble, así que $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.$

Igualar los coeficientes da $-2A=-10\Rightarrow A=5,$ luego $A^2+2B=29\Rightarrow B=2,$ luego $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.$

Así que el cúbico es $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4),$ con raíces $-1,2,$ y $4.$ El mayor es $4.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $f(x)$ be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.$

Matching coefficients gives $-2A=-10\Rightarrow A=5,$ then $A^2+2B=29\Rightarrow B=2,$ then $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.$

Thus the cubic is $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4),$ with roots $-1,2,$ and $4.$ The largest is $4.$

Thus, A is the correct answer.

22.

¿Cuál es el valor mínimo de $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}$

What is the minimum value of $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}$

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

Conceptos:valor absoluto optimización sumatoria

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

$f$ es lineal por tramos con esquinas en $x=\tfrac1k;$ el mínimo está donde su pendiente pasa de negativa a positiva.

$f$ is piecewise linear with corners at $x=\tfrac1k;$ the minimum is where its slope turns from negative to positive

Pista grande:

En $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ la pendiente es $7140-(m-1)m;$ halla dónde se anula.

On $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ the slope is $7140-(m-1)m;$ find where it vanishes

Solución:

La función $f$ es lineal por tramos con puntos de quiebre en $x=\tfrac1k.$ En el intervalo $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ su pendiente es $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}$ donde $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.$

Esta pendiente es cero cuando $(m-1)m=7140,$ es decir $m=85,$ así que el mínimo ocurre en el extremo derecho $x=\tfrac1{84}.$

Ahí, los términos con $k\le84$ contribuyen $\tfrac{84-k}{84}$ y los términos con $k\ge85$ contribuyen $\tfrac{k-84}{84},$ así que $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The function $f$ is piecewise linear with breakpoints at $x=\tfrac1k.$ On the interval $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ its slope is $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}$ where $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.$

This slope is zero when $(m-1)m=7140,$ i.e. $m=85,$ so the minimum occurs at the right endpoint $x=\tfrac1{84}.$

There, terms with $k\le84$ contribute $\tfrac{84-k}{84}$ and terms with $k\ge85$ contribute $\tfrac{k-84}{84},$ so $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

23.

El número formado por los dos últimos dígitos no nulos de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The number obtained from the last two nonzero digits of $90!$ is equal to $n.$ What is $n?$

$12$

$32$

$48$

$52$

$68$

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto ceros finales

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Elimina los factores que producen ceros finales, luego trabaja módulo $100$ .

Remove the factors making trailing zeroes, then work modulo $100$

Pista grande:

Usa congruencias módulo $4$ y módulo $25$ para determinar los dos últimos dígitos.

Use congruences modulo $4$ and modulo $25$ to pin down the last two digits

Solución:

El número de ceros finales de $90!$ es $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Sea $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

Quedan más de dos factores de $2$ después de quitar $10^{21},$ así que $N\equiv0 \pmod4.$

Sea $A$ el producto de los factores de $90!$ no divisibles entre $5,$ y sea $B$ el producto de los factores divisibles entre $5.$ Cada bloque $(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)$ es $24\equiv-1\pmod{25},$ y hay $18$ bloques, así que $A\equiv1\pmod{25}.$

Después de quitar los $21$ factores de $5$ de $B,$ los factores restantes pueden agruparse como $\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}$

Por tanto, $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Como $2^{21}\equiv2\pmod{25}$ y el inverso de $2$ módulo $25$ es $13,$ obtenemos $N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.$

El número congruente con $0\pmod4$ y $12\pmod{25}$ es $12\pmod{100},$ así que los dos últimos dígitos no nulos forman $12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in $90!$ is $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Let $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

There are still more than two factors of $2$ left after removing $10^{21},$ so $N\equiv0 \pmod4.$

Let $A$ be the product of factors of $90!$ not divisible by $5,$ and let $B$ be the product of the factors divisible by $5.$ Each block $(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)$ is $24\equiv-1\pmod{25},$ and there are $18$ blocks, so $A\equiv1\pmod{25}.$

After removing the $21$ factors of $5$ from $B,$ the remaining factors can be grouped as $\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}$

Therefore $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Since $2^{21}\equiv2\pmod{25}$ and the inverse of $2$ modulo $25$ is $13,$ we get $N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.$

The number congruent to $0\pmod4$ and $12\pmod{25}$ is $12\pmod{100},$ so the last two nonzero digits form $12.$

Thus, A is the correct answer.

24.

Sea $\begin{gathered} f(x)=\log_{10}\big(\sin(\pi x) \\ {}\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x) \\ {}\cdot\sin(4\pi x)\cdot\sin(5\pi x) \\ {}\cdot\sin(6\pi x)\cdot\sin(7\pi x) \\ {}\cdot\sin(8\pi x)\big). \end{gathered}$ La intersección del dominio de $f(x)$ con el intervalo $[0,1]$ es una unión de $n$ intervalos abiertos disjuntos. ¿Cuánto vale $n$ ?

Let $\begin{gathered} f(x)=\log_{10}\big(\sin(\pi x) \\ {}\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x) \\ {}\cdot\sin(4\pi x)\cdot\sin(5\pi x) \\ {}\cdot\sin(6\pi x)\cdot\sin(7\pi x) \\ {}\cdot\sin(8\pi x)\big). \end{gathered}$ The intersection of the domain of $f(x)$ with the interval $[0,1]$ is a union of $n$ disjoint open intervals. What is $n?$

$2$

$12$

$18$

$22$

$36$

Conceptos:trigonometría simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

El dominio es donde $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x)\gt0;$ $g$ es simétrica respecto a $x=\tfrac12$ .

The domain is where $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x)\gt0;$ $g$ is symmetric about $x=\tfrac12$

Pista grande:

Cuenta los ceros $\tfrac{k}{n}$ en $\big(0,\tfrac12\big)$ y nota que el signo no cambia en $\tfrac14$ y $\tfrac13$ .

Count the zeros $\tfrac{k}{n}$ in $\big(0,\tfrac12\big)$ and note the sign fails to flip at $\tfrac14$ and $\tfrac13$

Solución:

Sea $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x);$ el dominio de $f$ es donde $g(x)\gt0.$ Como $\sin(k\pi(1-x))$ $=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x)$ y $\sum_{k=1}^8(k+1)$ es par, $g(1-x)=g(x),$ así que basta estudiar $\big(0,\tfrac12\big)$ y duplicar.

En $\big(0,\tfrac12\big)$ los ceros de $g$ son las fracciones $\tfrac{k}{n}$ con $2\le n\le8,$ $1\le k\lt\tfrac n2,$ y $\gcd(k,n)=1.$ Para $n=2,\ldots,8$ hay $0,1,1,2,1,3,2$ de ellos, en total $10.$

Estos $10$ ceros dividen $\big(0,\tfrac12\big)$ en $11$ subintervalos en los que $g$ tiene signo constante. Cerca de $0$ todo factor es positivo, así que $g\gt0$ ahí, y el signo cambia en cada cero excepto en $\tfrac14=\tfrac28$ y $\tfrac13=\tfrac26,$ donde se anula un número par de factores.

Siguiendo los signos, exactamente $6$ de los $11$ subintervalos tienen $g\gt0.$ Por simetría hay $6$ más en $\big(\tfrac12,1\big),$ así que $n=12.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x);$ the domain of $f$ is where $g(x)\gt0.$ Since $\sin(k\pi(1-x))$ $=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x)$ and $\sum_{k=1}^8(k+1)$ is even, $g(1-x)=g(x),$ so it suffices to study $\big(0,\tfrac12\big)$ and double.

In $\big(0,\tfrac12\big)$ the zeros of $g$ are the fractions $\tfrac{k}{n}$ with $2\le n\le8,$ $1\le k\lt\tfrac n2,$ and $\gcd(k,n)=1.$ For $n=2,\ldots,8$ there are $0,1,1,2,1,3,2$ of them, totaling $10.$

These $10$ zeros split $\big(0,\tfrac12\big)$ into $11$ subintervals on which $g$ has constant sign. Near $0$ every factor is positive, so $g\gt0$ there, and the sign flips at each zero except $\tfrac14=\tfrac28$ and $\tfrac13=\tfrac26,$ where an even number of factors vanish.

Tracking the signs, exactly $6$ of the $11$ subintervals have $g\gt0.$ By symmetry there are $6$ more in $\big(\tfrac12,1\big),$ so $n=12.$

Thus, B is the correct answer.

25.

Dos cuadriláteros se consideran iguales si uno puede obtenerse del otro mediante una rotación y una traslación. ¿Cuántos cuadriláteros cíclicos convexos diferentes hay con lados enteros y perímetro igual a $32$ ?

Two quadrilaterals are considered the same if one can be obtained from the other by a rotation and a translation. How many different convex cyclic quadrilaterals are there with integer sides and perimeter equal to $32?$

$560$

$564$

$568$

$1498$

$2255$

Conceptos:Lema de Burnside estrellas y barras cuadrilátero cíclico

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Un cuadrilátero cíclico convexo con longitudes de lados dadas en un orden cíclico dado es único; cada lado es a lo sumo $15$ .

A convex cyclic quadrilateral with given side lengths in a given cyclic order is unique; each side is at most $15$

Pista grande:

Cuenta las cuádruplas ordenadas que suman $32,$ luego toma el cociente por rotación cíclica usando el lema de Burnside.

Count ordered quadruples summing to $32,$ then quotient by cyclic rotation using Burnside’s lemma

Solución:

Un cuadrilátero cíclico convexo queda determinado, salvo rotación y traslación, por su sucesión cíclica de longitudes de lados, y existe exactamente cuando el lado mayor es menor que la suma de los otros. Con perímetro $32,$ esto significa que cada lado es a lo sumo $15.$

Primero cuenta las cuádruplas ordenadas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos con $a+b+c+d=32$ y cada entrada a lo sumo $15.$ Sin la cota superior hay $\binom{31}{3}=4495;$ al quitar aquellas con alguna entrada al menos $16$ se restan $4\binom{16}{3}=2240,$ dejando $2255.$

Las rotaciones del cuadrilátero corresponden a permutaciones cíclicas de $(a,b,c,d).$ Por el lema de Burnside, el número de cuadriláteros distintos es $\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big),$ donde $f_i$ cuenta las cuádruplas fijadas al rotar $i$ posiciones.

Una rotación de uno o tres pasos fija solo $(8,8,8,8),$ así que $f_1=f_3=1.$ Una rotación de dos pasos fija $(a,b,a,b)$ con $a+b=16$ y $1\le a,b\le15,$ dando $f_2=15.$

Por lo tanto, el conteo es $\begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

A convex cyclic quadrilateral is determined up to rotation and translation by its cyclic sequence of side lengths, and it exists exactly when the largest side is less than the sum of the others. With perimeter $32,$ this means each side is at most $15.$

First count ordered quadruples $(a,b,c,d)$ of positive integers with $a+b+c+d=32$ and each entry at most $15.$ Without the upper bound there are $\binom{31}{3}=4495;$ removing those with some entry at least $16$ subtracts $4\binom{16}{3}=2240,$ leaving $2255.$

Rotations of the quadrilateral correspond to cyclic permutations of $(a,b,c,d).$ By Burnside’s lemma the number of distinct quadrilaterals is $\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big),$ where $f_i$ counts quadruples fixed by rotating $i$ positions.

A one- or three-step rotation fixes only $(8,8,8,8),$ so $f_1=f_3=1.$ A two-step rotation fixes $(a,b,a,b)$ with $a+b=16$ and $1\le a,b\le15,$ giving $f_2=15.$

Hence the count is $\begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.