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Problemas del 2010 AMC 12A

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1.

¿Cuál es el valor de (20−(2010−201))(20-(2010-201)) +(2010−(201−20))+(2010-(201-20))?
What is (20−(2010−201))(20-(2010-201)) +(2010−(201−20))?+(2010-(201-20))?
−4020-4020
00
4040
401401
40204020
Respuesta: C
Conceptos:operaciones con números enterosorden de las operaciones
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Distribuye los signos negativos y busca términos que se cancelen.
Distribute the negative signs and look for terms that cancel
Pista grande:
Después de que se cancelan los términos 20102010 y 201201, solo quedan los dos 2020.
After the 20102010 and 201201 terms cancel, only the two 2020s remain
Solución:
Al distribuir los signos negativos se obtiene (20−2010+201)+(2010−201+20)=40. \begin{aligned} &(20-2010+201) \\ &\quad {}+(2010-201+20)=40. \end{aligned}
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Distributing the negative signs gives (20−2010+201)+(2010−201+20)=40. \begin{aligned} &(20-2010+201) \\ &\quad {}+(2010-201+20)=40. \end{aligned}
Thus, C is the correct answer.

2.

Un transbordador lleva turistas a una isla cada hora, comenzando a las 1010 de la mañana hasta su último viaje, que sale a las 33 de la tarde. Un día el capitán del barco nota que en el viaje de las 1010 de la mañana había 100100 turistas en el transbordador, y que en cada viaje sucesivo el número de turistas era 11 menos que en el viaje anterior. ¿Cuántos turistas llevó el transbordador a la isla ese día?
A ferry boat shuttles tourists to an island every hour starting at 1010 am until its last trip, which starts at 33 pm. One day the boat captain notes that on the 1010 am trip there were 100100 tourists on the ferry boat, and that on each successive trip, the number of tourists was 11 fewer than on the previous trip. How many tourists did the ferry take to the island that day?
585585
594594
672672
679679
694694
Respuesta: A
Conceptos:sucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 970
Pista pequeña:
Cuenta cuántos viajes hay desde las 1010 de la mañana hasta las 33 de la tarde.
Count how many trips run from 1010 am through 33 pm
Pista grande:
Los conteos de viajes son 100,99,…,95;100,99,\ldots,95; súmalos.
The trip counts are 100,99,…,95;100,99,\ldots,95; add them
Solución:
El transbordador hace 66 viajes: a las 10,10, 11,11, 12,12, 1,1, 2,2, y 3.3.
Los números de turistas son 100,99,98,97,96,95,100,99,98,97,96,95, así que el total es 6⋅100−(1+2+3+4+5)=600−15=585. \begin{gathered} 6\cdot100-(1+2+3+4+5) \\ =600-15 \\ =585. \end{gathered}
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
The ferry makes 66 trips: at 10,10, 11,11, 12,12, 1,1, 2,2, and 3.3.
The numbers of tourists are 100,99,98,97,96,95,100,99,98,97,96,95, so the total is 6⋅100−(1+2+3+4+5)=600−15=585. \begin{gathered} 6\cdot100-(1+2+3+4+5) \\ =600-15 \\ =585. \end{gathered}
Thus, A is the correct answer.

3.

El rectángulo ABCD,ABCD, mostrado abajo, comparte 50%50\% de su área con el cuadrado EFGH.EFGH. El cuadrado EFGHEFGH comparte 20%20\% de su área con el rectángulo ABCD.ABCD. ¿Cuánto vale ABAD\dfrac{AB}{AD}?
Rectangle ABCD,ABCD, pictured below, shares 50%50\% of its area with square EFGH.EFGH. Square EFGHEFGH shares 20%20\% of its area with rectangle ABCD.ABCD. What is ABAD?\dfrac{AB}{AD}?
44
55
66
88
1010
Respuesta: E
Conceptos:razón de áreasporcentaje
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Sea ss la longitud del lado del cuadrado; el traslape sombreado tiene ancho ss y altura ADAD.
Let ss be the side length of the square; the shaded overlap has width ss and height ADAD
Pista grande:
La mitad del área del rectángulo es igual al traslape, lo que da AB=2s;AB=2s; un quinto del área del cuadrado da AD=s5AD=\tfrac{s}{5}.
Half the rectangle’s area equals the overlap, giving AB=2s;AB=2s; one fifth of the square’s area gives AD=s5AD=\tfrac{s}{5}
Solución:
Sea ss la longitud del lado del cuadrado EFGH.EFGH. El traslape sombreado tiene ancho ss y altura AD,AD, así que su área es s⋅AD.s\cdot AD.
Como el traslape es el 50%50\% del rectángulo, s⋅AD=12 AB⋅AD,s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD, así que AB=2s.AB=2s. Como es el 20%20\% del cuadrado, s⋅AD=15s2,s\cdot AD=\tfrac15 s^2, así que AD=s5.AD=\tfrac{s}{5}.
Por lo tanto ABAD=2ss5=10.\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Let ss be the side length of square EFGH.EFGH. The shaded overlap has width ss and height AD,AD, so its area is s⋅AD.s\cdot AD.
Because the overlap is 50%50\% of the rectangle, s⋅AD=12 AB⋅AD,s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD, so AB=2s.AB=2s. Because it is 20%20\% of the square, s⋅AD=15s2,s\cdot AD=\tfrac15 s^2, so AD=s5.AD=\tfrac{s}{5}.
Therefore ABAD=2ss5=10.\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{\frac{s}{5}}=10.
Thus, E is the correct answer.

4.

Si x<0,x\lt0, ¿cuál de las siguientes opciones debe ser positiva?
If x<0,x\lt0, then which of the following must be positive?
x∣x∣\dfrac{x}{|x|}
−x2-x^2
−2x-2^x
−x−1-x^{-1}
x3\sqrt[3]{x}
Respuesta: D
Conceptos:desigualdadexponentevalor absoluto
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Prueba cada opción con un valor negativo como x=−1x=-1.
Test each choice with a negative value such as x=−1x=-1
Pista grande:
Reescribe −x−1-x^{-1} como −1x;-\dfrac1x; el recíproco de un número negativo es negativo, así que su opuesto es positivo.
Rewrite −x−1-x^{-1} as −1x;-\dfrac1x; dividing into a negative number flips the sign
Solución:
La opción (D) es −x−1=−1x.-x^{-1}=-\dfrac1x. Cuando x<0,x\lt0, 1x<0,\dfrac1x\lt0, así que −1x>0.-\dfrac1x\gt0.
Al probar x=−1x=-1 se ve que las otras opciones no tienen por qué ser positivas: x∣x∣=−1,\dfrac{x}{|x|}=-1, −x2=−1,-x^2=-1, −2x=−12,-2^x=-\tfrac12, y x3=−1.\sqrt[3]{x}=-1.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Choice (D) is −x−1=−1x.-x^{-1}=-\dfrac1x. When x<0,x\lt0, 1x<0,\dfrac1x\lt0, so −1x>0.-\dfrac1x\gt0.
Testing x=−1x=-1 shows the other choices need not be positive: x∣x∣=−1,\dfrac{x}{|x|}=-1, −x2=−1,-x^2=-1, −2x=−12,-2^x=-\tfrac12, and x3=−1.\sqrt[3]{x}=-1.
Thus, D is the correct answer.

5.

A la mitad de un torneo de tiro con arco de 100100 tiros, Chelsea lleva una ventaja de 5050 puntos. En cada tiro, dar en el blanco vale 1010 puntos, y las otras puntuaciones posibles son 8,8, 4,4, 2,2, y 00 puntos. Chelsea siempre obtiene al menos 44 puntos en cada tiro. Si los siguientes nn tiros de Chelsea dan en el blanco, tendrá la victoria asegurada. ¿Cuál es el valor mínimo de nn?
Halfway through a 100100-shot archery tournament, Chelsea leads by 5050 points. For each shot a bullseye scores 1010 points, with other possible scores being 8,8, 4,4, 2,2, and 00 points. Chelsea always scores at least 44 points on each shot. If Chelsea’s next nn shots are bullseyes she will be guaranteed victory. What is the minimum value for n?n?
3838
4040
4242
4444
4646
Respuesta: C
Conceptos:desigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
El oponente de Chelsea puede obtener a lo sumo 1010 puntos en cada uno de los 5050 tiros restantes.
Chelsea’s opponent can score at most 1010 points on each of the remaining 5050 shots
Pista grande:
Con nn blancos y al menos 44 puntos en los otros 50−n50-n tiros, se necesita 10n+4(50−n)>500−5010n+4(50-n)\gt 500-50.
With nn bullseyes and at least 44 points on the other 50−n50-n shots, require 10n+4(50−n)>500−5010n+4(50-n)\gt 500-50
Solución:
El oponente puede obtener a lo sumo 50⋅10=50050\cdot10=500 en los últimos 5050 tiros. Como Chelsea lleva una ventaja de 50,50, debe obtener más de 500−50=450500-50=450 puntos en sus tiros restantes para asegurar la victoria.
Sus nn blancos dan 10n10n puntos, y sus otros 50−n50-n tiros dan al menos 4(50−n)4(50-n) puntos, así que 10n+4(50−n)>450.10n+4(50-n)\gt450. Esto se simplifica a 6n>250,6n\gt250, es decir n>4123.n\gt41\tfrac23.
Por lo tanto, Chelsea necesita al menos 4242 blancos.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The opponent can score at most 50⋅10=50050\cdot10=500 on the last 5050 shots. Since Chelsea leads by 50,50, she must score more than 500−50=450500-50=450 points on her remaining shots to guarantee victory.
Her nn bullseyes give 10n10n points, and her other 50−n50-n shots give at least 4(50−n)4(50-n) points, so 10n+4(50−n)>450.10n+4(50-n)\gt450. This simplifies to 6n>250,6n\gt250, i.e. n>4123.n\gt41\tfrac23.
Therefore Chelsea needs at least 4242 bullseyes.
Thus, C is the correct answer.

6.

Un palíndromo, como 83438,83438, es un número que permanece igual cuando se invierten sus dígitos. Los números xx y x+32x + 32 son palíndromos de tres y cuatro dígitos, respectivamente. ¿Cuál es la suma de los dígitos de xx?
A palindrome, such as 83438,83438, is a number that remains the same when its digits are reversed. The numbers xx and x+32x + 32 are three-digit and four-digit palindromes, respectively. What is the sum of the digits of x?x?
2020
2121
2222
2323
2424
Respuesta: E
Conceptos:palíndromodígitosacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Acota el palíndromo de cuatro dígitos entre 10001000 y 10311031.
Bound the four-digit palindrome between 10001000 and 10311031
Pista grande:
Encuentra el único palíndromo en ese intervalo, luego resta 3232.
Find the only palindrome in that interval, then subtract 3232
Solución:
Nota que xx es a lo sumo 999.999. Esto significa que x+32x + 32 tiene un máximo de 1031.1031.
De manera similar, el valor mínimo de x+32x + 32 es 1000.1000.
El único palíndromo en este rango es 1001,1001, así que a esto equivale x+32x + 32.
Entonces x=1001−32=969,x=1001-32=969, cuya suma de dígitos es 9+6+9=24.9+6+9=24.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Note that xx is at most 999.999. This means that x+32x + 32 has a maximum of 1031.1031.
Similarly, we have that the minimum value of x+32x + 32 is 1000.1000.
The only palindrome in this range is 1001,1001, so this is what x+32x + 32 equals.
Thus x=1001−32=969,x=1001-32=969, whose digit sum is 9+6+9=24.9+6+9=24.
Thus, E is the correct answer.

7.

Logan está construyendo un modelo a escala de su ciudad. La torre de agua de la ciudad mide 4040 metros de altura, y la parte superior es una esfera que contiene 100,000100{,}000 litros de agua. La torre de agua en miniatura de Logan contiene 0.10.1 litros. ¿Qué altura, en metros, debe tener la torre de Logan?
Logan is constructing a scaled model of his town. The city’s water tower stands 4040 meters high, and the top portion is a sphere that holds 100,000100{,}000 liters of water. Logan’s miniature water tower holds 0.10.1 liters. How tall, in meters, should Logan make his tower?
0.040.04
0.4π\dfrac{0.4}{\pi}
0.40.4
4π\dfrac{4}{\pi}
44
Respuesta: C
Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumenvolumen
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
La escala de volumen es el cubo de la escala de longitud.
Volume scale is the cube of length scale
Pista grande:
Compara 0.10.1 litros con 100000100000 litros, luego toma la raíz cúbica.
Compare 0.10.1 liters to 100000100000 liters, then take a cube root
Solución:
La razón entre el volumen del modelo y el original es 0.1100,000=11,000,000.\dfrac{0.1}{100{,}000}=\dfrac{1}{1{,}000{,}000}. Las longitudes se escalan por la raíz cúbica, así que la razón de alturas es 1100.\dfrac1{100}. Por tanto, el modelo debe medir 40100=0.4\dfrac{40}{100}=0.4 metros de altura.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
The model-to-original volume ratio is 0.1100,000=11,000,000.\dfrac{0.1}{100{,}000}=\dfrac{1}{1{,}000{,}000}. Lengths scale by the cube root, so the model-to-original height ratio is 1100.\dfrac1{100}. Therefore the model should be 40100=0.4\dfrac{40}{100}=0.4 meters tall.
Thus, C is the correct answer.

8.

El triángulo ABCABC cumple AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Sean DD y EE puntos sobre AB‾\overline{AB} y BC‾,\overline{BC}, respectivamente, tales que ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Sea FF la intersección de los segmentos AEAE y CD,CD, y supongamos que △CFE\triangle CFE es equilátero. ¿Cuánto vale ∠ACB\angle ACB?
Triangle ABCABC has AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Let DD and EE be on AB‾\overline{AB} and BC‾,\overline{BC}, respectively, such that ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Let FF be the intersection of segments AEAE and CD,CD, and suppose that △CFE\triangle CFE is equilateral. What is ∠ACB?\angle ACB?
60∘60^\circ
75∘75^\circ
90∘90^\circ
105∘105^\circ
120∘120^\circ
Respuesta: C
Conceptos:persecución de ángulostriángulo equiláterotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Sea ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x.
Let ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x
Pista grande:
Usa △CFE\triangle CFE para hallar ∠AFC,\angle AFC, luego persigue ángulos para ∠BAC\angle BAC.
Use △CFE\triangle CFE to find ∠AFC,\angle AFC, then angle-chase ∠BAC\angle BAC
Solución:
Sea ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE=\angle ACD=x. Como △CFE\triangle CFE es equilátero, ∠CFE=60∘.\angle CFE=60^\circ. Los rayos FAFA y FEFE son opuestos, así que ∠AFC=120∘.\angle AFC=120^\circ.
En △AFC,\triangle AFC, obtenemos ∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x.=60^\circ-x. Como FF está en AE,AE, este ángulo es ∠EAC.\angle EAC. Entonces ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘.\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.
Sea AC=s,AC=s, de modo que AB=2s.AB=2s. La ley de cosenos da BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2. \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned} Así, los lados están en razón 1:3:2,1:\sqrt3:2, con ABAB como hipotenusa, por lo que ∠ACB=90∘.\angle ACB=90^\circ.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE=\angle ACD=x. Because △CFE\triangle CFE is equilateral, ∠CFE=60∘.\angle CFE=60^\circ. Rays FAFA and FEFE are opposite, so ∠AFC=120∘.\angle AFC=120^\circ.
In △AFC,\triangle AFC, we get ∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x.=60^\circ-x. Since FF lies on AE,AE, this is ∠EAC.\angle EAC. Hence ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘.\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.
Put AC=s,AC=s, so AB=2s.AB=2s. The Law of Cosines gives BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2. \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned} Thus the side lengths are in the ratio 1:3:2,1:\sqrt3:2, with ABAB the hypotenuse, so ∠ACB=90∘.\angle ACB=90^\circ.
Thus, C is the correct answer.

9.

Un cubo sólido tiene lado de 33 pulgadas. En el centro de cada cara se corta un agujero cuadrado de 22 pulgadas por 22 pulgadas. Los bordes de cada corte son paralelos a las aristas del cubo, y cada agujero atraviesa todo el cubo. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, del sólido restante?
A solid cube has side length 33 inches. A 22-inch by 22-inch square hole is cut into the center of each face. The edges of each cut are parallel to the edges of the cube, and each hole goes all the way through the cube. What is the volume, in cubic inches, of the remaining solid?
77
88
1010
1212
1515
Respuesta: A
Conceptos:volumeninclusión-exclusióngeometría del cubo
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:
Usa inclusión-exclusión para los tres agujeros rectangulares.
Use inclusion-exclusion for the three rectangular holes
Pista grande:
Los tres agujeros 2×2×32\times2\times3 se traslapan en el cubo central 2×2×22\times2\times2.
The three 2×2×32\times2\times3 holes overlap in the central 2×2×22\times2\times2 cube
Solución:
Nota que todos los sólidos extraídos se intersecan en el centro del cubo.
Esta región de intersección es un cubo con lado 2.2. Entonces el volumen de la región extraída es 3⋅2⋅2⋅3−2⋅23=36−16=20. \begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}
Tenemos que restar la región central dos veces, ya que está incluida en las 33 regiones.
El volumen restante es entonces 33−20=27−20=7. 3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Note that all the cut out solids intersect in the middle of the cube.
This region of intersection is a cube with side length 2.2. Then the volume of the cutout region is 3⋅2⋅2⋅3−2⋅23=36−16=20. \begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}
We have to subtract out the center region twice since it is included in all 33 regions.
The remaining volume is then 33−20=27−20=7. 3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.
Thus, A is the correct answer.

10.

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son p,p, 9,9, 3p−q,3p-q, y 3p+q.3p+q. ¿Cuál es el término 20102010 de esta sucesión?
The first four terms of an arithmetic sequence are p,p, 9,9, 3p−q,3p-q, and 3p+q.3p+q. What is the 20102010th term of this sequence?
80418041
80438043
80458045
80478047
80498049
Respuesta: A
Conceptos:sucesión aritméticasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
La diferencia común es igual a (3p+q)−(3p−q)=2q(3p+q)-(3p-q)=2q.
The common difference equals (3p+q)−(3p−q)=2q(3p+q)-(3p-q)=2q
Pista grande:
Además 9−p=2q9-p=2q y (3p−q)−9=2q;(3p-q)-9=2q; despeja pp y qq.
Also 9−p=2q9-p=2q and (3p−q)−9=2q;(3p-q)-9=2q; solve for pp and qq
Solución:
Los términos consecutivos difieren en una diferencia común d.d. De los dos últimos términos, d=(3p+q)−(3p−q)=2q.d=(3p+q)-(3p-q)=2q.
De los dos primeros términos, 9−p=d=2q,9-p=d=2q, y del segundo y el tercero, (3p−q)−9=d=2q.(3p-q)-9=d=2q. Resolviendo este sistema se obtiene p=5,p=5, q=2,q=2, y d=4.d=4.
El término 20102010 es p+2009d=5+2009⋅4=8041. \begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Consecutive terms differ by a common difference d.d. From the last two terms, d=(3p+q)−(3p−q)=2q.d=(3p+q)-(3p-q)=2q.
From the first two terms, 9−p=d=2q,9-p=d=2q, and from the second and third, (3p−q)−9=d=2q.(3p-q)-9=d=2q. Solving this system gives p=5,p=5, q=2,q=2, and d=4.d=4.
The 20102010th term is p+2009d=5+2009⋅4=8041. \begin{aligned} p+2009d &= 5+2009\cdot4 \\ &= 8041. \end{aligned}
Thus, A is the correct answer.

11.

La solución de la ecuación 7x+7=8x7^{x+7}=8^x puede expresarse en la forma x=log⁡b77.x=\log_b 7^7. ¿Cuánto vale bb?
The solution of the equation 7x+7=8x7^{x+7}=8^x can be expressed in the form x=log⁡b77.x=\log_b 7^7. What is b?b?
715\dfrac{7}{15}
78\dfrac{7}{8}
87\dfrac{8}{7}
158\dfrac{15}{8}
157\dfrac{15}{7}
Respuesta: C
Conceptos:logaritmoexponente
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
x=log⁡b77x=\log_b 7^7 significa que bx=77b^x=7^7.
x=log⁡b77x=\log_b 7^7 means bx=77b^x=7^7
Pista grande:
Multiplica para combinar las bases: (7b)x=7x⋅bx=7x+7(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}.
Multiply to combine the bases: (7b)x=7x⋅bx=7x+7(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}
Solución:
Como x=log⁡b77,x=\log_b 7^7, tenemos bx=77.b^x=7^7.
Entonces (7b)x=7x⋅bx=7x⋅77=7x+7=8x. \begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}
Como x>0,x\gt0, se sigue que 7b=8,7b=8, así que b=87.b=\dfrac{8}{7}.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Since x=log⁡b77,x=\log_b 7^7, we have bx=77.b^x=7^7.
Then (7b)x=7x⋅bx=7x⋅77=7x+7=8x. \begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}
Because x>0,x\gt0, it follows that 7b=8,7b=8, so b=87.b=\dfrac{8}{7}.
Thus, C is the correct answer.

12.

En un pantano mágico hay dos especies de anfibios parlantes: los sapos, cuyas afirmaciones siempre son verdaderas, y las ranas, cuyas afirmaciones siempre son falsas. Cuatro anfibios, Brian, Chris, LeRoy y Mike, viven juntos en este pantano y hacen las siguientes afirmaciones.
Brian: «Mike y yo somos de especies diferentes.»
Chris: «LeRoy es una rana.»
LeRoy: «Chris es una rana.»
Mike: «De los cuatro, al menos dos somos sapos.»
¿Cuántos de estos cuatro anfibios son ranas?
In a magical swamp there are two species of talking amphibians: toads, whose statements are always true, and frogs, whose statements are always false. Four amphibians, Brian, Chris, LeRoy, and Mike live together in this swamp, and they make the following statements.
Brian: “Mike and I are different species.”
Chris: “LeRoy is a frog.”
LeRoy: “Chris is a frog.”
Mike: “Of the four of us, at least two are toads.”
How many of these four amphibians are frogs?
00
11
22
33
44
Respuesta: D
Conceptos:veraces y mentirososdeducción lógica
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Chris y LeRoy no pueden ser de la misma especie.
Chris and LeRoy cannot have the same species
Pista grande:
Si Brian fuera un sapo, la afirmación de Mike crearía una contradicción.
If Brian were a toad, Mike’s statement would create a contradiction
Solución:
Chris y LeRoy son de especies opuestas: si Chris es un sapo, su afirmación hace que LeRoy sea una rana; si Chris es una rana, su afirmación falsa hace que LeRoy sea un sapo. Así que exactamente uno de ellos es un sapo.
Si Brian es un sapo, su afirmación verdadera hace que Mike sea una rana. Si Brian es una rana, su afirmación falsa dice que él y Mike son de la misma especie, lo que de nuevo hace que Mike sea una rana. Por lo tanto, Mike siempre es una rana.
En consecuencia, la afirmación de Mike es falsa, así que hay menos de dos sapos. Chris y LeRoy ya aportan exactamente un sapo, lo que obliga a que Brian sea una rana. Por lo tanto, hay un sapo y 33 ranas.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Chris and LeRoy are of opposite species: if Chris is a toad, his statement makes LeRoy a frog; if Chris is a frog, his false statement makes LeRoy a toad. Thus exactly one of them is a toad.
If Brian is a toad, his true statement makes Mike a frog. If Brian is a frog, his false statement says that he and Mike are the same species, again making Mike a frog. Therefore Mike is always a frog.
Mike’s statement is therefore false, so there are fewer than two toads. Chris and LeRoy already supply exactly one toad, forcing Brian to be a frog. Hence there is one toad and 33 frogs.
Thus, D is the correct answer.

13.

¿Para cuántos valores enteros de kk las gráficas de x2+y2=k2x^2+y^2=k^2 y xy=kxy=k no se intersecan?
For how many integer values of kk do the graphs of x2+y2=k2x^2+y^2=k^2 and xy=kxy=k not intersect?
00
11
22
44
88
Respuesta: C
Conceptos:círculohipérbolaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Para k≠0,k\ne0, x2+y2=k2x^2+y^2=k^2 es una circunferencia de radio ∣k∣|k| y xy=kxy=k es una hipérbola.
For k≠0,k\ne0, x2+y2=k2x^2+y^2=k^2 is a circle of radius ∣k∣|k| and xy=kxy=k is a hyperbola
Pista grande:
Los puntos de la hipérbola más cercanos al origen están a distancia 2∣k∣;\sqrt{2|k|}; compáralos con el radio ∣k∣|k|.
The hyperbola’s points closest to the origin are at distance 2∣k∣;\sqrt{2|k|}; compare with the radius ∣k∣|k|
Solución:
Para k=0,k=0, la gráfica de x2+y2=0x^2+y^2=0 es el único punto (0,0)(0,0) y xy=0xy=0 son los dos ejes, que se encuentran en el origen, así que las gráficas se intersecan.
Para k≠0,k\ne0, la circunferencia tiene radio ∣k∣,|k|, y la hipérbola xy=kxy=k tiene sus dos vértices más cercanos al origen a distancia 2∣k∣.\sqrt{2|k|}. Las gráficas se encuentran exactamente cuando ∣k∣≥2∣k∣,|k|\ge\sqrt{2|k|}, es decir ∣k∣≥2.|k|\ge2.
Así que no se intersecan solo cuando ∣k∣=1,|k|=1, es decir k=1k=1 y k=−1,k=-1, lo que da 22 valores.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
For k=0,k=0, the graph of x2+y2=0x^2+y^2=0 is the single point (0,0)(0,0) and xy=0xy=0 is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.
For k≠0,k\ne0, the circle has radius ∣k∣,|k|, and the hyperbola xy=kxy=k has its two vertices nearest the origin at distance 2∣k∣.\sqrt{2|k|}. The graphs meet exactly when ∣k∣≥2∣k∣,|k|\ge\sqrt{2|k|}, that is ∣k∣≥2.|k|\ge2.
So they fail to intersect only when ∣k∣=1,|k|=1, namely k=1k=1 and k=−1,k=-1, giving 22 values.
Thus, C is the correct answer.

14.

El triángulo no degenerado △ABC\triangle ABC tiene longitudes de lados enteras, BD‾\overline{BD} es una bisectriz de ángulo, AD=3,AD = 3, y DC=8.DC = 8. ¿Cuál es el menor valor posible del perímetro?
Nondegenerate △ABC\triangle ABC has integer side lengths, BD‾\overline{BD} is an angle bisector, AD=3,AD = 3, and DC=8.DC = 8. What is the smallest possible value of the perimeter?
3030
3333
3535
3636
3737
Respuesta: B
Conceptos:teorema de la bisectrizdesigualdad triangularoptimización
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Usa el teorema de la bisectriz del ángulo.
Use the Angle Bisector Theorem
Pista grande:
AB:BC=3:8,AB:BC=3:8, y AC=11AC=11.
AB:BC=3:8,AB:BC=3:8, and AC=11AC=11
Solución:
Usando el teorema de la bisectriz del ángulo, tenemos que AB3=BC8 \dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8} AB=38BC. AB = \dfrac{3}{8} BC.
Para que ABAB y BCBC sean enteros, debemos tener que BCBC es múltiplo de 8.8.
Para minimizar el perímetro, podemos poner BC=8BC = 8 y AB=3.AB = 3. Sin embargo, esto hace que el triángulo sea degenerado.
Entonces BCBC debe ser 1616 y AB=6.AB = 6. Como AC=AD+DC=11,AC = AD + DC = 11, el perímetro es 16+6+11=33. 16 + 6 + 11 = 33.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Using the Angle Bisector Theorem, we have that AB3=BC8 \dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8} AB=38BC. AB = \dfrac{3}{8} BC.
For ABAB and BCBC to be integers, we must have that BCBC is a multiple of 8.8.
To minimize the perimeter, we can set BC=8BC = 8 and AB=3.AB = 3. This, however, makes the triangle degenerate.
BCBC must then be 1616 and AB=6.AB = 6. Since AC=AD+DC=11,AC = AD + DC = 11, the perimeter is 16+6+11=33. 16 + 6 + 11 = 33.
Thus, B is the correct answer.

15.

Una moneda se altera de modo que la probabilidad de que caiga en cara es menor que 12,\dfrac12, y cuando la moneda se lanza cuatro veces, la probabilidad de un número igual de caras y cruces es 16.\dfrac{1}{6}. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en cara?
A coin is altered so that the probability that it lands on heads is less than 12,\dfrac12, and when the coin is flipped four times, the probability of an equal number of heads and tails is 16.\dfrac{1}{6}. What is the probability that the coin lands on heads?
15−36\dfrac{\sqrt{15}-3}{6}
6−66+212\dfrac{6-\sqrt{6\sqrt6+2}}{12}
2−12\dfrac{\sqrt2-1}{2}
3−36\dfrac{3-\sqrt3}{6}
3−12\dfrac{\sqrt3-1}{2}
Respuesta: D
Conceptos:probabilidad binomialcuadrática
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:
La probabilidad de dos caras y dos cruces es (42)p2(1−p)2\binom{4}{2}p^2(1-p)^2.
The chance of two heads and two tails is (42)p2(1−p)2\binom{4}{2}p^2(1-p)^2
Pista grande:
Esto se reduce a p(1−p)=16;p(1-p)=\dfrac16; resuelve la ecuación cuadrática y toma la raíz con p<12p\lt\dfrac12.
This reduces to p(1−p)=16;p(1-p)=\dfrac16; solve the quadratic and take the root with p<12p\lt\dfrac12
Solución:
Sea pp la probabilidad de cara. La probabilidad de dos caras y dos cruces en cuatro lanzamientos es (42)p2(1−p)2=6p2(1−p)2=16. \begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}
Así que p2(1−p)2=136,p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36}, por lo tanto p(1−p)=16.p(1-p)=\dfrac16.
Esto da 6p2−6p+1=0,6p^2-6p+1=0, así que p=3±36.p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}. Como p<12,p\lt\dfrac12, tomamos p=3−36.p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let pp be the probability of heads. The chance of two heads and two tails in four flips is (42)p2(1−p)2=6p2(1−p)2=16. \begin{aligned} \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 &= 6p^2(1-p)^2 \\ &= \frac16. \end{aligned}
Thus p2(1−p)2=136,p^2(1-p)^2=\dfrac{1}{36}, so p(1−p)=16.p(1-p)=\dfrac16.
This gives 6p2−6p+1=0,6p^2-6p+1=0, so p=3±36.p=\dfrac{3\pm\sqrt3}{6}. Since p<12,p\lt\dfrac12, we take p=3−36.p=\dfrac{3-\sqrt3}{6}.
Thus, D is the correct answer.

16.

Bernardo elige al azar 33 números distintos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} y los ordena en orden descendente para formar un número de 33 dígitos. Silvia elige al azar 33 números distintos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\} y también los ordena en orden descendente para formar un número de 33 dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Bernardo sea mayor que el número de Silvia?
Bernardo randomly picks 33 distinct numbers from the set {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} and arranges them in descending order to form a 33-digit number. Silvia randomly picks 33 distinct numbers from the set {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\} and also arranges them in descending order to form a 33-digit number. What is the probability that Bernardo’s number is larger than Silvia’s number?
4772\dfrac{47}{72}
3756\dfrac{37}{56}
23\dfrac{2}{3}
4972\dfrac{49}{72}
3956\dfrac{39}{56}
Respuesta: B
Conceptos:probabilidad básicaanálisis por casossimetría
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Separa en casos según si Bernardo elige el 99.
Separate cases according to whether Bernardo picks 99
Pista grande:
Sin un 9,9, los dos números son simétricos, salvo cuando los conjuntos elegidos coinciden.
Without a 9,9, the two numbers are symmetric except when the chosen sets match
Solución:
Hay dos casos: Bernardo elige un 99 o no lo hace.
Caso 1:1: Bernardo elige un 99
Como un número está fijo, hay (82)=28\binom{8}{2} = 28 maneras de elegir los otros dos números.
Hay en total (93)=84\binom{9}{3} = 84 maneras de elegir los tres números. La probabilidad es entonces 2884=13. \dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.
Nota que si Bernardo elige un 9,9, automáticamente tiene un número mayor que Silvia.
Esto significa que Bernardo siempre gana en este caso.
Caso 2:2: Bernardo no elige un 99
Hay una probabilidad de 1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} de que esto ocurra. Como ambos eligen de los mismos números, tienen igual probabilidad de ganar.
Todavía debemos hallar la probabilidad de que los números sean iguales. Hay una probabilidad de 1(83)=156 \dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56} de que Silvia elija los mismos números que Bernardo. La probabilidad de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces 1−1562=55112. \dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.
La probabilidad total de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces 13+23⋅55112=3756. \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
There are two cases: Bernardo picks a 99 or he doesn’t.
Case 1:1: Bernardo picks a 99
Since a number is fixed, there are (82)=28\binom{8}{2} = 28 ways to choose the other two numbers.
There are a total of (93)=84\binom{9}{3} = 84 ways to pick all three numbers. The probability is then 2884=13. \dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.
Note that if Bernardo picks a 9,9, he automatically has a greater number than Silvia.
This means that Bernardo always wins in this case.
Case 2:2: Bernardo doesn’t pick a 99
There is a 1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} chance of this happening. Since both people are choosing from the same numbers, they have an equal chance of winning.
We still need to find the probability that the numbers are the same. There is a 1(83)=156 \dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56} chance that Silvia chooses the same numbers as Bernardo. The probability that Bernardo gets a higher number is then 1−1562=55112. \dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.
The total probability of Bernardo getting a higher number is then 13+23⋅55112=3756. \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.
Thus, B is the correct answer.

17.

El hexágono equiangular ABCDEFABCDEF tiene longitudes de lados AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 y BC=DE=FA=r.BC=DE=FA=r. El área de △ACE\triangle ACE es el 70%70\% del área del hexágono. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de rr?
Equiangular hexagon ABCDEFABCDEF has side lengths AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 and BC=DE=FA=r.BC=DE=FA=r. The area of △ACE\triangle ACE is 70%70\% of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of r?r?
433\dfrac{4\sqrt{3}}{3}
103 \dfrac{10}{3}
44
174\dfrac{17}{4}
66
Respuesta: E
Conceptos:polígono equiánguloley de los cosenosFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1960
Pista pequeña:
Divide el hexágono en △ACE\triangle ACE y tres triángulos en las esquinas.
Split the hexagon into △ACE\triangle ACE and three corner triangles
Pista grande:
Expresa ambas áreas usando r2+r+1r^2+r+1 y rr.
Express both areas using r2+r+1r^2+r+1 and rr
Solución:
Nota que △ACE\triangle ACE es equilátero. Usando la ley de cosenos en △ABC,\triangle ABC, obtenemos AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1.=r^2+r+1.
El área de △ACE\triangle ACE es entonces 34(r2+r+1). \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).
Los tres triángulos de las esquinas △ABC,\triangle ABC, △CDE,\triangle CDE, y △EFA\triangle EFA tienen cada uno área 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34.\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.
Así que el hexágono tiene área 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1).=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).
La condición [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] da r2+r+1=710(r2+4r+1),r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1), así que r2−6r+1=0.r^2-6r+1=0.
Por las fórmulas de Vieta, la suma de los valores posibles de rr es 6.6.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Note that △ACE\triangle ACE is equilateral. Using the Law of Cosines in △ABC,\triangle ABC, we get AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1.=r^2+r+1.
The area of △ACE\triangle ACE is then 34(r2+r+1). \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).
The three corner triangles △ABC,\triangle ABC, △CDE,\triangle CDE, and △EFA\triangle EFA each have area 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34.\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.
Thus the hexagon has area 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1).=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).
The condition [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] gives r2+r+1=710(r2+4r+1),r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1), so r2−6r+1=0.r^2-6r+1=0.
By Vieta’s formulas, the sum of the possible values of rr is 6.6.
Thus, E is the correct answer.

18.

Un camino de 1616 pasos debe ir de (−4,−4)(-4,-4) a (4,4)(4,4), donde cada paso aumenta la coordenada xx o la coordenada yy en 1.1. ¿Cuántos de esos caminos permanecen fuera o sobre la frontera del cuadrado −2≤x≤2,-2\le x\le2, −2≤y≤2-2\le y\le2 en cada paso?
A 1616-step path is to go from (−4,−4)(-4,-4) to (4,4)(4,4) with each step increasing either the xx-coordinate or the yy-coordinate by 1.1. How many such paths stay outside or on the boundary of the square −2≤x≤2,-2\le x\le2, −2≤y≤2-2\le y\le2 at each step?
9292
144144
15681568
16981698
12,80012{,}800
Respuesta: D
Conceptos:caminos reticularescombinacionessimetría
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Cada paso aumenta x+yx+y en 1,1, así que el camino toca la recta x+y=0x+y=0 en exactamente un punto reticular.
Each step increases x+yx+y by 1,1, so the path meets the line x+y=0x+y=0 at exactly one lattice point
Pista grande:
Para evitar el interior del cuadrado, ese punto es (±2,∓2),(±3,∓3),(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3), o (±4,∓4);(\pm4,\mp4); cuenta los caminos que pasan por cada uno.
To avoid the square’s interior, that point is (±2,∓2),(±3,∓3),(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3), or (±4,∓4);(\pm4,\mp4); count paths through each
Solución:
Cada paso aumenta x+yx+y en 1,1, que va de −8-8 a 8,8, así que cada camino pasa por exactamente un punto reticular con x+y=0.x+y=0.
Para permanecer fuera del cuadrado abierto, ese punto (t,−t)(t,-t) debe cumplir ∣t∣≥2,|t|\ge2, así que es uno de (±2,∓2),(±3,∓3),(±4,∓4).(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).
Por simetría, considera los tres puntos (−4,4),(−3,3),(−2,2)(-4,4),(-3,3),(-2,2) y duplica. El número de caminos de (−4,−4)(-4,-4) a (−(4−j),4−j)(-(4-j),4-j) es (8j),\binom{8}{j}, y el número que continúa hasta (4,4)(4,4) es también (8j).\binom{8}{j}.
Por lo tanto, el total es 2((80)2+(81)2+(82)2)=2(1+64+784)=1698. \begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Every step increases x+yx+y by 1,1, which runs from −8-8 to 8,8, so each path passes through exactly one lattice point with x+y=0.x+y=0.
To stay out of the open square, that point (t,−t)(t,-t) must have ∣t∣≥2,|t|\ge2, so it is one of (±2,∓2),(±3,∓3),(±4,∓4).(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).
By symmetry consider the three points (−4,4),(−3,3),(−2,2)(-4,4),(-3,3),(-2,2) and double. The number of paths from (−4,−4)(-4,-4) to (−(4−j),4−j)(-(4-j),4-j) is (8j),\binom{8}{j}, and the number continuing on to (4,4)(4,4) is also (8j).\binom{8}{j}.
Therefore the total is 2((80)2+(81)2+(82)2)=2(1+64+784)=1698. \begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}
Thus, D is the correct answer.

19.

Cada una de 20102010 cajas en fila contiene una única canica roja, y para 1≤k≤2010,1 \le k \le 2010, la caja en la posición kk contiene además kk canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y extrae sucesivamente una única canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea P(n)P(n) la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente nn canicas. ¿Cuál es el menor valor de nn para el cual P(n)<12010P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?
Each of 20102010 boxes in a line contains a single red marble, and for 1≤k≤2010,1 \le k \le 2010, the box in the kkth position also contains kk white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let P(n)P(n) be the probability that Isabella stops after drawing exactly nn marbles. What is the smallest value of nn for which P(n)<12010?P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?
4545
6363
6464
201201
10051005
Respuesta: A
Conceptos:telescópicaprobabilidad básicadesigualdad
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:
Las primeras n−1n-1 extracciones deben ser blancas, y luego la extracción nn roja.
The first n−1n-1 draws must be white, then the nnth draw red
Pista grande:
Las probabilidades de blanco se telescopan: 12⋅23⋯n−1n\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}.
The white probabilities telescope: 12⋅23⋯n−1n\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}
Solución:
Como hay k+1k + 1 canicas en la caja kk, Isabella tiene probabilidad kk+1\dfrac{k}{k + 1} de extraer una canica blanca.
La probabilidad de extraer una roja es 1k+1.\dfrac{1}{k + 1}. Para detenerse después de la canica nn, las primeras n−1n - 1 deben haber sido blancas.
Esto ocurre con probabilidad 12⋅23⋅…⋅n−1n⋅1n+1. \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.
Todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, por lo que la expresión se reduce a 1n(n+1).\dfrac{1}{n(n + 1)}.
Debemos hallar el menor nn tal que 1n(n+1)<12010 \dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010} n(n+1)>2010. n(n + 1) \gt 2010.
Como 44⋅45=1980<201044\cdot45=1980\lt2010, pero 45⋅46=2070>2010,45\cdot46=2070\gt2010, el menor nn es 45.45.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Since there are k+1k + 1 marbles in the kk th box, there is a kk+1\dfrac{k}{k + 1} chance Isabella draws a white marble from it.
The probability of drawing a red marble is then 1k+1.\dfrac{1}{k + 1}. To stop after drawing the nn th marble, the first n−1n - 1 marbles must have been white.
This happens with a probability of 12⋅23⋅…⋅n−1n⋅1n+1. \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.
Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to 1n(n+1).\dfrac{1}{n(n + 1)}.
We have to find the smallest nn such that 1n(n+1)<12010 \dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010} n(n+1)>2010. n(n + 1) \gt 2010.
Since 44⋅45=1980<201044\cdot45=1980\lt2010 but 45⋅46=2070>2010,45\cdot46=2070\gt2010, the smallest such nn is 45.45.
Thus, A is the correct answer.

20.

Las sucesiones aritméticas (an)(a_n) y (bn)(b_n) tienen términos enteros con a1=b1=1<a2≤b2a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2 y anbn=2010a_nb_n=2010 para algún n.n. ¿Cuál es el mayor valor posible de nn?
Arithmetic sequences (an)(a_n) and (bn)(b_n) have integer terms with a1=b1=1<a2≤b2a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2 and anbn=2010a_nb_n=2010 for some n.n. What is the largest possible value of n?n?
22
33
88
288288
20092009
Respuesta: C
Conceptos:sucesión aritméticadivisibilidadmáximo común divisor
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Escribe an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 y bn=1+(n−1)d2,b_n=1+(n-1)d_2, así que n−1n-1 divide tanto a an−1a_n-1 como a bn−1b_n-1.
Write an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 and bn=1+(n−1)d2,b_n=1+(n-1)d_2, so n−1n-1 divides both an−1a_n-1 and bn−1b_n-1
Pista grande:
Revisa cada par de factores de 20102010 con an≤bn;a_n\le b_n; entonces n−1n-1 debe dividir a gcd⁡(an−1,bn−1)\gcd(a_n-1,b_n-1).
Check each factor pair of 20102010 with an≤bn;a_n\le b_n; then n−1n-1 must divide gcd⁡(an−1,bn−1)\gcd(a_n-1,b_n-1)
Solución:
Como an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 y bn=1+(n−1)d2b_n=1+(n-1)d_2 para enteros d1,d2,d_1,d_2, el valor n−1n-1 divide tanto a an−1a_n-1 como a bn−1,b_n-1, y por lo tanto divide a gcd⁡(an−1,bn−1).\gcd(a_n-1,b_n-1).
Los pares de factores de 20102010 con 2≤an≤bn2\le a_n\le b_n son (2,1005),(2,1005), (3,670),(3,670), (5,402),(5,402), (6,335),(6,335), (10,201),(10,201), (15,134),(15,134), y (30,67).(30,67).
Para cada par excepto (15,134),(15,134), los números an−1a_n-1 y bn−1b_n-1 son primos entre sí, lo que fuerza n=2.n=2. Para (15,134),(15,134), gcd⁡(14,133)=7,\gcd(14,133)=7, así que n−1n-1 puede ser igual a 7,7, dando n=8.n=8.
Las sucesiones an=2n−1a_n=2n-1 y bn=19n−18b_n=19n-18 logran esto, así que el mayor valor es 8.8.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Since an=1+(n−1)d1a_n=1+(n-1)d_1 and bn=1+(n−1)d2b_n=1+(n-1)d_2 for integers d1,d2,d_1,d_2, the value n−1n-1 divides both an−1a_n-1 and bn−1,b_n-1, hence divides gcd⁡(an−1,bn−1).\gcd(a_n-1,b_n-1).
The factor pairs of 20102010 with 2≤an≤bn2\le a_n\le b_n are (2,1005),(2,1005), (3,670),(3,670), (5,402),(5,402), (6,335),(6,335), (10,201),(10,201), (15,134),(15,134), and (30,67).(30,67).
For every pair except (15,134),(15,134), the numbers an−1a_n-1 and bn−1b_n-1 are relatively prime, forcing n=2.n=2. For (15,134),(15,134), gcd⁡(14,133)=7,\gcd(14,133)=7, so n−1n-1 can equal 7,7, giving n=8.n=8.
The sequences an=2n−1a_n=2n-1 and bn=19n−18b_n=19n-18 realize this, so the largest value is 8.8.
Thus, C is the correct answer.

21.

La gráfica de y=x6−10x5y=x^6-10x^5 +29x4−4x3+ax2+29x^4-4x^3+ax^2 está por encima de la recta y=bx+cy=bx+c excepto en tres valores de x,x, donde la gráfica y la recta se intersecan. ¿Cuál es el mayor de esos valores?
The graph of y=x6−10x5y=x^6-10x^5 +29x4−4x3+ax2+29x^4-4x^3+ax^2 lies above the line y=bx+cy=bx+c except at three values of x,x, where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?
44
55
66
77
88
Respuesta: A
Conceptos:polinomiofactorizacióncompletar el cuadrado
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
La gráfica menos la recta es no negativa y tiene tres raíces dobles, así que es igual a ((x−p)(x−q)(x−r))2\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2.
The graph minus the line is nonnegative with three double roots, so it equals ((x−p)(x−q)(x−r))2\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2
Pista grande:
Iguala los coeficientes de x5,x4,x3x^5,x^4,x^3 para determinar el cúbico, luego factorízalo.
Match the coefficients of x5,x4,x3x^5,x^4,x^3 to determine the cubic, then factor it
Solución:
Sea f(x)f(x) la gráfica menos la recta. Es no negativa y se anula en tres puntos, cada uno una raíz doble, así que f(x)=(x3−Ax2+Bx−C)2.f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.
Igualar los coeficientes da −2A=−10⇒A=5,-2A=-10\Rightarrow A=5, luego A2+2B=29⇒B=2,A^2+2B=29\Rightarrow B=2, luego −2C−2AB=−4⇒C=−8.-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.
Así que el cúbico es x3−5x2+2x+8x^3-5x^2+2x+8 =(x+1)(x−2)(x−4),=(x+1)(x-2)(x-4), con raíces −1,2,-1,2, y 4.4. El mayor es 4.4.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Let f(x)f(x) be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so f(x)=(x3−Ax2+Bx−C)2.f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.
Matching coefficients gives −2A=−10⇒A=5,-2A=-10\Rightarrow A=5, then A2+2B=29⇒B=2,A^2+2B=29\Rightarrow B=2, then −2C−2AB=−4⇒C=−8.-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.
Thus the cubic is x3−5x2+2x+8x^3-5x^2+2x+8 =(x+1)(x−2)(x−4),=(x+1)(x-2)(x-4), with roots −1,2,-1,2, and 4.4. The largest is 4.4.
Thus, A is the correct answer.

22.

¿Cuál es el valor mínimo de f(x)=∣x−1∣+∣2x−1∣+∣3x−1∣+⋯+∣119x−1∣? \begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}
What is the minimum value of f(x)=∣x−1∣+∣2x−1∣+∣3x−1∣+⋯+∣119x−1∣? \begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}
4949
5050
5151
5252
5353
Respuesta: A
Conceptos:valor absolutooptimizaciónsumatoria
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
ff es lineal por tramos con esquinas en x=1k;x=\tfrac1k; el mínimo está donde su pendiente pasa de negativa a positiva.
ff is piecewise linear with corners at x=1k;x=\tfrac1k; the minimum is where its slope turns from negative to positive
Pista grande:
En [1m,1m−1]\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right] la pendiente es 7140−(m−1)m;7140-(m-1)m; halla dónde se anula.
On [1m,1m−1]\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right] the slope is 7140−(m−1)m;7140-(m-1)m; find where it vanishes
Solución:
La función ff es lineal por tramos con puntos de quiebre en x=1k.x=\tfrac1k. En el intervalo [1m,1m−1]\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right] su pendiente es ∑k=m119k−∑k=1m−1k=7140−(m−1)m, \begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned} donde 7140=119⋅1202.7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.
Esta pendiente es cero cuando (m−1)m=7140,(m-1)m=7140, es decir m=85,m=85, así que el mínimo ocurre en el extremo derecho x=184.x=\tfrac1{84}.
Ahí, los términos con k≤84k\le84 contribuyen 84−k84\tfrac{84-k}{84} y los términos con k≥85k\ge85 contribuyen k−8484,\tfrac{k-84}{84}, así que f(184)=348684+63084=41.5+7.5=49. \begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
The function ff is piecewise linear with breakpoints at x=1k.x=\tfrac1k. On the interval [1m,1m−1]\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right] its slope is ∑k=m119k−∑k=1m−1k=7140−(m−1)m, \begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned} where 7140=119⋅1202.7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.
This slope is zero when (m−1)m=7140,(m-1)m=7140, i.e. m=85,m=85, so the minimum occurs at the right endpoint x=184.x=\tfrac1{84}.
There, terms with k≤84k\le84 contribute 84−k84\tfrac{84-k}{84} and terms with k≥85k\ge85 contribute k−8484,\tfrac{k-84}{84}, so f(184)=348684+63084=41.5+7.5=49. \begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}
Thus, A is the correct answer.

23.

El número formado por los dos últimos dígitos no nulos de 90!90! es igual a n.n. ¿Cuánto vale nn?
The number obtained from the last two nonzero digits of 90!90! is equal to n.n. What is n?n?
1212
3232
4848
5252
6868
Respuesta: A
Conceptos:aritmética modularTeorema chino del restoceros finales
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
Elimina los factores que producen ceros finales, luego trabaja módulo 100100.
Remove the factors making trailing zeroes, then work modulo 100100
Pista grande:
Usa congruencias módulo 44 y módulo 2525 para determinar los dos últimos dígitos.
Use congruences modulo 44 and modulo 2525 to pin down the last two digits
Solución:
El número de ceros finales de 90!90! es ⌊905⌋+⌊9025⌋=21.\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21. Sea N=90!1021.N=\dfrac{90!}{10^{21}}.
Quedan más de dos factores de 22 después de quitar 1021,10^{21}, así que N≡0(mod4).N\equiv0 \pmod4.
Sea AA el producto de los factores de 90!90! no divisibles entre 5,5, y sea BB el producto de los factores divisibles entre 5.5. Cada bloque (5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4) es 24≡−1(mod25),24\equiv-1\pmod{25}, y hay 1818 bloques, así que A≡1(mod25).A\equiv1\pmod{25}.
Después de quitar los 2121 factores de 55 de B,B, los factores restantes pueden agruparse como B521=(1⋅2⋅3⋅4)⋅(6⋅7⋅8⋅9)⋅(11⋅12⋅13⋅14)⋅(16⋅17⋅18)(1⋅2⋅3)≡−1(mod25). \begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}
Por tanto, 90!521≡−1(mod25).\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}. Como 221≡2(mod25)2^{21}\equiv2\pmod{25} y el inverso de 22 módulo 2525 es 13,13, obtenemos N≡−13≡12(mod25).N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.
El número congruente con 0(mod4)0\pmod4 y 12(mod25)12\pmod{25} es 12(mod100),12\pmod{100}, así que los dos últimos dígitos no nulos forman 12.12.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
The number of trailing zeroes in 90!90! is ⌊905⌋+⌊9025⌋=21.\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21. Let N=90!1021.N=\dfrac{90!}{10^{21}}.
There are still more than two factors of 22 left after removing 1021,10^{21}, so N≡0(mod4).N\equiv0 \pmod4.
Let AA be the product of factors of 90!90! not divisible by 5,5, and let BB be the product of the factors divisible by 5.5. Each block (5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4) is 24≡−1(mod25),24\equiv-1\pmod{25}, and there are 1818 blocks, so A≡1(mod25).A\equiv1\pmod{25}.
After removing the 2121 factors of 55 from B,B, the remaining factors can be grouped as B521=(1⋅2⋅3⋅4)⋅(6⋅7⋅8⋅9)⋅(11⋅12⋅13⋅14)⋅(16⋅17⋅18)(1⋅2⋅3)≡−1(mod25). \begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}
Therefore 90!521≡−1(mod25).\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}. Since 221≡2(mod25)2^{21}\equiv2\pmod{25} and the inverse of 22 modulo 2525 is 13,13, we get N≡−13≡12(mod25).N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.
The number congruent to 0(mod4)0\pmod4 and 12(mod25)12\pmod{25} is 12(mod100),12\pmod{100}, so the last two nonzero digits form 12.12.
Thus, A is the correct answer.

24.

Sea f(x)=log⁡10(sin⁡(πx)⋅sin⁡(2πx)⋅sin⁡(3πx)⋅sin⁡(4πx)⋅sin⁡(5πx)⋅sin⁡(6πx)⋅sin⁡(7πx)⋅sin⁡(8πx)). \begin{gathered} f(x)=\log_{10}\big(\sin(\pi x) \\ {}\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x) \\ {}\cdot\sin(4\pi x)\cdot\sin(5\pi x) \\ {}\cdot\sin(6\pi x)\cdot\sin(7\pi x) \\ {}\cdot\sin(8\pi x)\big). \end{gathered} La intersección del dominio de f(x)f(x) con el intervalo [0,1][0,1] es una unión de nn intervalos abiertos disjuntos. ¿Cuánto vale nn?
Let f(x)=log⁡10(sin⁡(πx)⋅sin⁡(2πx)⋅sin⁡(3πx)⋅sin⁡(4πx)⋅sin⁡(5πx)⋅sin⁡(6πx)⋅sin⁡(7πx)⋅sin⁡(8πx)). \begin{gathered} f(x)=\log_{10}\big(\sin(\pi x) \\ {}\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x) \\ {}\cdot\sin(4\pi x)\cdot\sin(5\pi x) \\ {}\cdot\sin(6\pi x)\cdot\sin(7\pi x) \\ {}\cdot\sin(8\pi x)\big). \end{gathered} The intersection of the domain of f(x)f(x) with the interval [0,1][0,1] is a union of nn disjoint open intervals. What is n?n?
22
1212
1818
2222
3636
Respuesta: B
Conceptos:trigonometríasimetríaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:
El dominio es donde g(x)=∏k=18sin⁡(kπx)>0;g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x)\gt0; gg es simétrica respecto a x=12x=\tfrac12.
The domain is where g(x)=∏k=18sin⁡(kπx)>0;g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x)\gt0; gg is symmetric about x=12x=\tfrac12
Pista grande:
Cuenta los ceros kn\tfrac{k}{n} en (0,12)\big(0,\tfrac12\big) y nota que el signo no cambia en 14\tfrac14 y 13\tfrac13.
Count the zeros kn\tfrac{k}{n} in (0,12)\big(0,\tfrac12\big) and note the sign fails to flip at 14\tfrac14 and 13\tfrac13
Solución:
Sea g(x)=∏k=18sin⁡(kπx);g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x); el dominio de ff es donde g(x)>0.g(x)\gt0. Como sin⁡(kπ(1−x))\sin(k\pi(1-x)) =(−1)k+1sin⁡(kπx)=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x) y ∑k=18(k+1)\sum_{k=1}^8(k+1) es par, g(1−x)=g(x),g(1-x)=g(x), así que basta estudiar (0,12)\big(0,\tfrac12\big) y duplicar.
En (0,12)\big(0,\tfrac12\big) los ceros de gg son las fracciones kn\tfrac{k}{n} con 2≤n≤8,2\le n\le8, 1≤k<n2,1\le k\lt\tfrac n2, y gcd⁡(k,n)=1.\gcd(k,n)=1. Para n=2,…,8n=2,\ldots,8 hay 0,1,1,2,1,3,20,1,1,2,1,3,2 de ellos, en total 10.10.
Estos 1010 ceros dividen (0,12)\big(0,\tfrac12\big) en 1111 subintervalos en los que gg tiene signo constante. Cerca de 00 todo factor es positivo, así que g>0g\gt0 ahí, y el signo cambia en cada cero excepto en 14=28\tfrac14=\tfrac28 y 13=26,\tfrac13=\tfrac26, donde se anula un número par de factores.
Siguiendo los signos, exactamente 66 de los 1111 subintervalos tienen g>0.g\gt0. Por simetría hay 66 más en (12,1),\big(\tfrac12,1\big), así que n=12.n=12.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Let g(x)=∏k=18sin⁡(kπx);g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x); the domain of ff is where g(x)>0.g(x)\gt0. Since sin⁡(kπ(1−x))\sin(k\pi(1-x)) =(−1)k+1sin⁡(kπx)=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x) and ∑k=18(k+1)\sum_{k=1}^8(k+1) is even, g(1−x)=g(x),g(1-x)=g(x), so it suffices to study (0,12)\big(0,\tfrac12\big) and double.
In (0,12)\big(0,\tfrac12\big) the zeros of gg are the fractions kn\tfrac{k}{n} with 2≤n≤8,2\le n\le8, 1≤k<n2,1\le k\lt\tfrac n2, and gcd⁡(k,n)=1.\gcd(k,n)=1. For n=2,…,8n=2,\ldots,8 there are 0,1,1,2,1,3,20,1,1,2,1,3,2 of them, totaling 10.10.
These 1010 zeros split (0,12)\big(0,\tfrac12\big) into 1111 subintervals on which gg has constant sign. Near 00 every factor is positive, so g>0g\gt0 there, and the sign flips at each zero except 14=28\tfrac14=\tfrac28 and 13=26,\tfrac13=\tfrac26, where an even number of factors vanish.
Tracking the signs, exactly 66 of the 1111 subintervals have g>0.g\gt0. By symmetry there are 66 more in (12,1),\big(\tfrac12,1\big), so n=12.n=12.
Thus, B is the correct answer.

25.

Dos cuadriláteros se consideran iguales si uno puede obtenerse del otro mediante una rotación y una traslación. ¿Cuántos cuadriláteros cíclicos convexos diferentes hay con lados enteros y perímetro igual a 3232?
Two quadrilaterals are considered the same if one can be obtained from the other by a rotation and a translation. How many different convex cyclic quadrilaterals are there with integer sides and perimeter equal to 32?32?
560560
564564
568568
14981498
22552255
Respuesta: C
Conceptos:Lema de Burnsideestrellas y barrascuadrilátero cíclico
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Un cuadrilátero cíclico convexo con longitudes de lados dadas en un orden cíclico dado es único; cada lado es a lo sumo 1515.
A convex cyclic quadrilateral with given side lengths in a given cyclic order is unique; each side is at most 1515
Pista grande:
Cuenta las cuádruplas ordenadas que suman 32,32, luego toma el cociente por rotación cíclica usando el lema de Burnside.
Count ordered quadruples summing to 32,32, then quotient by cyclic rotation using Burnside’s lemma
Solución:
Un cuadrilátero cíclico convexo queda determinado, salvo rotación y traslación, por su sucesión cíclica de longitudes de lados, y existe exactamente cuando el lado mayor es menor que la suma de los otros. Con perímetro 32,32, esto significa que cada lado es a lo sumo 15.15.
Primero cuenta las cuádruplas ordenadas (a,b,c,d)(a,b,c,d) de enteros positivos con a+b+c+d=32a+b+c+d=32 y cada entrada a lo sumo 15.15. Sin la cota superior hay (313)=4495;\binom{31}{3}=4495; al quitar aquellas con alguna entrada al menos 1616 se restan 4(163)=2240,4\binom{16}{3}=2240, dejando 2255.2255.
Las rotaciones del cuadrilátero corresponden a permutaciones cíclicas de (a,b,c,d).(a,b,c,d). Por el lema de Burnside, el número de cuadriláteros distintos es 14(2255+f1+f2+f3),\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big), donde fif_i cuenta las cuádruplas fijadas al rotar ii posiciones.
Una rotación de uno o tres pasos fija solo (8,8,8,8),(8,8,8,8), así que f1=f3=1.f_1=f_3=1. Una rotación de dos pasos fija (a,b,a,b)(a,b,a,b) con a+b=16a+b=16 y 1≤a,b≤15,1\le a,b\le15, dando f2=15.f_2=15.
Por lo tanto, el conteo es 14(2255+1+15+1)=22724=568. \begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
A convex cyclic quadrilateral is determined up to rotation and translation by its cyclic sequence of side lengths, and it exists exactly when the largest side is less than the sum of the others. With perimeter 32,32, this means each side is at most 15.15.
First count ordered quadruples (a,b,c,d)(a,b,c,d) of positive integers with a+b+c+d=32a+b+c+d=32 and each entry at most 15.15. Without the upper bound there are (313)=4495;\binom{31}{3}=4495; removing those with some entry at least 1616 subtracts 4(163)=2240,4\binom{16}{3}=2240, leaving 2255.2255.
Rotations of the quadrilateral correspond to cyclic permutations of (a,b,c,d).(a,b,c,d). By Burnside’s lemma the number of distinct quadrilaterals is 14(2255+f1+f2+f3),\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big), where fif_i counts quadruples fixed by rotating ii positions.
A one- or three-step rotation fixes only (8,8,8,8),(8,8,8,8), so f1=f3=1.f_1=f_3=1. A two-step rotation fixes (a,b,a,b)(a,b,a,b) with a+b=16a+b=16 and 1≤a,b≤15,1\le a,b\le15, giving f2=15.f_2=15.
Hence the count is 14(2255+1+15+1)=22724=568. \begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}
Thus, C is the correct answer.