Question

A la mitad de un torneo de tiro con arco de $100$ tiros, Chelsea lleva una ventaja de $50$ puntos. En cada tiro, dar en el blanco vale $10$ puntos, y las otras puntuaciones posibles son $8,$ $4,$ $2,$ y $0$ puntos. Chelsea siempre obtiene al menos $4$ puntos en cada tiro. Si los siguientes $n$ tiros de Chelsea dan en el blanco, tendrá la victoria asegurada. ¿Cuál es el valor mínimo de $n$ ?

Halfway through a $100$ -shot archery tournament, Chelsea leads by $50$ points. For each shot a bullseye scores $10$ points, with other possible scores being $8,$ $4,$ $2,$ and $0$ points. Chelsea always scores at least $4$ points on each shot. If Chelsea's next $n$ shots are bullseyes she will be guaranteed victory. What is the minimum value for $n?$

$38$

$40$

$42$

$44$

$46$

Solución:

El oponente puede obtener a lo sumo $50\cdot10=500$ en los últimos $50$ tiros. Como Chelsea lleva una ventaja de $50,$ debe obtener más de $500-50=450$ puntos en sus tiros restantes para asegurar la victoria.

Sus $n$ blancos dan $10n$ puntos, y sus otros $50-n$ tiros dan al menos $4(50-n)$ puntos, así que $10n+4(50-n)\gt450.$ Esto se simplifica a $6n\gt250,$ es decir $n\gt41\tfrac23.$

Por lo tanto, Chelsea necesita al menos $42$ blancos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The opponent can score at most $50\cdot10=500$ on the last $50$ shots. Since Chelsea leads by $50,$ she must score more than $500-50=450$ points on her remaining shots to guarantee victory.

Her $n$ bullseyes give $10n$ points, and her other $50-n$ shots give at least $4(50-n)$ points, so $10n+4(50-n)\gt450.$ This simplifies to $6n\gt250,$ i.e. $n\gt41\tfrac23.$

Therefore Chelsea needs at least $42$ bullseyes.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años